I · Numerical methods

AQA Matematika A-level 7357, Bagian I (Metode numerik), versi 1.3 (asesmen pertama 2018). Catatan pengajaran asli.

Prasyarat: evaluasi fungsi dan analisis tanda dari bagian B dan G.

Ini adalah contoh pengajaran asli, bukan materi resmi AQA.

Pertanyaan

• Persamaan x³ − x − 1 = 0 tidak memiliki solusi aljabar yang rapi, namun seorang insinyur memerlukan akar hingga empat tempat desimal. Bagaimana jawaban perkiraan dapat DIBUKTIKAN benar sesuai akurasi yang dinyatakan?
• Sebelum membaca lebih lanjut, sebutkan apa yang ditunjukkan oleh perubahan tanda, dan apa yang bisa membuat jawaban desimal dapat dipercaya.

Metode

• Fungsi kontinu dengan tanda berlawanan di dua ujung memiliki akar di antara keduanya. Biseksi membagi interval menjadi dua, mempertahankan setengah interval yang ujung-ujungnya masih berbeda tanda; hentikan jika titik tengahnya itu sendiri adalah akar.
• Iterasi x berikutnya = g(x) menyempurnakan estimasi dari penataan ulang; sebuah limit harus memenuhi L = g(L) dan diperiksa dalam persamaan asli. Newton–Raphson menggunakan x berikutnya = x − f(x)/f′(x) dengan turunan tak nol. Aturan trapesium mengestimasi integral tentu: (h/2)(y₀ + 2y₁ + … + 2yₙ₋₁ + yₙ).
• biseksi: Membagi dua rentang akar, mempertahankan setengah dengan perubahan tanda; iterasi: Mengulang pembaruan x berikutnya = g(x) dari estimasi sebelumnya; Newton–Raphson: Pembaruan akar x berikutnya = x − f(x)/f′(x); aturan trapesium: Mengestimasi integral dengan menjumlahkan strip trapesium.

Memeriksa pekerjaan Anda

• Perubahan tanda membuktikan adanya akar hanya di mana fungsi TERHUBUNG: 1/x berubah tanda melintasi x = 0 tanpa akar di sana. Laporkan akar yang dibulatkan beserta rentangnya, seperti 1.3247 dengan empat tempat desimal yang ditunjukkan oleh perubahan tanda f pada [1.32465, 1.32475], sehingga akurasinya dapat dibuktikan.
• Iterasi dapat divergen atau berputar: periksa iterat, domain, dan persamaan asli. Aturan trapesium memperkirakan lebih tinggi atau lebih rendah tergantung kelengkungan, bukan karena fungsi sekadar meningkat.

Contoh terpecahkan

• Diketahui: f(x) = x² − 2 dan x₀ = 1.5 untuk Newton–Raphson. f′(x) = 2x, jadi x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀) = 1.5 − (2.25 − 2)/3 = 1.5 − 0.0833… = 1.4166667. Langkah kedua: f(1.4166667) ≈ 0.0069444, f′ ≈ 2.8333333, jadi x₂ ≈ 1.4142157, menutup pada √2.

Contoh:

Estimasi ∫₀² x² dx dengan dua strip trapesium sama dan bandingkan dengan nilai eksak, menggunakan urutan yang sama. (Jawaban: h = 1, tinggi 0, 1, 4, jadi A = (1/2)(0 + 2 × 1 + 4) = 3. Nilai eksaknya adalah 8/3 ≈ 2.667 — kurva cekung membuat estimasi menjadi overestimate.)

Batasan dan jebakan

• Setiap metode memiliki kondisinya: biseksi membutuhkan perubahan tanda yang terhubung, Newton membutuhkan turunan tak nol dan dapat gagal dari awal yang buruk, dan |g′(L)| < 1 adalah kondisi konvergensi lokal yang cukup saat g′ terhubung di sekitar titik tetap L dan nilai awal cukup dekat; ini tidak wajib. Pita lebih banyak meningkatkan estimasi trapesium tetapi tidak pernah membuatnya eksak hanya dengan pernyataan.

Peringatan:

Setiap perubahan tanda membuktikan akar, termasuk satu melintasi diskontinuitas. Klaim ini salah: penalaran nilai antara memerlukan kontinuitas pada seluruh interval — melintasi asimtot fungsi dapat melompat dari negatif ke positif tanpa akar sama sekali.

Kunci:

Metode numerik: batasi akar dengan perubahan tanda yang kontinu dan bagi dua dengan biseksi; iterasi dengan pengecekan konvergensi; Newton–Raphson menggunakan garis singgung; aturan trapesium mengestimasi integral dengan kelengkungan yang menentukan arah kesalahan.