Faktor pengintegrasi dan persamaan diferensial nonhomogen
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | faktor pengintegral |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | solusi khusus |
Keputusan sebelum jawaban
- Masukan pemaksa mengubah respons sistem. Menyelesaikan hanya persamaan tanpa paksa meninggalkan kontribusi berkelanjutan; membagi dengan y juga dapat menghilangkan solusi yang valid.
- Tujuan Anda: Selesaikan persamaan linear orde pertama menggunakan faktor pengintegrasian.
Bacalah hubungannya
- Persamaan linear orde pertama berbentuk y′+p(x)y=q(x) pada interval di mana koefisiennya kontinu. Tidak perlu dapat dipisahkan. Tetapkan μ(x)=exp(∫p(x)dx). Karena μ′=pμ, perkalian menghasilkan (μy)′=μq, sehingga y=μ⁻¹(∫μq dx+C). Pilih antiturunan yang nyaman apa pun untuk p; konstanta integrasinya hanya menskalakan μ dan hilang dari solusi. Terapkan data awal setelah integrasi, dan simpan semua titik koefisien singular di luar interval yang dipilih.
- Bangun bagian homogen dan bagian khusus dari solusi koefisien konstan.
Which integrating factor works for y′+3y=x?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
p(x)=3, so μ=exp(∫3 dx)=e^(3x). Its derivative is 3μ.
Gunakan aturan penentu
- Untuk y′+2xy=x dengan y(0)=1, μ=e^(x²). Maka (e^(x²)y)′=x e^(x²), yang integralnya adalah e^(x²)/2+C. Dengan demikian y=1/2+C e^(−x²), dan kondisi awal memberikan C=1/2. Substitusi langsung memeriksa y′+2xy=x. Faktor pengintegrasi mengubah sisi kiri menjadi turunan hasil kali; ini bukan faktor tambahan yang tetap mengalikan sisi kanan asli dalam jawaban akhir.
- Tangani resonansi dan verifikasi hasilnya dalam persamaan asli.
For y″−3y′+2y=4, which constant is a particular solution?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Both derivatives vanish for a constant. The equation reduces to 2y=4, so y=2.
Periksa syarat-syaratnya
- Untuk ay″+by′+cy=r(x) dengan a tidak nol, selesaikan persamaan karakteristik aλ²+bλ+c=0 untuk bagian homogen. Akar real berbeda menghasilkan dua eksponensial; akar ganda λ menghasilkan (C₁+C₂x)e^(λx); akar α±iβ menghasilkan e^(αx)(C₁ cos βx+C₂ sin βx). Solusi lengkap adalah y_h+y_p. Pemaksa polinomial menyarankan uji partikular polinomial; pemaksa eksponensial atau sinus/kosinus keluarga yang sesuai, dengan cukup koefisien untuk memperhitungkan diferensiasi.
- Tangani resonansi dan verifikasi hasilnya dalam persamaan asli.
Untuk y″−3y′+2y=4, akar karakteristiknya adalah 1 dan 2. Solusi partikular konstan y_p=2 menghasilkan 2y_p=4, sehingga y=C₁e^x+C₂e^(2x)+2. Untuk y′+2xy=x dan y(0)=1, solusi orde pertama terpisah adalah y=(1+e^(−x²))/2. Ini mengilustrasikan metode yang berbeda; tidak ada persamaan yang menjadi homogen hanya karena sisinya linear.
For y′+2xy=x with y(0)=1, y=1/2+C e^(−x²). Give C as a decimal: ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
At x=0 the exponential is 1, so 1=1/2+C gives C=1/2.
Terapkan format tugas
- Jika uji partikular menduplikasi solusi homogen, ia tidak dapat menghasilkan pemaksa: kalikan dengan x sekali untuk akar sederhana, dua kali untuk akar ganda. Untuk y″−3y′+2y=e^x, Ke^x naif dimatikan. Mencoba Kxe^x menghasilkan −Ke^x, jadi y_p=−xe^x. Kondisi awal menentukan konstanta homogen hanya setelah menambahkan y_p. Substitusikan fungsi akhir ke dalam persamaan asli untuk memeriksa tanda dan pemaksa; pemeriksaan nilai awal saja tidak dapat memverifikasi persamaan diferensial.
- Tangani resonansi dan verifikasi hasilnya dalam persamaan asli.
Tetaplah solusi khusus. Uji resonansi membutuhkan faktor x. Penurunan faktor pengintegralkan berlaku pada interval koefisien yang valid dan tidak boleh membagi dengan y atau diam-diam membuang solusi nol.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Selesaikan persamaan linear orde pertama menggunakan faktor pengintegrasi
Ke^x can be a particular solution of y″−3y′+2y=e^x for a suitable constant K.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
e^x is homogeneous, so the differential operator sends every Ke^x to zero. A resonant trial requires an extra x factor.
Jaga pembedaan
- faktor pengintegrasi — Pengali yang mengubah persamaan linear orde satu menjadi turunan hasil kali.
- solusi partikular — Satu solusi yang menyediakan pemaksa nonhomogen yang ditentukan.
- Selesaikan persamaan linear orde satu menggunakan faktor pengintegrasi.
- Bangun bagian homogen dan bagian khusus dari solusi koefisien konstan.
- Tangani resonansi dan verifikasi hasilnya dalam persamaan asli.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.