T.9 · Kesamaan bentuk, penskalaan, dan lokus jarak kerucut

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Segitiga sebangun, rumus jarak, dan persamaan kuadrat.

• Sesuaikan titik sudut segitiga berdasarkan sudut yang sama sebelum membentuk rasio sisi
• Terapkan faktor skala panjang, luas, dan volume pada perubahan geometris
• Identifikasi kondisi jarak konik dan pertahankan cabang hiperbola bertanda

sebangun: Kesamaan sudut bersesuaian dan rasio panjang bersesuaian yang sama.

fokus: Titik tetap yang digunakan dalam definisi jarak konik.

Segitiga-segitang sebangun ketika sudut-sudut bersesuaiannya sama; rasio sisi-sisi bersesuaiannya pun sama. Tuliskan korespondensi titik sudut secara eksplisit. Jika segitiga APQ memiliki sudut A sama dengan sudut A pada ABC dan sudut P sama dengan sudut C, maka korespondensi urutannya adalah A↔A, P↔C, Q↔B. Dengan demikian AP/AC=AQ/AB=PQ/CB. Sisi AP terletak pada AB tetapi bersesuaian dengan AC; mencocokkan berdasarkan posisi sisi atau berdasarkan huruf P dapat menghasilkan rasio yang salah.

Dengan faktor skala panjang k>0, panjang dikalikan k, luas dikalikan k² dan volume dikalikan k³. Peningkatan panjang 30% berarti k=1.30, sehingga peningkatan luas 1.30²−1=0.69, atau 69%; ini bukan 60%. Untuk benda serupa dengan rasio volume 27, rasio panjang adalah 3 dan rasio luas permukaan 9. Perubahan persentase dan selisih absolut adalah besaran berbeda; tulis rasio baru-terlama sebelum mengonversinya ke persentase.

Sebuah lingkaran menetapkan jarak ke satu titik. Sebuah elips menetapkan jumlah jarak ke dua fokus. Sebuah hiperbola menetapkan selisih absolut dari jarak tersebut; sebuah parabola menetapkan kesamaan jarak ke fokus dan ke direktrix. Ini adalah definisi himpunan titik, bukan sketsa untuk dihafal. Untuk fokus (−c, 0) dan (c, 0), sebuah elips menggunakan jumlah 2a dengan a > c. Sebuah hiperbola non-degenerate menggunakan selisih mutlak 2a dengan 0 < a < c; selisih bertanda membedakan kedua cabangnya.

Untuk hiperbola dengan sumbu transversal horizontal, c²=a²+b² dan persamaannya adalah x²/a²−y²/b²=1. Misalkan r_A adalah jarak ke (−c,0) dan r_B adalah jarak ke (c,0). Kondisi r_A−r_B=2a>0 memilih cabang kanan x≥a; kondisi negatif memilih cabang kiri. Pengkuadratan dapat menghilangkan tanda ini, jadi periksa kondisi jarak asli setelah mendapatkan persamaan. Selisih nol memberikan garis bagi tegak lurus alih-alih hiperbola; selisih yang melebihi pemisahan fokus mustahil menurut ketaksamaan segitiga.

Misalkan AB=10, AC=15 dan BC=20. Titik P pada AB memiliki AP=6, dan Q pada AC membuat sudut APQ sama dengan sudut ACB. Maka AP/AC=6/15=2/5, sehingga PQ=8 dan AQ=4. Secara terpisah, fokus di (−5,0),(5,0) dan jarak-ke-kiri dikurangi jarak-ke-kanan sama dengan 6 menghasilkan a=3, b²=25−9=16: x²/9−y²/16=1 dengan x≥3. Titik (−3,0) memenuhi persamaan kuadrat tetapi gagal memenuhi kondisi bertanda.

Cocokkan sudut sebelum sisi. Persentase luas menggunakan kuadrat faktor panjang. Persamaan jarak kuadrat mungkin menggambarkan kedua cabang meskipun masalah aslinya hanya meminta satu.

Benda-benda sebangun memiliki rasio luas permukaan 9:25. Temukan rasio panjang dan volume yang bersesuaian. Jelaskan mengapa pencocokan titik sudut penting sebelum membentuk rasio segitiga.

Penyelesaian terarah

Mengambil akar positif memberikan rasio panjang 3:5. Memangkatkan tiga memberikan rasio volume 27:125. Rasio luas itu sendiri bukanlah faktor skala panjang. Titik sudut yang bersesuaian harus cocok dengan sudut yang sama; jika tidak, rasio dapat membandingkan sisi yang tidak terkait. Sebangun adalah asumsi di sini; rasio luas saja tidak membuktikan bahwa benda sembarang adalah sebangun.

Untuk fokus $A=(-5,0)$ dan $B=(5,0)$, temukan lokus $|PA|-|PB|=6$. Turunkan persamaan standarnya, pilih cabangnya, dan periksa titik puncaknya dalam hubungan yang belum dikuadratkan. Apa yang terjadi jika selisih yang diminta adalah 12?

Periksa setelah mencoba

Tulis $r_A=\sqrt{(x+5)^2+y^2}$ dan $r_B=\sqrt{(x-5)^2+y^2}$. Kondisi aslinya adalah $r_A-r_B=6$. Karena $r_A^2-r_B^2=20x$, mengalikan selisih jarak dengan jumlah mereka menghasilkan $r_A+r_B=10x/3$. Oleh karena itu $r_B=5x/3-3$, yang harus bernilai nonnegatif. Mengkuadratkan persamaan ini menghasilkan $(x-5)^2+y^2=(5x/3-3)^2$. Membuka kurung dan mengelompokkan menghasilkan $16x^2/9-y^2=16$. Jadi setengah jarak fokus adalah c=5, setengah selisih adalah a=3, dan hiperbolanya adalah $x^2/9-y^2/16=1$, menggunakan $b^2=c^2-a^2=16$. Selisih positif asli memilih cabang kanan $x\ge3$. Pada $(3,0)$ jaraknya adalah 8 dan 2, selisih enam; pada $(-3,0)$ selisihnya negatif enam. Pengkuadratan saja mempertahankan cabang yang tidak valid ini. Selisih 12 melebihi $|AB|=10$ dan mustahil menurut ketaksamaan segitiga terbalik.