Fase trigonometri dan kurva parametrik
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| phase angle/feɪz ˈæŋɡl/ | sudut fasa |
| parametric curve/ˌpærəˈmetrɪk kɜːv/ | kurva parametrik |
Keputusan sebelum jawaban
- Sinyal periodik dapat dimulai dari minimum sambil mempertahankan periode dan amplitudo yang sama dengan sinyal yang dimulai dari maksimum. Fasanya, bukan ukurannya atau frekuensinya, yang berubah.
- Tujuan Anda: Membedakan amplitudo, frekuensi sudut, sudut fase, dan geseran horizontal.
Bacalah hubungannya
- Untuk y=A cos(ωx−φ) dengan A>0 dan ω>0, amplitudo adalah A, periode adalah 2π/ω, dan geseran horizontal adalah φ/ω. Sudut fase φ diukur di dalam argumen kosinus; ia bukan itu sendiri geseran horizontal kecuali ω=1. Mulailah dengan jarak puncak-ke-puncak untuk periode dan jarak garis tengah-ke-puncak untuk amplitudo. Untuk mencari fase, substitusikan titik yang diketahui dan periksa arah gerak di sana. Fase ekuivalen berbeda oleh 2π.
- Hilangkan parameter sambil mempertahankan domainnya dan arah pelacakannya.
For y=2 cos(3x−π), what is the rightward horizontal shift?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Factor the argument as 3(x−π/3). The phase π is divided by angular frequency 3.
Gunakan aturan penentu
- Untuk y=−2 cos(3x), tulis ulang model dengan amplitudo positif sebagai 2 cos(3x−π). Amplitudonya adalah 2, periode 2π/3, dan fase π; geseran kanan ekuivalen adalah π/3. Puncak terjadi ketika 3x−π merupakan kelipatan dari 2π. Satu titik grafik pada x=0 dan y=0 saja tidak dapat menentukan fase secara unik: kemiringan atau titik lain membedakan sudut yang mungkin. Satuan dan konvensi sudut penting; turunan trigonometri kalkulus biasa menggunakan radian.
- Gunakan turunan parametrik tanpa mengasumsikan tangen vertikal diam.
For x=cos³t,y=sin³t with t in [0,π/2], which set is traced?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The parameter interval keeps both coordinates nonnegative. Elimination gives the astroid relation, but does not remove this quadrant restriction.
Periksa syarat-syaratnya
- Kurva parametrik menentukan x=x(t), y=y(t). Mengeliminasi t menggambarkan himpunan titik tetapi dapat kehilangan batasan dan arah. Untuk x=cos³t, y=sin³t, akar kubik riil menghasilkan |x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1, sebuah astroid dengan cusps pada sumbu-seumbu. Saat t berjalan dari 0 hingga 2π, kurva dimulai di (1,0), melewati (0,1) pada π/2, dan bergerak berlawanan arah jarum jam. Membatasi t ke [0,π/2] hanya memberikan busur kuadran pertama, bukan seluruh lokus implisit.
- Gunakan turunan parametrik tanpa mengasumsikan tangen vertikal diam.
Untuk y=−2 cos(3x), minimum mencakup x=0 dan maksimum mencakup x=π/3. Representasi fase 2 cos(3x−π) memberikan nilai yang sama. Untuk x=2 cos t,y=sin t, eliminasi menghasilkan x²/4+y²=1; pada t=π/4, dx/dt=−√2 dan dy/dt=√2/2, sehingga kemiringan −1/2. Interval parameter penuh [0,2π] melacak elips sekali berlawanan arah jarum jam.
For x=t²,y=t³ and t=2, the slope dy/dx is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx=(3t²)/(2t)=3t/2 when t≠0; at t=2 this equals 3.
Terapkan format tugas
- Ketika dx/dt≠0, dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt). Tangen horizontal umumnya memerlukan dy/dt=0 dan dx/dt≠0; tangen vertikal umumnya membalikkan kondisi tersebut. Jika keduanya hilang, periksa limit atau ekspansi lokal alih-alih mengambil 0/0 sebagai kemiringan. Untuk x=t²,y=t³ pada t=0, hasil bagi untuk t≠0 adalah 3t/2 dan cenderung ke nol: cusp memiliki tangen horizontal. Kecepatan parameter nol bukanlah sendiri-sendinya maksimum atau minimum lokal dari y sebagai fungsi x.
- Gunakan turunan parametrik tanpa mengasumsikan tangen vertikal diam.
Sudut fase dan geseran horizontal berbeda oleh faktor frekuensi. Persamaan implisit dapat menambahkan bagian kurva yang tidak teracak. Jika kedua turunan parameter hilang, gunakan penalaran lokal alih-alih menandai setiap titik seperti itu sebagai ekstremitas.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Bedakan amplitudo, frekuensi sudut, sudut fase dan pergeseran horizontal
Phase angle φ and horizontal shift φ/ω are always the same number.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
They coincide numerically only in special cases, such as ω=1. Frequency rescales the horizontal coordinate.
Jaga pembedaan
- sudut fase — Sudut pergeseran di dalam argumen fungsi periodik, didefinisikan modulo satu periode penuh.
- kurva parametrik — Kurva yang koordinatnya ditentukan sebagai fungsi dari parameter bersama.
- Bedakan amplitudo, frekuensi sudut, sudut fase, dan geseran horizontal.
- Hilangkan parameter sambil mempertahankan domainnya dan arah pelacakannya.
- Gunakan turunan parametrik tanpa mengasumsikan tangen vertikal diam.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.