C.7 · Perubahan koordinat dan teorema integral vektor

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Integral ganda, turunan parsial, dan batas berorientasi.

• Transformasikan integral ganda dan tiga kali dengan Jacobian mereka
• Terapkan teorema Green, Stokes, dan divergensi dengan orientasi yang benar
• Periksa singularitas domain sebelum menyatakan independensi lintasan

divergensi: Jumlah turunan parsial komponen-komponen medan vektor yang mengukur aliran keluar lokal.

medan konservatif: Medan vektor yang sama dengan gradien potensial skalar dengan integral garis yang independen terhadap lintasan.

Perubahan variabel mengubah skala luas atau volume dengan determinan Jacobian absolut. Koordinat polar menggunakan r dr dtheta; koordinat silinder menggunakan r dr dtheta dz; koordinat bola dengan phi diukur dari sumbu z positif menggunakan rho² sin(phi) dρ dphi dtheta. Nyatakan konvensi sudut dan transformasikan baik integran maupun daerahnya. Ketidakhadiran Jacobian mengubah integral kepadatan seragam menjadi besaran fisik yang salah.

Teorema Green menyamakan integral sirkulasi batas planar berorientasi positif P dx+Q dy dengan integral ganda Q_x−P_y pada daerah tersebut. Hipotesis umum mensyaratkan turunan pertama kontinu pada himpunan terbuka yang memuat daerah itu. Lubang memerlukan batas dalam berorientasi negatifnya sendiri, atau perlakuan valid lainnya untuk domain yang hilang. Teorema ini tidak dapat mengintegrasikan melintasi singularitas medan.

Teorema Stokes menyamakan sirkulasi pada batas permukaan dengan integral permukaan dari curl F dot normal terorientasi. Aturan tangan kanan menghubungkan arah batas dengan normal. Teorema divergensi menyamakan fluks keluar melalui permukaan tertutup dengan integral volume dari div F. Sirkulasi, fluks, curl, dan divergensi adalah berbeda; permukaan tertutup diperlukan untuk teorema divergensi yang biasa.

Medan gradien memiliki integral garis yang tidak bergantung lintasan, ditentukan oleh selisih potensial titik akhir. Medan bebas curl yang terdiferensiasi kontinyu pada domain terbuka yang sederhana terhubung bersifat konservatif. Bebas curl saja pada domain dengan lubang tidak cukup. Untuk F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²)), aslinya tidak termasuk; sirkulasi lingkaran satuan adalah 2π, meskipun curlnya nol di mana pun medan terdefinisi.

Untuk F=(x,y,z), divergensi adalah 3. Fluks keluar melalui bola berjari-jari 2 oleh karena itu 3 kali volumenya, atau 3·(4π·2³/3)=32π. Ini menghindari parameterisasi permukaan. Untuk bidang datar (−y,x), teorema Green memberikan sirkulasi lingkaran satuan berlawanan arah jarum jam sebagai integral dari 1−(−1)=2 di atas cakram, sehingga 2π. Membalik orientasi mengubah tanda sirkulasi.

Curl nol tidak cukup ketika domain memiliki lubang. Fluks keluar dan sirkulasi berlawanan jarum jam menggunakan teorema dan aturan orientasi yang berbeda.

Evaluasi $\iint_D(x^2+y^2)\,dA$ pada $1\le x^2+y^2\le4$. Temukan fluks keluar dari $F=(x,y,z)$ melintasi bola satuan.

Penyelesaian terarah

Cincin memiliki batas polar $1\le r\le2$, $0\le\theta\le2\pi$. Termasuk Jacobian,

F terdiferensiasi kontinyu pada seluruh bola dan memiliki divergensi tiga. Teorema divergensi memberikan fluks keluar $3(4\pi/3)=4\pi$. Orientasi masuk akan membalik tandanya.

Misalkan $G=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$ pada bidang yang dibersihkan. Curl skalar-nya nol di sana. Evaluasi sirkulasinya pada lingkaran satuan berlawanan arah jarum jam. Jelaskan mengapa Teorema Green tidak membuatnya nol.

Periksa setelah mencoba

Parametrisasi $r(t)=(\cos t,\sin t)$ untuk $0\le t\le2\pi$. Maka $G(r(t))=(-\sin t,\cos t)=r'(t)$, sehingga $G\cdot r'=1$ dan integralnya adalah $2\pi$. Medan ini tidak terdefinisi di aslinya di dalam cakram. Teorema Green membutuhkan kehalusan yang dibutuhkan pada lingkungan daerah, bukan hanya pada batasnya. Curl nol pada domain yang dibersihkan tidak menetapkan potensi global; medan tertutup yang tak eksak dapat bersirkulasi di sekitar lubangnya.