Geometri vektor, proyeksi dan area terorientasi
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| cross product/krɒs ˈprɒdʌkt/ | perkalian silang |
| orthogonal/ɔːˈθɒɡənl/ | ortogonal |
Keputusan sebelum jawaban
- Dua vektor dapat mengarah ke arah umum yang sama, berpotongan tegak lurus, atau saling berlawanan. Hasil kali titik membedakan kasus-kasus ini; hasil kali silang mengukur luas yang mereka selubungi.
- Tujuan Anda: Gunakan hasil kali titik untuk mengklasifikasikan sudut dan menghitung proyeksi.
Bacalah hubungannya
- Untuk vektor real tak nol u,v, berlaku u·v=|u||v| cos θ. Hasil kali titik positif, nol, atau negatif sesuai dengan sudut lancip, siku-siku, atau tumpul yang lebih kecil. Proyeksi skalar v sepanjang u adalah (v·u)/|u|; proyeksi vektornya adalah ((v·u)/(u·u))u. Selisih dari proyeksi ini ortogonal terhadap u. Jangan bingung antara vektor terproyeksi dengan komponen skalar bertandanya. Vektor nol ortogonal terhadap setiap vektor tetapi tidak memiliki arah sudut yang terdefinisi.
- Hitung luas segitiga dan orientasi menggunakan hasil kali silang.
Triangle vertices are (0,0,0),(2,0,0),(0,3,0). What is its area?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The edge cross product has magnitude 6. Triangle area is half the spanned parallelogram area.
Gunakan aturan penentu
- Untuk vektor tiga dimensi, u×v tegak lurus terhadap keduanya dengan panjang |u||v| sin θ. Perhitungan koordinat menggunakan (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁). Panjang ini adalah luas jajar genjang, sehingga segitiga dari dua vektor sisi memiliki setengah luas tersebut. Membalik urutan mereka membalikkan hasil kali silang tetapi mempertahankan luas. Bangun kedua vektor sisi dari verteks yang sama; menyilangkan dua vektor posisi yang tidak terkait umumnya mengukur luas segitiga yang salah.
- Konstruksi atau singkirkan konfigurasi tanda hasil kali titik pada bidang.
What is the vector projection of (3,4) onto the line spanned by (1,0)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Multiply (1,0) by the coefficient ((3,4)·(1,0))/((1,0)·(1,0))=3.
Periksa syarat-syaratnya
- Bidang melalui titik p dengan normal n yang tak nol memiliki persamaan n·(x−p)=0. Jarak dari q ke bidang adalah |n·(q−p)|/|n|; penyebut menormalisasi skala persamaan. Hasil kali skalar triple u·(v×w) memberikan volume paralelepiped bertanda; nilai mutlaknya adalah volume geometris. Hasil kali triple nol berarti ketergantungan ketiga vektor sisi, bukan necessarily bahwa setiap pasang tegak lurus atau sejajar.
- Konstruksi atau singkirkan konfigurasi tanda hasil kali titik pada bidang.
Dengan p=(0,0,0), q=(2,0,0), r=(0,3,0), sisi-sisinya adalah u=(2,0,0), v=(0,3,0). Hasil kali silangnya adalah (0,0,6), memberikan luas segitiga 3. Untuk w=(3,4) dan u=(1,0), proyeksi vektor adalah (3,0) dan sisa ortogonalnya adalah (0,4). Bidang 2x−y+2z=6 memiliki panjang normal 3, sehingga jaraknya dari titik asal adalah 6/3=2.
The distance from the origin to 2x−y+2z=6 is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Divide the absolute constant 6 by the normal length √(4+1+4)=3.
Terapkan format tugas
- Untuk empat vektor planar, terdapat enam hasil kali titik tak berurutan. Konfigurasi e₁,−e₁,e₂,−e₂ memiliki dua produk negatif dan empat nol; e₁,e₁,e₂,e₂ memiliki dua produk positif dan empat nol. Empat vektor tak nol tidak dapat memiliki setiap hasil kali titik pasangan yang negatif. Urutkan arah mereka mengelilingi lingkaran: setiap celah sudut berturut-turut harus melebihi 90°, memaksa jumlah empat celah melampaui 360°. Vektor nol tidak dapat menyelamatkan persyaratan negatif ketat, karena hasil kalinya vanish.
- Konstruksi atau singkirkan konfigurasi tanda hasil kali titik pada bidang.
Besar hasil kali silang adalah luas jajar genjang, jadi bagi dua untuk mendapatkan luas segitiga. Nol hasil kali titik adalah pernyataan ortogonalitas aljabar bahkan untuk vektor nol. Jarak bidang harus dibagi dengan panjang normal.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Gunakan perkalian titik untuk mengklasifikasikan sudut dan menghitung proyeksi
Four nonzero vectors in R² can have all six unordered pairwise dot products negative.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Consecutive direction gaps would all exceed 90°, contradicting their total 360°. Zero vectors would produce zero products instead.
Jaga pembedaan
- ortogonal — Memiliki hasil kali titik nol dalam ruang hasil dalam riil.
- hasil kali silang — Vektor tegak lurus terorientasi dalam tiga dimensi yang besarnya adalah luas jajar genjang yang diselimuti.
- Gunakan hasil kali titik untuk mengklasifikasikan sudut dan menghitung proyeksi.
- Hitung luas segitiga dan orientasi menggunakan hasil kali silang.
- Konstruksi atau singkirkan konfigurasi tanda hasil kali titik pada bidang.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.