C.4 · Ekspansi Taylor dan titik akhir deret pangkat

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Turunan, deret geometri dan uji konvergensi.

• Membangun polinomial Taylor dan mengontrol galat pendekatan
• Menentukan jari-jari konvergensi dan menguji ujung-ujungnya secara terpisah
• Membedakan dan mengintegrasikan deret pangkat di dalam interval konvergensinya

jari-jari konvergensi: Jarak dari pusat deret ke dalam mana deret pangkat konvergen mutlak.

sisaan: Selisih antara sebuah fungsi dan pendekatannya yang terbatas.

Polinomial Taylor derajat m di a adalah jumlah f^(k)(a)(x−a)^k/k! untuk k dari nol hingga m. Faktorial milik setiap koefisien. Jika turunan berikutnya dibatasi besarnya oleh M antara a dan x, sisaan Lagrange memiliki besaran paling banyak M|x−a|^(m+1)/(m+1)!. Kelancaran semata tidak menjamin bahwa deret Taylor tak hingga sama dengan fungsi di mana-mana.

Deret pangkat sum c_n(x−a)^n konvergen mutlak di dalam jari-jarinya R dan divergen di luarnya. Uji rasio atau akar biasanya menentukan R, dengan kemungkinan nilai nol dan tak hingga. Pada x=a−R dan x=a+R, uji sering kali tidak conclusif; substitusikan masing-masing ujung ke dalam deret asli. Perilaku dua ujung tersebut mungkin berbeda.

Dalam interval konvergensi terbuka, diferensiasi dan integrasi term-wise mempertahankan jari-jari. Mereka dapat mengubah apakah batas-batasnya termasuk atau tidak. Mulailah dari deret geometri 1/(1−x)=sum x^n untuk |x|<1, lalu integrasikan dari nol hingga x untuk memperoleh −ln(1−x)=sum x^n/n untuk n≥1. Periksa konstanta integrasi dan domain logaritma real.

Deret juga menyelesaikan bentuk limit yang dapat dihapuskan. Untuk mengevaluasi (e^x−1−x)/x² di dekat nol, pertahankan suku pertama yang tersisa x²/2 alih-alih hanya menggunakan e^x≈1+x. Pemotongan asimtotik menetapkan limit; ketaksamaan interval terbatas memerlukan argumen sisa tanda atau besaran terpisah. Jangan mensubstitusikan ke dalam deret di luar interval konversinya.

Untuk sum x^n/n dengan n≥1, uji rasio memberikan jari-jari 1. Pada x=1 ini adalah deret harmonik yang divergen; pada x=−1 ini adalah deret berganti tanda yang konvergen. Dengan demikian, interval konvergensi riilnya adalah [−1,1). Mendifferensiasikan di dalamnya menghasilkan sum x^(n−1)=1/(1−x), yang tidak konvergen pada salah satu pun titik ujung. Jari-jari tetap 1 sementara inklusi titik ujung berubah.

Jari-jari bukan interval konvergensi yang lengkap. Uji titik-titik ujung dan koefisien faktorial harus diperiksa secara eksplisit.

Temukan interval konvergensi dari $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$ dan turunannya suku demi suku. Hampirkan $e^{0.1}$ dengan polinomial Taylor kuadratnya dengan batas galat yang beralasan.

Penyelesaian terarah

Uji rasio memberikan jari-jari satu. Pada 1 deret harmonik asli divergen; pada -1 deret berganti tanda konvergen. Jadi interval aslinya adalah $[-1,1)$. Turunannya adalah $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=1/(1-x)$ hanya untuk $|x|<1$; sukunya tidak menuju nol di kedua ujung. $P_2(0.1)=1+0.1+0.1^2/2=1.105$. Pada $[0,0.1]$, turunan ketiga adalah $e^x<2$. Batasan Lagrange memberikan $|R_2|\le2(0.1)^3/6=1/3000$. Batasan ini sengaja konservatif, bukan klaim kesalahan eksak.

Evaluasi $\lim_{x\to0}(\cos x-1+x^2/2)/x^4$. Jelaskan mengapa mengganti cosinus dengan hanya $1-x^2/2$ tidak dapat menentukan limit ini.

Periksa setelah mencoba

Teorema Taylor di sekitar nol memberikan $\cos x=1-x^2/2+x^4/24+O(x^6)$. Pengurangan menghilangkan suku konstan dan kuadrat, menyisakan $x^4/24+O(x^6)$. Setelah pembagian, limitnya adalah $1/24$. Trunkasi dengan sisa hanya $o(x^2)$ tidak memberikan kendali setelah dibagi oleh $x^4$; pertahankan dan batasi orde pertama yang tersisa.