Perubahan koordinat dan teorema integral vektor
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| divergence/daɪˈvɜːdʒəns/ | divergensi |
| conservative field/kənˈsɜːvətɪv fiːld/ | medan konservatif |
Keputusan sebelum jawaban
- Medan vektor dapat memiliki curl nol menjauhi titik asal sementara sirkulasi di sekeliling titik asalnya tidak nol. Lubang dalam domainnya penting.
- Tujuan Anda: Mengubah integral ganda dan triple beserta Jacobian-nya.
Bacalah hubungannya
- Mengganti variabel mengubah skala luas atau volume dengan determinan Jacobian mutlak. Koordinat polar menggunakan r dr dtheta; koordinat silinder menggunakan r dr dtheta dz; koordinat bola dengan phi diukur dari sumbu z positif menggunakan rho² sin(phi) dρ dphi dtheta. Nyatakan konvensi sudut dan ubah baik integran maupun daerahnya. Ketidakadaan Jacobian mengubah integral kerapatan seragam menjadi besaran fisik yang salah.
- Terapkan teorema Green, Stokes, dan divergensi dengan orientasi yang benar.
What is the polar-coordinate area element?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The absolute Jacobian of (r cos(theta),r sin(theta)) is r.
Gunakan aturan penentu
- Teorema Green menyamakan integral sirkulasi batas planar berorientasi positif P dx+Q dy dengan integral ganda Q_x−P_y pada daerah tersebut. Hipotesis biasa memerlukan turunan pertama yang kontinu pada himpunan terbuka yang memuat daerah. Lubang membutuhkan batas dalam berorientasi negatifnya sendiri, atau perlakuan valid lainnya untuk domain yang hilang. Teorema ini tidak dapat mengintegrasikan melintasi singularitas medan.
- Periksa singularitas domain sebelum menyatakan independensi lintasan.
For F=(x,y,z), what is the outward flux through the unit sphere?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Divergence is 3 and unit-ball volume is 4π/3, so outward flux is 4π.
Periksa syarat-syaratnya
- Teorema Stokes menyamakan sirkulasi pada batas permukaan dengan integral permukaan dari curl F dot normal terorientasi. Aturan tangan kanan menghubungkan arah batas ke normal. Teorema divergensi menyamakan fluks keluar melalui permukaan tertutup dengan integral volume dari div F. Sirkulasi, fluks, curl, dan divergensi adalah berbeda; permukaan tertutup diperlukan untuk teorema divergensi biasa.
- Periksa singularitas domain sebelum menyatakan independensi lintasan.
Untuk F=(x,y,z), divergensi adalah 3. Fluks keluar melalui bola berjari-jari 2 oleh karena itu 3 kali volumenya, atau 3·(4π·2³/3)=32π. Ini menghindari parameterisasi permukaan. Untuk bidang datar (−y,x), teorema Green memberikan sirkulasi lingkaran satuan berlawanan arah jarum jam sebagai integral dari 1−(−1)=2 di atas cakram, sehingga 2π. Membalik orientasi mengubah tanda sirkulasi.
For F=(2x,3y,4z), the divergence is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Differentiate matching coordinates and add 2+3+4.
Terapkan format tugas
- Medan gradien memiliki integral garis yang independen terhadap lintasan, ditentukan oleh selisih potensial titik akhir. Medan bebas-curl yang terdiferensiasi kontinyu pada domain terbuka simply connected adalah konservatif. Bebas-curl saja pada domain dengan lubang tidak cukup. Untuk F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²)), asal dibuang; sirkulasi lingkaran satuan adalah 2π, meskipun curlnya nol di mana pun medan terdefinisi.
- Periksa singularitas domain sebelum menyatakan independensi lintasan.
Curl nol tidak cukup ketika domain memiliki lubang. Fluks keluar dan sirkulasi berlawanan jarum jam menggunakan teorema dan aturan orientasi yang berbeda.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Transformasikan integral ganda dan tiga kali dengan Jacobian mereka
A curl-free field on the punctured plane is always conservative.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The angular field in the lesson has zero curl away from zero but unit-circle circulation 2π, so it cannot be a global potential gradient there.
Jaga pembedaan
- divergensi — Jumlah turunan parsial koordinat-wise dari sebuah medan vektor yang mengukur aliran lokal keluar.
- medan konservatif — Medan vektor yang sama dengan gradien potensial skalar dengan integral garis yang independen terhadap lintasan.
- Ubah integral ganda dan triple beserta Jacobian-nya.
- Terapkan teorema Green, Stokes, dan divergensi dengan orientasi yang benar.
- Periksa singularitas domain sebelum menyatakan independensi lintasan.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.