T.8 · Pengkondisian, inferensi Bayesian, dan kesalahan pengambilan sampel

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Tabel probabilitas, ekspektasi, varians, dan pengambilan sampel independen.

• Pisahkan probabilitas bersyarat, gabungan, dan peristiwa independen
• Hitung probabilitas posterior dengan tabel basis-rate lengkap
• Gunakan varians dan ukuran sampel untuk menentukan kesalahan baku rata-rata sampel

probabilitas posterior: Probabilitas yang bersyarat berdasarkan bukti yang diamati setelah memperhitungkan proporsi awal.

kesalahan baku: Simpangan baku dari suatu statistik melintasi pengambilan sampel berulang.

Untuk P(B)>0, P(A|B)=P(A∩B)/P(B): batasi populasi ke B sebelum menghitung pecahan dalam A. Independensi berarti P(A∩B)=P(A)P(B), setara dengan P(A|B)=P(A) ketika penyebutnya tidak nol. Peristiwa yang saling lepas dengan probabilitas positif tidak dapat independen, karena probabilitas gabungannya adalah nol. Pengambilan sampel tanpa pengembalian biasanya mengubah probabilitas selanjutnya; penyebut tetap untuk penarikan berturut-turut akan menggambarkan eksperimen yang berbeda.

Bangun probabilitas gabungan dengan mengalikan proporsi kategori awal dengan probabilitas bersyarat yang relevan. Jika D adalah kondisi dan + hasil positif, P(D∩+)=P(D)P(+|D). Total probabilitas positif adalah P(D)P(+|D)+P(not D)P(+|not D), karena keduanya saling lepas dan mencakup setiap hasil positif. Bayes membagi probabilitas gabungan pertama dengan total ini. Sensitivitas adalah P(+|D), sedangkan spesifisitas adalah P(−|not D); tingkat positif palsu adalah satu dikurangi spesifisitas.

Untuk tes hipotetis dengan prevalensi 2%, sensitivitas 90% dan spesifisitas 95%, gunakan populasi 10,000 untuk kejelasan. Dari 200 orang dengan kondisi tersebut, 180 uji positif. Dari 9,800 tanpa kondisi tersebut, 490 uji positif. Oleh karena itu, 180 dari 670 hasil positif memiliki kondisi tersebut: posterior 18/67, sekitar 26.9%. Membalikkan kondisional akan memberikan 90%, menjawab pertanyaan yang berbeda. Ini adalah model matematika, bukan rekomendasi mengenai keputusan klinis.

Untuk observasi yang terdistribusi identik dan independen dengan varians terbatas σ², rata-rata sampel memiliki ekspektasi μ dan varians σ²/n; kesalahan bakunya adalah σ/√n. Ini adalah sebaran rata-rata sampel berulang, bukan sebaran observasi individu. Menggandakan empat kali lipat n mengurangi kesalahan baku menjadi setengahnya, bukan seperempatnya. Data populasi normal memberikan mean yang tepat normal; jika tidak, pendekatan batas pusat memerlukan kondisi dan ukuran sampel yang memadai. Korelasi membatalkan perhitungan varians independen sederhana.

Misalkan P(A)=0.4, P(B)=0.5 dan P(A∩B)=0.3. Maka P(A|B)=0.6, sehingga A dan B tidak independen, karena 0.3≠0.4·0.5. Jika sebuah variabel memiliki simpangan baku 12, sampel independen berukuran 36 memiliki standar error rata-rata 2. Meningkatkan ukuran sampel menjadi 144 menghasilkan 1; simpangan baku observasi individu tetap 12.

Jangan membalikkan P(+|D) menjadi P(D|+). Sertakan hasil positif palsu dalam penyebut posterior. Simpangan baku observasi individu dan standar error rata-ratanya memiliki perilaku ukuran sampel yang berbeda.

Dalam model yang dinyatakan, 10% perangkat memiliki cacat. Tes positif untuk 80% perangkat cacat dan 5% perangkat non-cacat. Temukan probabilitas cacat mengingat hasil positif menggunakan 1000 perangkat yang diharapkan.

Penyelesaian terarah

Jumlah yang diharapkan adalah 100 cacat dan 900 non-cacat. Jumlah positif adalah $100(0.8)=80$ dan $900(0.05)=45$, masing-masing. Kelompok yang dikondisikan mengandung 125 positif, sehingga

Jumlah negatif 20 dan 855 memeriksa kedua total baris. Sensitivitas 0.8 adalah $P(+\mid D)$, bukan kondisi terbalik yang diminta. Ini adalah laju model ilustratif, bukan klaim kinerja terukur.

Observasi independen memiliki varians 25. Temukan kesalahan baku rata-ratanya untuk n=100. Jika sebaliknya setiap pasangan berbeda memiliki kovarians 1, temukan varians rata-ratanya. Apakah menggandakan empat kali lipat n pasti mengurangi kesalahan baku menjadi setengahnya dalam model kedua tersebut?

Periksa setelah mencoba

Independensi memberikan $\operatorname{Var}(\overline X)=25/n$ dan pada 100 standar error $5/10=0.5$. Dengan kovarians satu,

Pada 100 nilainya 1.24. Kesalahan standar cenderung ke satu saat n bertambah, bukan ke nol; menggandakan empat kali n tidak harus menggandak dua kesalahannya. Suku kovarians hanya dapat diabaikan jika ketidakberkaitan yang dibenarkan, dengan independensi sebagai kondisi cukup.