Ekstrem multivariabel dan optimisasi terkendala
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| Hessian/ˈheʃn/ | Hessian |
| Lagrange multiplier/ˈlæɡreɪndʒ ˌmʌltɪˈplaɪə/ | pengali Lagrange |
Keputusan sebelum jawaban
- Gradien nol dapat mengidentifikasi minimum, maksimum, atau pelana. Hal ini juga bisa gagal mengklasifikasikan minimum ordinary yang sempurna.
- Tujuan Anda: Klasifikasikan titik kritis dua variabel dengan Hessian.
Bacalah hubungannya
- Untuk fungsi yang dapat diturunkan pada domain terbuka, ekstrelokal interior memiliki gradien nol. Kondisi ini perlu, bukan cukup. Untuk dua variabel pada titik kritis, misalkan D=f_xx f_yy−(f_xy)². Jika D>0, f_xx>0 memberikan minimum lokal ketat dan f_xx<0 memberikan maksimum lokal ketat; D<0 memberikan saddle. Tes-tes ini memerlukan regularitas turunan kedua yang sesuai di sekitar titik tersebut.
- Gunakan pengali Lagrange dengan kendala reguler.
At a critical point f_xx=2, f_yy=−2 and f_xy=0. What does the second-derivative test give?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
D=2(−2)−0²=−4, so the point is a saddle.
Gunakan aturan penentu
- Ketika D=0 uji turunan kedua tidak konklusif, bukan bukti adanya pelana. Fungsi x⁴+y⁴ dan x⁴−y⁴ memiliki Hessian nol yang sama di titik asal, namun yang satu memiliki minimum ketat dan yang lain berubah tanda. Evaluasi sepanjang arah yang kontras atau gunakan ketaksamaan langsung. Untuk bentuk kuadrat, definit positif memberikan interpretasi Hessian yang lebih umum.
- Bandingkan ekstrem dan nilai yang dapat dicapai di bawah kendala reguler.
What is the maximum of xy subject to x²+y²=2?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
(x−y)²≥0 implies 2xy≤x²+y²=2. Equality occurs at (1,1) and (−1,−1).
Periksa syarat-syaratnya
- Pada kendala kesamaan halus g(x,y)=c dengan gradien tak nol g, selesaikan gradien f=lambda gradien g bersama g=c. Persamaan-persamaan ini menghasilkan kandidat; mereka tidak mengklasifikasikan atau menjamin ekstrema global. Jika gradien kendala menghilang, kondisi regularitas gagal dan persamaan multiplier dapat melewatkan ekstrema terkendala. Perlakukan titik-titik seperti itu secara terpisah. Untuk x²+y²=a dan xy=b>0, (x−y)²=a−2b menunjukkan keharusan a≥2b. Hal ini juga cukup: ambil s=√(a+2b), d=√(a−2b), x=(s+d)/2 dan y=(s−d)/2. Nilai-nilai riil ini memiliki xy=b dan x²+y²=a. Syarat minimum saja memerlukan pemeriksaan pencapaian ini untuk menetapkan keterselesaian.
- Bandingkan ekstrem dan nilai yang dapat dicapai di bawah kendala reguler.
Minimalkan x²+y² dengan syarat x+y=6. Gradien kendala adalah (1,1), sehingga 2x=lambda dan 2y=lambda. Dengan demikian x=y dan kendala memberikan x=y=3, dengan nilai 18. Melengkapi kuadrat pada garis memberikan x²+(6−x)²=2(x−3)²+18, membuktikan minimum global. Tidak ada maksimum pada garis tak terbatas ini, meskipun terdapat kandidat pengali.
The minimum value of x²+y² on x+y=4 is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The minimising point is (2,2), giving 4+4=8, or complete the square.
Terapkan format tugas
- Fungsi kontinu pada himpunan layak yang kompak mencapai ekstrem global. Untuk menemukannya, bandingkan semua kandidat interior dan semua bagian batas, termasuk sudut dan ujung. Untuk persegi panjang, optimalkan pembatasan pada setiap sisi. Untuk cakram, batas lingkaran mungkin menggunakan parameter atau pengali. Menyelesaikan hanya gradien tanpa kendala mengabaikan kemungkinan pemenang di batas.
- Bandingkan ekstrem dan nilai yang dapat dicapai di bawah kendala reguler.
Solusi pengali Lagrange adalah kandidat, bukan otomatis maksimum atau minimum. Periksa regularitas dan seluruh himpunan layak.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Mengklasifikasikan titik kritis dua variabel dengan matriks Hessian
D=0 at a critical point proves that point is a saddle.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The test is inconclusive; x⁴+y⁴ has D=0 at a strict minimum.
Jaga pembedaan
- Hessian — Matriks turunan parsial kedua yang digunakan untuk mempelajari kelengkungan lokal.
- Pengali Lagrange — Skalar yang menghubungkan gradien objektif dan kendala reguler pada ekstrem terkendala.
- Klasifikasikan titik kritis dua variabel dengan Hessian.
- Gunakan pengali Lagrange dengan kendala reguler.
- Bandingkan ekstrem dan nilai yang dapat dicapai di bawah kendala reguler.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.