Ekspansi Taylor dan titik akhir deret daya
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | sisaan |
| radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | jari-jari konvergensi |
Keputusan sebelum jawaban
- Polinomial dapat mendekati fungsi transenden dekat suatu titik, namun pendekatan tanpa batas galat dapat menghasilkan ketaksamaan yang salah.
- Tujuan Anda: Bangun polinomial Taylor dan kendalikan galat pendekatan.
Bacalah hubungannya
- Polinomial Taylor berderajat m pada a adalah jumlah f^(k)(a)(x−a)^k/k! untuk k dari nol hingga m. Faktorial milik setiap koefisien. Jika turunan berikutnya dibatasi oleh M dalam besaran antara a dan x, sisa Lagrange memiliki besaran paling besar M|x−a|^(m+1)/(m+1)!. Kelancaran saja tidak menjamin bahwa deret Taylor tak hingga sama dengan fungsi di mana-mana.
- Tentukan jari-jari konvergensi dan uji titik-titik ujung secara terpisah.
What is the coefficient of x³ in the Maclaurin series of e^(2x)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The coefficient is 2³/3!=8/6=4/3; the factorial cannot be omitted.
Gunakan aturan penentu
- Deret pangkat sum c_n(x−a)^n konvergen mutlak di dalam jari-jari R-nya dan divergen di luarnya. Uji rasio atau akar biasanya menentukan R, dengan kemungkinan nilai nol dan tak hingga. Pada x=a−R dan x=a+R, pengujian sering kali tidak dapat menyimpulkan; substitusikan setiap titik ujung ke deret asli. Perilaku pada kedua titik ujung mungkin berbeda.
- Turunkan dan integralkan deret pangkat di dalam interval konvergensinya.
Which is the interval of convergence of sum x^n/n² for n≥1?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The radius is 1 and both endpoints converge absolutely by comparison with sum 1/n².
Periksa syarat-syaratnya
- Di dalam interval konvergensi terbuka, diferensiasi dan integrasi per suku mempertahankan jari-jari. Mereka dapat mengubah apakah titik-titik ujung termasuk di dalamnya. Mulai dari deret geometri 1/(1−x)=sum x^n untuk |x|<1, lalu integrasikan dari nol ke x untuk memperoleh −ln(1−x)=sum x^n/n untuk n≥1. Periksa konstanta integrasi dan domain logaritma real.
- Turunkan dan integralkan deret pangkat di dalam interval konvergensinya.
Untuk sum x^n/n dengan n≥1, uji rasio memberikan jari-jari 1. Pada x=1 ini adalah deret harmonik yang divergen; pada x=−1 ini adalah deret berganti tanda yang konvergen. Dengan demikian, interval konvergensi riilnya adalah [−1,1). Mendifferensiasikan di dalamnya menghasilkan sum x^(n−1)=1/(1−x), yang tidak konvergen pada salah satu pun titik ujung. Jari-jari tetap 1 sementara inklusi titik ujung berubah.
The limit of (e^x−1−x)/x² as x tends to zero is ____ (decimal).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
e^x=1+x+x²/2+O(x³), leaving a quotient tending to 1/2.
Terapkan format tugas
- Deret juga menyelesaikan bentuk limit yang dapat dihilangkan. Untuk mengevaluasi (e^x−1−x)/x² di dekat nol, pertahankan suku pertama yang tersisa x²/2 daripada hanya menggunakan e^x≈1+x. Pemotongan asimtotik menetapkan limit; ketaksamaan interval terbatas memerlukan argumen sisa tanda atau besaran terpisah. Jangan substitusikan ke dalam deret di luar interval konvergensinya.
- Turunkan dan integralkan deret pangkat di dalam interval konvergensinya.
Jari-jari bukan interval konvergensi yang lengkap. Uji titik-titik ujung dan koefisien faktorial harus diperiksa secara eksplisit.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Membangun polinomial Taylor dan mengontrol kesalahan pendekatan
Differentiating a power series always preserves endpoint convergence.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sum x^n/n converges at −1, but its differentiated geometric series does not.
Jaga pembedaan
- jari-jari konvergensi — Jarak dari pusat deret di mana deret pangkat konvergen mutlak.
- sisa — Selisih antara fungsi dan pendekatannya yang terbatas.
- Bangun polinomial Taylor dan kontrol kesalahan pendekatan.
- Tentukan jari-jari konvergensi dan uji titik-titik ujung secara terpisah.
- Turunkan dan integralkan deret pangkat di dalam interval konvergensinya.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.