Gambar himpunan, relasi ekuivalen dan negasi logis
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| preimage/ˌpriːˈɪmɪdʒ/ | prapeta |
| equivalence relation/ɪˈkwɪvələns rɪˈleɪʃn/ | relasi ekuivalen |
Keputusan sebelum jawaban
- Dua rekaman yang berbeda dapat diberi label yang sama. Tabrakan sederhana ini menjelaskan mengapa citra sebuah irisan dapat berbeda dari irisan dari dua citra.
- Tujuan Anda: Buktikan identitas citra dan bedakan inklusi dari kesamaan.
Bacalah hubungannya
- Untuk f:X→Y dan A⊆X, citra f(A) terdiri dari semua output f(a) dengan a di dalam A. Sebuah titik berada di f(A∪B) tepat ketika ia berasal dari A atau B, sehingga f(A∪B)=f(A)∪f(B). Jika A⊆B, maka f(A)⊆f(B). Untuk irisan saja, f(A∩B)⊆f(A)∩f(B) terjadi secara otomatis: output yang sama mungkin berasal dari input yang berbeda. Gunakan f(x)=x², A={−1}, B={1}; citra kiri kosong sementara irisan kanan adalah {1}.
- Periksa refleksivitas, simetri, dan transitivitas dengan kasus-kasus eksplisit.
Which identity holds for every function f and subsets A,B of its domain?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
An output of an input in the union comes from at least one subset. Intersection equality can fail when distinct inputs share an output.
Gunakan aturan penentu
- Pra-citra berperilaku berbeda. Untuk C⊆Y, f⁻¹(C) di sini menunjukkan himpunan semua input yang dikirim ke dalam C, bahkan jika f tidak memiliki fungsi invers. Keanggotaan dalam dua pra-citra berarti input yang sama persis memetakan ke dalam kedua himpunan target. Akibatnya, pra-citra menjaga gabungan, irisan, dan komplemen relatif terhadap domain/kodomain yang dinyatakan. Jangan mentransfer teorema tentang pra-citra ke citra. Jika f injektif, irisan citra menjadi sama, karena output yang sama memaksa adanya input bersama.
- Negasikan implikasi dan pernyataan terkuantifikasi tanpa mengubah jangkauan mereka.
What is the negation of P⇒(Q∧R)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Failure of the implication requires a true premise and a false conjunction. De Morgan changes the latter into a disjunction.
Periksa syarat-syaratnya
- Relasi R pada X bersifat refleksif jika xRx untuk setiap x, simetris jika xRy menyiratkan yRx, dan transitif jika xRy dan yRz menyiratkan xRz. Ketiganya membentuk relasi ekuivalen; kelas-kelasnya mempartisi X. Pada bilangan bulat, xRy ketika x dan y memiliki sisa yang sama modulo empat memberikan empat kelas. Relasi |x−y|≤1 bersifat refleksif dan simetris tetapi tidak transitif: 0R1 dan 1R2 sementara 0 tidak terkait dengan 2. Memeriksa hanya diagram atau dua sifat tidak cukup.
- Negasikan implikasi dan pernyataan terkuantifikasi tanpa mengubah jangkauan mereka.
Misalkan f memetakan a dan b ke label L. Dengan A={a}, B={b}, f(A∩B)=∅ tetapi f(A)∩f(B)={L}. Untuk xRy yang didefinisikan oleh x=y atau x=−y pada R, refleksivitas dan simetri mengikuti langsung, dan dua perubahan tanda masih menghasilkan z=±x, membuktikan transitivitas. Kelas-kelasnya adalah {x,−x}, dengan {0} sebagai himpunan tunggal. Pernyataan salah “setiap file yang disimpan memiliki hash” berarti setidaknya satu file yang disimpan tidak memiliki hash; itu tidak berarti semua file tidak memiliki hash.
How many equivalence classes are there on Z for equality of remainders modulo four?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Each integer belongs to exactly one of the remainder classes 0, 1, 2 or 3.
Terapkan format tugas
- Implikasi P⇒Q bernilai false tepat ketika P true dan Q false. Jadi negasi dari P⇒(Q∧R) adalah P∧(¬Q∨¬R), bukan ¬P⇒(¬Q∧¬R). Menegasi “setiap x memiliki properti A” menghasilkan “terdapat x tanpa A”; menegasi “terdapat x” menghasilkan “setiap x tidak”. Contoh penyangkal dapat membantah klaim universal, sementara contoh tidak dapat membuktikannya. Kuantifier mempertahankan urutan mereka saat dinegasikan secara individual: ¬(∀x∃y S(x,y)) adalah ∃x∀y ¬S(x,y).
- Negasikan implikasi dan pernyataan terkuantifikasi tanpa mengubah jangkauan mereka.
f⁻¹(C) bisa berarti himpunan pra-citra tanpa fungsi invers. Relasi refleksif dan simetris masih bisa gagal transitif. Negasikan seluruh pernyataan sebelum menyederhanakan bagian-bagiannya.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Buktikan identitas citra dan bedakan inklusi dari kesamaan
The relation |x−y|≤1 on R is transitive.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Use x=0,y=1,z=2: the first two pairs satisfy the relation, but the pair (0,2) does not.
Jaga pembedaan
- pra-citra — Himpunan input yang output-nya terletak di dalam himpunan target yang ditentukan.
- relasi ekuivalen — Relasi yang bersifat refleksif, simetris, dan transitif.
- Buktikan identitas gambar dan bedakan antara inklusi dengan kesamaan.
- Periksa refleksivitas, simetri, dan transitivitas dengan kasus-kasus eksplisit.
- Negasikan implikasi dan pernyataan terkuantifikasi tanpa mengubah jangkauan mereka.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.