T.10 · Geometri vektor, proyeksi, dan luas berorientasi

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Vektor koordinat, hasil kali titik/silang dan norma.

• Gunakan hasil kali titik untuk mengklasifikasikan sudut dan menghitung proyeksi
• Hitung luas segitiga dan orientasi menggunakan hasil kali silang
• Bangun atau singkirkan konfigurasi tanda hasil kali titik planar

ortogonal: Memiliki hasil kali titik nol dalam ruang hasil kali dalam riil.

hasil kali silang: Vektor tegak lurus terorientasi dalam tiga dimensi yang besarannya adalah luas jajar genjang yang direntangkan.

Untuk vektor riil tak nol u,v, u·v=|u||v| cos θ. Hasil kali titik positif, nol, atau negatif bersesuaian dengan sudut lancip, siku-siku, atau tumpul yang lebih kecil. Proyeksi skalar v sepanjang u adalah (v·u)/|u|; proyeksi vektornya adalah ((v·u)/(u·u))u. Selisih dari proyeksi ini ortogonal terhadap u. Jangan bingung antara vektor yang diproyeksikan dengan komponen skalarnya yang bertanda. Vektor nol ortogonal terhadap setiap vektor tetapi tidak memiliki arah sudut yang terdefinisi.

Untuk vektor tiga dimensi, u×v tegak lurus terhadap keduanya dengan panjang |u||v| sin θ. Perhitungan koordinat menggunakan (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁). Panjang ini adalah luas jajar genjang, sehingga segitiga dari dua vektor sisi memiliki setengah luas itu. Membalik urutan mereka membalikkan hasil kali silang tetapi mempertahankan luas. Bangun kedua vektor sisi dari titik sudut yang sama; menyilangkan dua vektor posisi yang tidak terkait umumnya mengukur segitiga yang salah.

Bidang melalui titik p dengan normal n yang tak nol memiliki persamaan n·(x−p)=0. Jarak dari q ke bidang adalah |n·(q−p)|/|n|; penyebut menormalisasi skala persamaan. Hasil kali triple skalar u·(v×w) memberikan volume balok miring bertanda; nilai mutlaknya adalah volume geometris. Triple produk nol berarti ketergantungan ketiga vektor sisi, tidak perlu berarti bahwa setiap pasang saling tegak lurus atau sejajar.

Untuk empat vektor planar, terdapat enam hasil kali titik yang tak berurutan. Konfigurasi e₁,−e₁,e₂,−e₂ memiliki dua hasil kali negatif dan empat nol; e₁,e₁,e₂,−e₂ memiliki dua hasil kali positif dan empat nol. Empat vektor nonzero tidak dapat memiliki setiap hasil kali titik pasangan yang negatif. Urutkan arah mereka mengelilingi lingkaran: setiap celah sudut berurutan harus melebihi 90°, memaksa jumlah empat celah melebihi 360°. Vektor nol tidak dapat menyelamatkan persyaratan negatif ketat, karena hasil kalinya vanish.

Dengan p=(0,0,0), q=(2,0,0), r=(0,3,0), sisi-sisinya adalah u=(2,0,0), v=(0,3,0). Hasil kali silangnya adalah (0,0,6), memberikan luas segitiga 3. Untuk w=(3,4) dan u=(1,0), proyeksi vektor adalah (3,0) dan sisa ortogonalnya adalah (0,4). Bidang 2x−y+2z=6 memiliki panjang normal 3, sehingga jaraknya dari titik asal adalah 6/3=2.

Besar hasil kali silang adalah luas jajar genjang, jadi bagi dua untuk mendapatkan luas segitiga. Nol hasil kali titik adalah pernyataan ortogonalitas aljabar bahkan untuk vektor nol. Jarak bidang harus dibagi dengan panjang normal.

Proyeksikan $v=(2,3,6)$ ke $u=(1,0,2)$. Temukan luas segitiga dengan titik sudut O, u dan v. Periksalah bahwa sisa proyeksi ortogonal terhadap u.

Penyelesaian terarah

$v\cdot u=14$ dan $u\cdot u=5$, sehingga proyeksi vektor adalah $(14/5)u=(14/5,0,28/5)$. Sisaannya adalah $(-4/5,3,2/5)$, yang hasil kalinya dengan u sama dengan nol. Hasil kali silangnya adalah $u\times v=(-6,-2,3)$ dengan norma tujuh. Luas segitiga adalah setengah dari luas jajar genjang, atau $7/2$. Kedua vektor sisi bermula dari O; menyilangkan vektor posisi yang tidak terkait secara umum tidak akan menghitung segitiga yang diminta.

Apakah empat vektor tak nol di $\mathbb R^2$ dapat memiliki semua enam hasil kali titik pasangan yang secara ketat negatif? Berikan sebuah bukti. Bagaimana pengijinan hasil kali nol mengubah kemungkinan tersebut?

Periksa setelah mencoba

Urutkan arah mereka di sekitar lingkaran. Setiap celah berturutan harus melebihi $\pi/2$: jika celah ada pada atau di bawah $\pi/2$, pasangan itu akan memiliki hasil kali titik yang bukan negatif. Empat celah seperti itu akan menjumlahkan lebih dari $2\pi$, mustahil. Oleh karena itu tidak semua enam hasil kali dapat secara ketat negatif. Dengan hasil kali bukan positif, $e_1,e_2,-e_1,-e_2$ berfungsi: pasangan berturutan saling tegak lurus dan pasangan berlawanan memiliki hasil kali negatif. Vektor nol tidak dapat memenuhi ketegakan negatif secara ketat.