C.8 · Fase trigonometri dan kurva parametrik

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Trigonometri radian, turunan, dan parametrisasi kurva.

• Bedakan amplitudo, frekuensi sudut, sudut fase, dan pergeseran horizontal
• Hilangkan parameter sambil mempertahankan domainnya dan arah pelacakan
• Gunakan turunan parametrik tanpa mengasumsikan tangen vertikal adalah diam

sudut fase: Offset sudut di dalam argumen fungsi periodik, didefinisikan modulo satu periode penuh.

kurva parametrik: Kurva yang koordinatnya ditentukan sebagai fungsi dari parameter bersama.

Untuk y=A cos(ωx−φ) dengan A>0 dan ω>0, amplitudo adalah A, periode adalah 2π/ω, dan pergeseran horizontal adalah φ/ω. Sudut fase φ diukur di dalam argumen kosinus; ia bukan pergeseran horizontal kecuali ω=1. Mulailah dengan jarak puncak-ke-puncak untuk periode dan jarak garis tengah-ke-puncak untuk amplitudo. Untuk mencari fase, substitusikan titik yang diketahui dan periksa arah gerak di sana. Fase ekuivalen berbeda sebesar 2π.

Untuk y=−2 cos(3x), tulis ulang model dengan amplitudo positif sebagai 2 cos(3x−π). Amplitudonya adalah 2, periode 2π/3, dan fase π; pergeseran kanan ekuivalen adalah π/3. Puncak terjadi ketika 3x−π merupakan kelipatan dari 2π. Titik grafik pada x=0 dan y=0 saja tidak dapat menentukan fase secara unik: kemiringan atau titik lain membedakan sudut-sudut yang mungkin. Satuan dan konvensi sudut penting; turunan trigonometri kalkulus biasa menggunakan radian.

Kurva parametrik menentukan x=x(t), y=y(t). Mengeliminasi t menggambarkan himpunan titik tetapi dapat kehilangan batasan dan arah. Untuk x=cos³t, y=sin³t, akar pangkat tiga real memberikan |x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1, sebuah astroid dengan kumpit pada sumbu-sumbu. Saat t berjalan dari 0 hingga 2π, kurva dimulai dari (1,0), melewati (0,1) pada π/2, dan bergerak berlawanan arah jarum jam. Membatasi t ke [0, π/2] hanya menghasilkan busur kuadran pertama, bukan seluruh lokus implisit.

Ketika dx/dt≠0, dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt). Garis singgung horizontal umumnya memerlukan dy/dt=0 dan dx/dt≠0; garis singgung vertikal umumnya membalikkan kondisi tersebut. Jika keduanya bernilai nol, periksa limit atau ekspansi lokal alih-alih mengambil 0/0 sebagai kemiringan. Untuk x=t², y=t³ pada t=0, hasil bagi untuk t≠0 adalah 3t/2 dan mendekati nol: kumpit memiliki garis singgung horizontal. Kecepatan parameter nol bukan sendiri menjadi maksimum atau minimum lokal dari y sebagai fungsi x.

Untuk y=−2 cos(3x), minimum mencakup x=0 dan maksimum mencakup x=π/3. Representasi fase 2 cos(3x−π) memberikan nilai yang sama. Untuk x=2 cos t,y=sin t, eliminasi menghasilkan x²/4+y²=1; pada t=π/4, dx/dt=−√2 dan dy/dt=√2/2, sehingga kemiringan −1/2. Interval parameter penuh [0,2π] melacak elips sekali berlawanan arah jarum jam.

Sudut fase dan geseran horizontal berbeda oleh faktor frekuensi. Persamaan implisit dapat menambahkan bagian kurva yang tidak teracak. Jika kedua turunan parameter hilang, gunakan penalaran lokal alih-alih menandai setiap titik seperti itu sebagai ekstremitas.

Untuk $y=-3\cos(2x)$, nyatakan amplitudo, periode, representasi fase dengan amplitudo positif dan pergeseran horizontal yang sesuai. Parametrisasikan elips $x^2/9+y^2/4=1$ berlawanan arah jarum jam.

Penyelesaian terarah

Amplitudo adalah tiga dan periode $2\pi/2=\pi$. Tulis $y=3\cos(2x-\pi)$, dengan fase $\pi$ dan pergeseran ke kanan $\pi/2$. Fase dan pergeseran tidak sama. Satu parametrisasi adalah $x=3\cos t,y=2\sin t$, $0\le t\le2\pi$, yang dimulai dari $(3,0)$ dan awalnya bergerak ke atas. Mengeliminasi t memeriksa persamaan elips.

Untuk $x=t^2,y=t^3$ pada $-1\le t\le1$, tentukan lokus yang dilacak dan garis singgung pada t=0. Apakah kecepatan parameter yang hilang membuktikan tidak adanya garis singgung? Apakah persamaan implisit saja mempertahankan seluruh batasan parameter?

Periksa setelah mencoba

Eliminasi menghasilkan $y^2=x^3$, dengan $0\le x\le1$ dan kedua tanda y. Untuk t nonzero, $dy/dx=3t/2\to0$. Kemiringan sekan dari titik asal adalah $y/x=t\to0$ juga, sehingga cusps memiliki tangen horizontal. Kedua turunan parameter vanish di nol, membuat hasil bagi mentah $0/0$ tidak konklusif, tidak membuktikan ketiadaan tangen. Persamaan implisit tanpa batasan juga memiliki titik dengan x>1; pembatasan interval harus ditangani secara terpisah.