Aljabar linear
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| rank/ræŋk/ | Rank |
| eigenvalue/ˈaɪdʒənvæljuː/ | Nilai Eigen |
Keputusan sebelum jawaban
- Matriks persegi mungkin tidak memiliki invers meskipun semua elemennya nonzero.
- Tujuan Anda: Menghubungkan rank, nullity, dan solusi sistem linear.
Bacalah hubungannya
- Ruang vektor riil tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar yang ditentukan serta memenuhi aksioma ruang vektor. Basis adalah daftar perspan independen: setiap vektor memiliki representasi koordinat unik dalam daftar tersebut. Untuk menguji independensi kolom matriks, selesaikan sistem homogen Ac=0; hanya vektor koefisien nol yang berarti independensi. Himpunan perspan dapat berisi vektor redundan, sehingga perspan saja tidak menjadikan basis.
- Analisis ruang vektor dan transformasi linear.
A 3-column matrix has rank 2. Its nullity is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Rank-nullity gives 3−2=1.
Gunakan aturan penentu
- Reduksi baris menyingkapkan pivot dan variabel bebas tanpa mengubah himpunan solusi sistem linear. Rank adalah dimensi gambar kolom, setara dengan jumlah pivot. Nullity adalah dimensi kernel: untuk pemetaan dari domain n-dimensi, rank+nullity=n. Dalam sistem nonhomogen, baris koefisien nol dengan sisi kanan nonzero berarti inkonsistensi; variabel bebas memberikan tak hingga banyak solusi hanya setelah konsistensi ditetapkan. Dimensi kodomain tidak harus sama dengan rank.
- Hitung nilai eigen, determinan, dan syarat diagonalisasi.
det A=0 implies:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A zero determinant means the square matrix is singular. It can have many nonzero entries; a single dependence is enough.
Periksa syarat-syaratnya
- Matriks persegi invertible tepat ketika determinannya nonzero, kernel-nya nol, dan rank-nya sama dengan ukurannya. Pernyataan ini tidak memerlukan setiap entri nonzero. Determinan segitiga adalah hasil kali entri diagonal, sehingga matriks yang bergantung pada variabel kompleks dapat singular pada akar kompleks yang tidak muncul dalam perhitungan hanya real. Tukar baris membalik tanda determinan; menambahkan kelipatan satu baris ke baris lain tidak mengubahnya. Periksa singularitas sebelum menerapkan rumus invers.
- Hitung nilai eigen, determinan, dan syarat diagonalisasi.
A=[[1,1],[0,1]] memiliki polinomial karakteristik (1−λ)². Vektor eigen memenuhi y=0, sehingga ruang eigennya berdimensi satu. Dibutuhkan dua vektor eigen independen untuk mendagonalisasi matriks 2×2; A tidak dapat didiagonalisasi.
The identity matrix has every eigenvalue equal to ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Iv=v for every vector.
Terapkan format tugas
- Vektor eigen nonzero dan memenuhi Av=λv, sehingga nilai eigen adalah akar dari det(A−λI). Diagonalisasi memerlukan basis vektor eigen independen penuh di atas lapangan yang dipilih. Nilai eigen berbeda menghasilkan vektor eigen independen, sedangkan nilai eigen berulang mungkin memiliki ruang eigen yang terlalu kecil. Matriks simetrik riil memiliki basis eigen ortonormal riil. Matriks riil berdimensi ganjil memiliki setidaknya satu nilai eigen riil karena polinomial karakteristik riilnya berderajat ganjil; hal itu sendiri tidak menyiratkan diagonalisasi atau semua nilai eigen riil.
- Hitung nilai eigen, determinan, dan syarat diagonalisasi.
Multiplisitas aljabar dari suatu nilai eigen tidak otomatis sama dengan dimensi ruang eigennya.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Menghubungkan rank, nullitas, dan solusi sistem linear
A repeated eigenvalue guarantees a full eigenvector basis.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A defective matrix is a counterexample.
Jaga pembedaan
- rank — Dimensi citra (image) dari pemetaan linear.
- nilai eigen — Skalar yang memenuhi Av=λv untuk v nonzero.
- Hubungkan rank, nullity, dan solusi sistem linear.
- Analisis ruang vektor dan transformasi linear.
- Hitung nilai eigen, determinan, dan syarat diagonalisasi.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.