C.6 · Ekstrem multivariabel dan optimisasi dengan kendala

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Turunan parsial, bentuk kuadratik, kekompakan, dan kendala.

• Klasifikasikan titik kritis dua variabel dengan Hessian
• Gunakan pengali Lagrange dengan kendala reguler
• Bandingkan nilai ekstrem dan nilai yang dapat dicapai di bawah kendala reguler

Hessian: Matriks turunan parsial kedua yang digunakan untuk mempelajari kelengkungan lokal.

Pengali Lagrange: Skalar yang menghubungkan gradien fungsi objektif dan kendala reguler pada titik ekstrem terkendala.

Untuk fungsi terdiferensialkan pada domain terbuka, ekstrem lokal interior memiliki gradien nol. Kondisi ini bersifat perlu, bukan cukup. Untuk dua variabel pada titik kritis, misalkan D=f_xx f_yy−(f_xy)². Jika D>0, f_xx>0 memberikan minimum lokal ketat dan f_xx<0 memberikan maksimum lokal ketat; D<0 memberikan saddle. Tes ini memerlukan regularitas turunan kedua yang sesuai di sekitar titik tersebut.

Ketika D=0, tes turunan kedua tidak konklusif, bukan bukti adanya saddle. Fungsi x⁴+y⁴ dan x⁴−y⁴ memiliki Hessian nol yang sama di titik asal, tetapi satu memiliki minimum ketat dan yang lain berubah tanda. Evaluasi sepanjang arah yang berbeda atau gunakan ketaksamaan langsung. Untuk bentuk kuadratik, kepastian positif memberikan interpretasi Hessian yang lebih umum.

Pada kendala kesamaan halus g(x,y)=c dengan gradien tak nol g, selesaikan gradien f=lambda gradien g bersama-sama dengan g=c. Persamaan-persamaan ini menghasilkan kandidat; mereka tidak mengklasifikasikan atau menjamin ekstrem global. Jika gradien kendala hilang, kondisi regularitas gagal dan persamaan pengali dapat melewatkan ekstrem terkendala. Perlakukan titik-titik seperti itu secara terpisah. Untuk x²+y²=a dan xy=b>0, (x−y)²=a−2b menunjukkan perlunya a≥2b. Ini juga cukup: ambil s=√(a+2b), d=√(a−2b), x=(s+d)/2 dan y=(s−d)/2. Nilai-nilai real ini memiliki xy=b dan x²+y²=a. Syarat minimum saja memerlukan pengecekan ketercapaian ini untuk menetapkan kelayakan solusi.

Fungsi kontinu pada himpunan layak kompak mencapai ekstrem global. Untuk menemukannya, bandingkan semua kandidat interior dan semua bagian batas, termasuk sudut dan ujung. Untuk persegi panjang, optimalkan pembatasan pada setiap sisi. Untuk cakram, batas lingkaran mungkin menggunakan parameter atau pengali. Menyelesaikan hanya gradien tanpa kendala mengabaikan kemungkinan pemenang di batas.

Minimalkan x²+y² dengan syarat x+y=6. Gradien kendala adalah (1,1), sehingga 2x=lambda dan 2y=lambda. Dengan demikian x=y dan kendala memberikan x=y=3, dengan nilai 18. Melengkapi kuadrat pada garis memberikan x²+(6−x)²=2(x−3)²+18, membuktikan minimum global. Tidak ada maksimum pada garis tak terbatas ini, meskipun terdapat kandidat pengali.

Solusi pengali Lagrange adalah kandidat, bukan otomatis maksimum atau minimum. Periksa regularitas dan seluruh himpunan layak.

Klasifikasikan titik asal untuk $f(x,y)=x^2-y^2$ dan untuk $g(x,y)=x^4+y^4$. Nyatakan apa yang determinan Hessian nol memungkinkan Anda simpulkan.

Penyelesaian terarah

Untuk f, Hessian adalah $\operatorname{diag}(2,-2)$ dengan determinan -4; titik asal adalah saddle. Sepanjang sumbu, nilainya memiliki tanda berlawanan. Untuk g, Hessian di nol adalah nol, sehingga tes turunan kedua tidak konklusif. Namun tetap $x^4+y^4\ge0$, dengan kesamaan hanya di titik asal; ini adalah minimum global ketat. Tes yang tidak konklusif bukan klasifikasi titik.

Temukan semua ekstrem dari $f(x,y)=xy$ di bawah $x^2+y^2=2$. Bandingkan dengan meminimalkan $x^2+y^2$ pada garis $x+y=4$, termasuk apakah maksimum ada.

Periksa setelah mencoba

Lingkaran bersifat kompak dan gradien kendalanya $(2x,2y)$ tidak pernah hilang di sana. Pengali menghasilkan $y=2\lambda x$, $x=2\lambda y$. Tidak ada koordinat yang bisa nol pada titik stasioner; oleh karena itu $y=\pm x$. Keempat kandidat $(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)$ memberikan maksimum global 1 dan minimum -1. Batas $2|xy|\le x^2+y^2=2$ memeriksa kelengkapan. Pada garis, $x^2+(4-x)^2=2(x-2)^2+8$, sehingga minimumnya adalah 8 di $(2,2)$. Tidak ada maksimum karena ekspresinya tak terbatas. Kandidat pengali saja tidak menetapkan kompaktitas.