T.4 · Barisan, deret, dan konvergensi seragam

Persiapan GRE tingkat sarjana. Tujuan lokal dalam cakupan ETS yang ditinjau; ini adalah pengajaran orisinal, bukan uji coba resmi atau prediktor skor.

Prasyarat: Limit barisan, supremum, kontinuitas dan deret numerik.

• Gunakan kriteria Cauchy, konvergensi monoton dan subbarisan
• Bedakan konvergensi titik dari konvergensi seragam fungsi
• Periksa hipotesis sebelum menukar limit dan integral

barisan Cauchy: Barisan yang suku-sukunya pada tahap cukup akhir saling berdekatan sembarang dekat.

konvergensi seragam: Konvergensi dengan satu indeks ambang kesalahan yang berlaku di setiap titik domain.

Urutan real yang konvergen adalah Cauchy, dan setiap urutan Cauchy real konvergen karena R lengkap. Di Q, urutan Cauchy dapat mendekati bilangan irasional dan gagal konvergen dalam Q. Urutan real monoton yang terbatas konvergen. Urutan yang terbatas tidak harus konvergen, tetapi Bolzano–Weierstrass menjamin adanya suburutan yang konvergen; (-1)^n memiliki dua batas suburutan yang berbeda.

Untuk deret numerik, konvergensi mutlak mengimplikasikan konvergensi; konvergensi kondisional tidak memungkinkan pengurutan sembarang tanpa memengaruhi jumlah. Deret harmonik berganti tanda konvergen tetapi deret nilai mutlaknya divergen. Dalam uji rasio, limit di bawah 1 membuktikan konvergensi mutlak dan di atas 1 membuktikan divergensi; limit sama dengan 1 tidak conclusif, seperti yang ditunjukkan oleh deret ∑1/n dan ∑1/n².

Konvergensi titik-titik memilih indeks N secara terpisah untuk setiap x dan toleransi. Konvergensi seragam memilih satu N yang berlaku untuk setiap x dalam domain. Untuk fungsi bernilai real, periksa supremum |f_n−f| di seluruh domain. Limit titik-titik yang kontinu tidak sendiri-sendiri membuktikan konvergensi seragam. Titik akhir domain dan puncak yang mengecil sering membedakan kedua konsep tersebut.

Limit seragam dari fungsi-fungsi kontinu adalah kontinu. Pada interval tertutup terbatas, konvergensi seragam fungsi-fungsi terintegralkan Riemann memungkinkan pertukaran limit dan integral. Pertukaran turunan memerlukan hipotesis tambahan; konvergensi seragam fungsi-fungsi itu sendiri tidak cukup. Uji M Weierstrass menetapkan konvergensi mutlak seragam dari sebuah deret fungsi jika setiap suku dibatasi oleh M_n di seluruh domain dan ∑M_n konvergen.

Pada [0,1], f_n(x)=x^n cenderung ke 0 untuk x<1 dan ke 1 pada x=1. Limitnya tidak kontinu, sehingga konvergensi tidak bisa seragam; secara langsung, kesalahan supremum adalah 1, didekati di bawah 1. Pada [0,a] dengan 0≤a<1, limitnya adalah nol dan supremumnya adalah a^n, yang cenderung ke nol, sehingga konvergensi bersifat seragam. Mengubah domain mengubah kesimpulan.

Memeriksa beberapa nilai x tetap tidak membuktikan batas supremum maupun konvergensi seragam. Titik yang menghasilkan kesalahan terbesar mungkin bergerak seiring n.

Tentukan konvergensi titik-titik dan konvergensi seragam dari $f_n(x)=x^n$ pada $[0,1]$ dan pada $[0,a]$ untuk $0<a<1$ tetap. Bandingkan $\sum1/n^2$ dengan deret harmonik berganti tanda untuk konvergensi mutlak.

Penyelesaian terarah

Pada $[0,1]$, limitnya nol untuk $x<1$ dan satu pada 1. Limit ini tidak kontinu, sehingga fungsi-fungsi kontinu $f_n$ tidak dapat konvergen seragam. Secara langsung, kesalahan supremum pada $[0,1)$ adalah satu. Pada $[0,a]$, supremumnya adalah $a^n\to0$, sehingga konvergensi seragam menuju nol. Deret p dengan p=2 konvergen mutlak. Deret harmonik berganti tanda konvergen melalui suku-suku yang menurun menuju nol, tetapi deret mutlaknya divergen; konvergensinya bersifat kondisional.

Misalkan $g_n(x)=\sin(nx)/n$ pada $\mathbb R$. Apakah konvergensi seragam? Bkah turunannya konvergen ke turunan dari limitnya? Gunakan titik eksplisit untuk memutuskan.

Periksa setelah mencoba

$\sup_{x\in\mathbb R}|g_n(x)|=1/n\to0$, sehingga fungsi-fungsi tersebut konvergen seragam menuju nol. Tetapi $g_n'(x)=\cos(nx)$, dan pada $x=0$ turunan-turunan ini semuanya 1. Turunan dari limit nol adalah 0. Dengan demikian, konvergensi seragam fungsi-fungsi itu sendiri tidak membenarkan diferensiasi limit; diperlukan hipotesis tambahan mengenai konvergensi turunan.