C.5 · Integral tak wajar dan aplikasi geometri

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Integral tak tentu, limit, perbandingan, dan integrasi geometris.

• Definisikan integral tak wajar dengan limit pada setiap batas singularitas
• Pilih rumus luas, volume, dan panjang busur dari geometri
• Pisahkan kekonvergenan integral dari pembatalan bertanda

integral tak wajar: Integral yang didefinisikan melalui limit pada batas tak hingga atau singularitas.

nilai utama: Limit menggunakan pembatalan simetris yang ditetapkan yang mungkin ada ketika integral tak wajar biasa divergen.

Batas integrasi tak hingga diganti dengan batas terbatas dan limit. Pada titik singular dalam interval, pecah integral dan minta kedua integral satu sisi konvergen secara terpisah. Pembatalan simetris dapat mendefinisikan nilai utama Cauchy tetapi tidak membuktikan kekonvergenan integral tak wajar biasa. Untuk 1/x melintasi nol, kedua sisi divergen meskipun pemotongan simetris saling meniadakan.

Integral x^(−p) dari 1 hingga tak hingga konvergen tepat jika p>1. Dari nol ke 1, konvergen tepat jika p<1. Eksponen yang sama berperilaku berbeda di dua batas tersebut. Untuk fungsi integrand positif, perbandingan mentransfer kekonvergenan dari fungsi yang dapat diintegralkan lebih besar atau divergensi dari fungsi yang tidak dapat diintegralkan lebih kecil; pertahankan arah ketaksamaan dengan benar. Untuk integral maksimum atau minimum, selesaikan persilangan cabang dan periksa ekspresi mana yang mendominasi setiap interval. Untuk max(√(1−x²),x+1) pada [−1,1], persilangan interior adalah nol; gunakan setengah lingkaran pada [−1,0] dan garis pada [0,1]. Luasnya adalah π/4+3/2, bukan integral dari salah satu cabang pada seluruh interval.

Untuk rotasi mengelilingi sumbu-x, cakram atau cincin mengintegrasikan π(R²²−r²²) dx. Cangkang silinder menggunakan 2π kali jari-jari kali tinggi dan mengintegrasikan variabel yang sesuai. Pilih metode berdasarkan geometri dan verifikasi jari-jari nonnegatif. Luas antara kurva mengintegrasikan atas dikurangi bawah, memecahnya di mana urutan mereka berubah. Integral bertanda bukan otomatis merupakan luas geometris.

Untuk kurva bidang yang terdiferensiasi y=f(x), panjang busur adalah integral dari sqrt(1+(f′(x))²) dx. Permukaan yang terbentuk dengan memutar f nonnegatif di sekitar sumbu-x memiliki luas integral 2πf sqrt(1+(f′)²) dx. Ini adalah besaran berbeda dari volume. Jika interval tidak terbatas, rumus geometris tetap memerlukan uji konvergensi.

Putar y=1/x untuk x≥1 sekitar sumbu-x. Volume cakram adalah π dikali integral dari 1/x², sehingga V=π. Integran permukaan lateral adalah 2π(1/x)sqrt(1+1/x⁴), setidaknya 2π/x; integral tak warganya divergen. Oleh karena itu, volume terbatas tidak menyiratkan luas permukaan terbatas. Perbandingan ini menghindari upaya mencari antiturunan yang tidak perlu.

Jangan pernah menghitung nilai utama sebagai integral tak wajar yang konvergen, atau menyimpulkan keterbatasan satu besaran geometris dari besaran lainnya.

Untuk nilai real p manakah $\int_0^\infty x^{-p}\,dx$ konvergen? Bandingkan integral tak wajar biasa dari $1/x$ pada $[-1,1]$ dengan nilai utamanya yang simetris.

Penyelesaian terarah

Pecah di 1. Di dekat nol, kekonvergenan memerlukan $p<1$; di dekat tak hingga, diperlukan $p>1$. Tidak ada p real yang memenuhi keduanya, dan p=1 divergen secara logaritmik di kedua ujung. Kedua bagian satu sisi harus konvergen secara independen. Untuk $1/x$ melintasi nol, bagian negatif dan positif divergen secara terpisah, sehingga integral tak wajar biasa divergen. Pemotongan simetris saling meniadakan menjadi nol, menghasilkan hanya nilai utama. Nol bukanlah nilai dari integral biasa.

Putar daerah di bawah $y=1/x$, $x\ge1$, mengelilingi sumbu-x. Buktikan volumenya terbatas dan luas permukaan lateralnya tak terbatas.

Periksa setelah mencoba

Cakram memberikan $V=\pi\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\pi\lim(1-1/b)=\pi$. Untuk luas permukaan, $y'=-1/x^2$ dan

Integrand nonnegatifnya setidaknya $2\pi/x$, yang integralnya divergen. Perbandingan membuktikan luas lateral tak terbatas. Ini mencakup neither tutup ujung maupun klaim bahwa volume terbatas menyiratkan luas terbatas.