Kalkulus multivariabel dan analisis vektor
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | gradien |
| Jacobian/dʒæˈkəʊbɪən/ | Jacobian |
Keputusan sebelum jawaban
- Lereng bukit memiliki banyak kemiringan pada satu titik. Arah perjalanan menentukan kemiringan mana yang Anda rasakan.
- Tujuan Anda: Hitung turunan parsial, gradien, dan turunan arah.
Bacalah hubungannya
- Turunan parsial mengubah satu koordinat sementara yang lain tetap. Untuk f=x²+3xy, f_x=2x+3y dan f_y=3x. Gradien mengumpulkan turunan-turunan ini; jika f terdiferensialkan, turunan arah sepanjang vektor satuan v adalah grad f·v. Normalisasikan arah sebelum melakukan perkalian titik ini. Vektor arah dengan panjang dua akan menggandakan jawaban jika digunakan tanpa normalisasi.
- Gunakan integral ganda dan perubahan koordinat.
Partial derivative with respect to x of x²y is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Treat y as constant.
Gunakan aturan penentu
- Keterdiferensialan berarti adanya pendekatan linear yang valid, bukan sekadar keberadaan beberapa turunan parsial di satu titik. Turunan parsial pertama yang kontinu dalam suatu lingkungan adalah syarat yang cukup. Untuk komposisi f(x(t),y(t)), aturan rantai memberikan f_x x′+f_y y′. Turunan kedua dapat memperkenalkan suku langsung dan campuran; turunan campuran nol saja tidak membatasi turunan murni kedua.
- Gunakan kondisi turunan untuk membedakan bidang dari permukaan melengkung.
The polar area element is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The Jacobian of the polar transformation is r.
Periksa syarat-syaratnya
- Integral ganda menjumlahkan kontribusi atas wilayah tertentu. Deskripsikan wilayah tersebut sebelum memilih batas iteratif; batas nonpersegi panjang dapat berubah ketika urutan berubah. Dalam koordinat polar, luasnya adalah r dr dtheta, bukan hanya dr dtheta. Perubahan koordinat umum menggunakan determinan Jacobian mutlak. Tanda milik besaran vektor berorientasi, sedangkan penskalaan luas dan volume menggunakan faktor nonnegatif.
- Gunakan kondisi turunan untuk membedakan bidang dari permukaan melengkung.
Untuk f(x,y)=x²+3y², gradien f=(2x,6y). Pada titik (1,1) nilainya adalah (2,6). Dalam arah (3,4), vektor satuannya adalah (3/5,4/5), sehingga turunan arah sama dengan 2·3/5+6·4/5=6.
The magnitude of vector (3,4) is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Use sqrt(3²+4²)=5.
Terapkan format tugas
- Jika kedua turunan parsial pertama dari fungsi yang didefinisikan secara global pada R² konstan, f_x=a dan f_y=b, integrasi bertahap menghasilkan f=ax+by+c, sebuah bidang. Hal ini tidak dapat disimpulkan hanya dari himpunan level garis lurus yang sejajar: e^x memiliki garis level vertikal yang sejajar tetapi grafnya melengkung. f_xy=f_yx=0 juga tidak memaksakan bentuk bidang: x²+y² adalah contoh penyangkal. Bedakan kekonstanan turunan pertama dari ketiadaan ketergantungan campuran dan dari bentuk himpunan level tertentu.
- Gunakan kondisi turunan untuk membedakan bidang dari permukaan melengkung.
Vektor arah non-satuan memberikan laju terkalibrasi, bukan turunan per satuan jarak.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Menghitung turunan parsial, gradien, dan turunan arah
Orientation never affects a line integral around a boundary.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Reversing orientation changes a directed line integral’s sign.
Jaga pembedaan
- gradien — Vektor dari turunan parsial.
- Jacobian — Skala luas atau volume lokal dalam perubahan koordinat.
- Hitung turunan parsial, gradien, dan turunan arah.
- Gunakan integral ganda dan perubahan koordinat.
- Gunakan kondisi turunan untuk membedakan bidang dari permukaan melengkung.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.