T.5 · Himpunan terbuka, kekompakan, dan keterhubungan

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Himpunan, himpunan terbuka relatif, fungsi-fungsi kontinu dan urutan-urutan.

• Hitung klosis, interior, dan batas dalam ruang yang ditentukan
• Terapkan kekompakan dan keterhubungan pada pemetaan kontinu
• Bedakan topologi relatif dari topologi Euclidean ambient

topologi relatif: Subset terbuka yang diwarisi dengan memotongkan subspace dengan himpunan terbuka ambient.

keterhubungan: Ketiadaan pemisahan menjadi subset terbuka relatif yang saling lepas dan tak kosong.

Dalam ruang metrik, himpunan terbuka memuat bola kecil di sekitar masing-masing titiknya. Interior terdiri dari titik-titik semacam itu; klosis mencakup semua titik limit; batas adalah klosis dikurangi interior. Terbuka dan tertutup bukan label yang saling eksklusif; himpunan kosong dan seluruh ruang keduanya termasuk. Di R, himpunan [0,1) memiliki interior (0,1), klosis [0,1] dan batas {0,1}.

Dalam subspace X, himpunan terbuka berbentuk X dipotongkan dengan himpunan terbuka ambient. Jadi [0,1) terbuka relatif terhadap [0,2], menggunakan irisan dengan (-1,1), meskipun ia tidak terbuka di R. Suatu himpunan juga bisa tertutup relatif tanpa tertutup di ruang ambient. Selalu nyatakan ruang mana yang mendefinisikan lingkungan dan metrik mana yang digunakan.

Kekompakan berarti setiap penutup terbuka memiliki subpenutup berhingga. Di Euclidean R^n, Heine–Borel menjadikannya ekuivalen dengan tertutup dan terbatas. Dalam ruang metrik, kekompakan ekuivalen dengan kekompakan berurutan; kelengkapan dan keterbatasan saja tidak cukup di ruang metrik sembarang. Citra kontinu dari himpunan kompak adalah kompak, yang memberikan maksimum dan minimum tercapai untuk fungsi real kontinu pada domain kompak tak kosong.

Himpunan terhubung tidak dapat dipisahkan menjadi dua bagian terbuka relatif yang saling lepas dan tak kosong; subset terhubung dari R tepat berupa interval. Citra kontinu dari himpunan terhubung adalah terhubung, yang menghasilkan teorema nilai antara. Keterhubungan lintasan mengimplikasi keterhubungan, tetapi tidak sebaliknya di setiap ruang. Himpunan kompak tidak harus terhubung, dan himpunan terhubung tidak harus kompak; himpunan dua titik finite dan interval terbuka menyediakan kasus-kasus kontras.

Misalkan X=[0,1] dengan topologi relatif standarnya. Himpunan U=[0,0.5) sama dengan X diiriskan dengan (-1,0.5), sehingga U terbuka di X. Closure-nya di X adalah [0,0.5], dan boundary-nya di X adalah {0.5}; nol adalah titik interior relatif terhadap X. Untuk f kontinu pada X dengan f(0)<0<f(1), keterhubungan menjamin adanya nol, sementara kekompakan secara terpisah menjamin ekstrem tercapai.

Uji tertutup-dan-terbatas Heine–Borel adalah teorem ruang Euclidean. Keterhubungan dan kekompakan menjawab pertanyaan yang berbeda.

Dalam $X=[0,2]$ dengan topologi relatifnya, tentukan interior, penutup, dan batas dari $A=[0,1)$. Apakah A terbuka atau tertutup dalam X?

Penyelesaian terarah

$A=X\cap(-1,1)$ terbuka di X, sehingga interior relatifnya adalah A. Penutupnya adalah $[0,1]$ dan batasnya adalah $\{1\}$. Nol adalah interior relatif terhadap X karena bola yang cukup kecil di X tidak memiliki bagian negatif. A tidak tertutup di X: sekuens $1-1/n$ untuk $n\ge2$ cenderung ke titik yang hilang 1. Di garis real ambient, interior dan batas akan menjadi $(0,1)$ dan $\{0,1\}$.

Berikan himpunan riil yang kompak dan tak terhubung, serta himpunan riil yang terhubung namun tidak kompak. Haruskah fungsi riil kontinu pada himpunan latter mencapai nilai ekstrem? Jelaskan sifat mana yang memberikan teorem nilai antara.

Periksa setelah mencoba

Himpunan hingga $\{0,2\}$ adalah kompak tetapi tak terhubung. Interval $(0,1)$ terhubung tetapi tidak kompak. Fungsi identitas kontinu pada $(0,1)$ tidak mencapai maksimum maupun minimum. Keterhubungan membuat citra riil kontinu menjadi interval dan oleh karena itu menyediakan nilai-nilai antara. Kekompakan sebaliknya membuat citra riil kontinu tak kosong mencapai nilai-nilai ekstremanya. Neither property substitutes for the other.