T.6 · Fungsi, cabang invers, dan komposisi

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Domain fungsi, persamaan kuadrat, dan komposisi.

• Bedakan injektivitas dan surjektivitas menggunakan domain dan kodomain yang dinyatakan
• Pilih dan verifikasi cabang invers dengan composing di kedua arah
• Lacak komposisi fungsi berulang sambil mempertahankan domain

bijeksi: Fungsi yang merupakan injektif dan surjektif antara himpunan yang ditentukan.

involution: Fungsi yang komposisinya dengan dirinya sendiri adalah identitas pada domainnya.

Fungsi assigns tepat satu output untuk setiap input yang diizinkan. Injektif berarti output sama memaksa input sama; surjektif berarti setiap elemen dari kodomain yang dinyatakan tercapai. Pemetaan x↦x² dari R ke [0,∞) adalah surjektif tetapi tidak injektif. Dari [0,∞) ke [0,∞) ia keduanya, sehingga bijektif. Dari [0,∞) ke R ia tetap injektif tetapi gagal surjektivitas. Jaga domain, citra, dan kodomain terpisah saat menguji setiap klaim.

Fungsi invers membalikkan bijeksi. Selesaikan y=f(x) untuk x, lalu gunakan domain asli untuk memilih cabang. Untuk f(x)=(x−2)²−5 pada x≥2, inversnya adalah 2+√(y+5) pada y≥−5. Cabang minus akan mengembalikan input di luar domain yang dipilih. Periksa f⁻¹(f(x))=x untuk x yang diizinkan dan f(f⁻¹(y))=y untuk y yang diizinkan; satu composing tanpa pengecekan dapat menyembunyikan kesalahan domain.

Grafik invers mencerminkan grafik asli sepanjang y=x; itu tidak mengambil resiprokal dari nilai output. Fungsi self-inverse, atau involution, memenuhi f(f(x))=x di mana pun komposisinya terdefinisi. Baik −x pada R dan 1/x pada R mengecualikan nol adalah involutions. Involution yang meningkat ketat pada interval haruslah identitas: jika f(x)>x, peningkatan memberikan f(f(x))>f(x)>x, dan argumen analog menyingkirkan f(x)<x.

Iterasi fⁿ berarti komposisi berulang, bukan pangkat (f(x))ⁿ. Hitung beberapa komposisi awal dan periksa domainnya sebelum mencari periode. Untuk f(x)=1/(1−x) pada R yang mengecualikan 0 dan 1, berlaku f²(x)=(x−1)/x dan f³(x)=x. Citra tetap berada dalam domain yang diizinkan. Oleh karena itu, kurangi jumlah iterasi modulo tiga. Rumus yang ditampilkan sama dengan x setelah penyederhanaan tidak mengembalikan input yang dilarang.

Untuk f(x)=(x−2)²−5 dengan x≥2, f(5)=4 dan f⁻¹(4)=2+√9=5. Kuadrat tanpa batas akan memiliki dua input, −1 dan 5, menghasilkan output 4. Untuk g(x)=1/(1−x), orbit 3→−1/2→2/3→3 memiliki periode tiga, sehingga g⁸(3)=2/3; perhitungannya mengenai komposisi, bukan pangkat delapan.

Mengubah kodomain mengubah surjektivitas. Refleksi melintasi y=x adalah grafik invers; membalikkan nilai y adalah operasi yang berbeda. Jangan membatalkan input yang dikecualikan.

Batasi $f(x)=(x-1)^2+2$ ke $x\ge1$. Nyatakan citra dan inversnya, termasuk domainnya. Verifikasi kedua komposisi invers tersebut.

Penyelesaian terarah

Citra adalah $[2,\infty)$. Menyelesaikan $y=(x-1)^2+2$ dengan $x\ge1$ memilih $x=1+\sqrt{y-2}$. Dengan demikian $f^{-1}:[2,\infty)\to[1,\infty)$ memiliki rumus tersebut. Untuk x yang diizinkan, $1+\sqrt{(x-1)^2}=x$ karena $x-1\ge0$. Untuk y yang diizinkan, $(\sqrt{y-2})^2+2=y$. Cabang akar kuadrat negatif merupakan bagian dari batasan lain, bukan invers kedua pada domain ini.

Misalkan $h(x)=1/(1-x)$. Tentukan domain dari $h\circ h\circ h$ dan rumusnya. Bisakah ekspresi yang disederhanakan diperluas ke titik-titik yang dikecualikan tanpa mengubah komposit asli?

Periksa setelah mencoba

Tahap pertama memerlukan $x\ne1$. Tahap kedua memerlukan $h(x)\ne1$, yang mengecualikan x=0. Untuk $x\ne0,1$, berlaku $h^2(x)=(x-1)/x$. Ini tidak pernah bernilai satu, sehingga tahap ketiga tidak menambahkan pengecualian. Kemudian $h^3(x)=x$ pada $\mathbb R\setminus\{0,1\}$. Rumus identitas didefinisikan lebih luas, namun menambahkan 0 atau 1 mendefinisikan perluasan, bukan komposit asli. Setiap input perantara harus diizinkan sebelum penyederhanaan.