Fungsi, cabang invers dan komposisi
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| bijection/baɪˈdʒekʃn/ | bijeksi |
| involution/ɪnvəˈluːʃn/ | involution |
Keputusan sebelum jawaban
- Pengkodean reversibel harus memulihkan tepat satu input. Rumus saja tidak bisa memberi tahu apakah pemulihan memungkinkan: input dan output yang diizinkannya penting.
- Tujuan Anda: Membedakan injektivitas dan surjektivitas menggunakan domain dan kodomain yang dinyatakan.
Bacalah hubungannya
- Fungsi menetapkan tepat satu output untuk setiap input yang diizinkan. Injektif berarti output yang sama memaksa input yang sama; surjektif berarti setiap elemen dari kodomain yang dinyatakan tercapai. Pemetaan x↦x² dari R ke [0,∞) adalah surjektif tetapi bukan injektif. Dari [0,∞) ke [0,∞) ia adalah keduanya, sehingga bijektif. Dari [0,∞) ke R ia tetap injektif tetapi gagal surjektivitas. Jaga domain, citra, dan kodomain terpisah saat menguji setiap klaim.
- Pilih dan verifikasi cabang invers dengan mengkomposisikan dalam kedua arah.
For f:[2,∞)→[−5,∞), f(x)=(x−2)²−5, what is f⁻¹(y)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The input restriction x≥2 forces x−2≥0, so select the positive square-root branch.
Gunakan aturan penentu
- Fungsi invers membalikkan sebuah bijeksi. Selesaikan y=f(x) untuk x, lalu gunakan domain asli untuk memilih cabang. Untuk f(x)=(x−2)²−5 pada x≥2, inversnya adalah 2+√(y+5) pada y≥−5. Cabang minus akan mengembalikan input di luar domain yang dipilih. Periksa f⁻¹(f(x))=x untuk x yang diizinkan dan f(f⁻¹(y))=y untuk y yang diizinkan; satu komposisi yang tidak diperiksa dapat menyembunyikan kesalahan domain.
- Telusuri komposisi fungsi berulang sambil mempertahankan domain.
For g(x)=1/(1−x) on R excluding 0 and 1, what is g⁸(3)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The orbit is 3, −1/2, 2/3, then 3 again. Eight is congruent to two modulo three.
Periksa syarat-syaratnya
- Grafik invers mencerminkan grafik asli melintasi y=x; ia tidak mengambil resiprokal nilai output. Fungsi swainvers, atau involusi, memenuhi f(f(x))=x di mana pun komposisi terdefinisi. Baik −x pada R dan 1/x pada R kecuali nol adalah involusi. Involusi yang meningkat ketat pada interval haruslah identitas: jika f(x)>x, peningkatan memberikan f(f(x))>f(x)>x, dan argumen analog menyingkirkan f(x)<x.
- Telusuri komposisi fungsi berulang sambil mempertahankan domain.
Untuk f(x)=(x−2)²−5 dengan x≥2, f(5)=4 dan f⁻¹(4)=2+√9=5. Kuadrat tanpa batas akan memiliki dua input, −1 dan 5, menghasilkan output 4. Untuk g(x)=1/(1−x), orbit 3→−1/2→2/3→3 memiliki periode tiga, sehingga g⁸(3)=2/3; perhitungannya mengenai komposisi, bukan pangkat delapan.
For h(x)=−x on R, the value of h(h(7)) is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Negation twice returns the original input; this map is an involution.
Terapkan format tugas
- Iterasi fⁿ berarti komposisi berulang, bukan pangkat (f(x))ⁿ. Hitung beberapa komposisi pertama dan periksa domainnya sebelum mencari periode. Untuk f(x)=1/(1−x) pada R kecuali 0 dan 1, f²(x)=(x−1)/x dan f³(x)=x. Citra tetap berada dalam domain yang diperbolehkan yang sama. Oleh karena itu, kurangi jumlah iterasi modulo tiga. Rumus yang ditampilkan sama dengan x setelah pembatalan tidak mengembalikan input yang dilarang.
- Telusuri komposisi fungsi berulang sambil mempertahankan domain.
Mengubah kodomain mengubah surjektivitas. Refleksi melintasi y=x adalah grafik invers; membalikkan nilai y adalah operasi yang berbeda. Jangan membatalkan input yang dikecualikan.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Bedakan injektivitas dan surjektivitas menggunakan domain dan kodomain yang dinyatakan
The function x↦x² from [0,∞) to R is surjective.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
No negative element of the codomain is reached. The image is only [0,∞).
Jaga pembedaan
- bijeksi — Fungsi yang sekaligus injektif dan surjektif antara himpunan yang ditentukan.
- involusi — Fungsi yang komposisinya dengan dirinya sendiri adalah identitas pada domainnya.
- Bedakan injektivitas dan surjektivitas menggunakan domain dan kodomain yang dinyatakan.
- Pilih dan verifikasi cabang invers dengan mengkomposisikan dalam kedua arah.
- Telusuri komposisi fungsi berulang sambil mempertahankan domain.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.