J · Vectors

AQA A-level Mathematics 7357, bagian J (Vektor), versi 1.3 (asesmen pertama 2018). Catatan pengajaran asli.

Prasyarat: geometri koordinat dari bagian C dan Pythagoras.

Ini adalah contoh pengajaran asli, bukan materi resmi AQA.

Pertanyaan

• Sebuah drone terbang dari A(1, 2) ke B(5, 5), tetapi perangkat lunak misi meminta jalur kembali juga. Formula tunggal mana yang memberikan perpindahan keluar dan pembalikannya yang tepat?
• Sebelum membaca lebih lanjut, sebutkan apa yang dibutuhkan vektor perpindahan selain jarak, dan bagaimana jalur kembali berbeda.

Metode

• Vektor membawa besaran dan arah. Vektor posisi menandai titik dari satu titik asal; perpindahan dari A ke B adalah AB = b − a, dan BA = −AB membalikkannya. Tambahkan dan kurangkan komponen; perkalian skalar menjaga vektor tetap sejajar.
• Perkalian skalar a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = |a||b| cos θ mengukur sudut: vektor tegak lurus memiliki a·b = 0, dan a·a = |a|². Besar vektor berasal dari Pythagoras: |(4, 3)| = 5.
• vektor: Besaran dengan besaran dan arah; perpindahan: Vektor dari satu titik ke titik lain, b − a; perkalian skalar: Jumlah hasil kali komponen, sama dengan |a||b| cos θ.

Memeriksa pekerjaan Anda

• Pertahankan urutan pengurangan: BA = −AB, sehingga menukar ujung membalikkan setiap komponen. Klaim kesejajaran memerlukan hubungan perkalian skalar antar vektor; sketsa saja bukan bukti.
• Untuk kolinearitas tiga titik, tunjukkan dua perpindahan sejajar DAN berbagi titik umum; vektor sejajar di lokasi berbeda membuktikan tidak ada hal tentang satu garis.

Contoh terpecahkan

• Diketahui: a = (4, 1) dan b = (1, 3). Hasil kali titik adalah a·b = 4 × 1 + 1 × 3 = 7. Besarnya adalah |a| = √17 dan |b| = √10, sehingga cos θ = 7/(√17 × √10) ≈ 0.537, memberikan θ ≈ 57.5°. Karena a·b ≠ 0, vektor-vektor tersebut tidak saling tegak lurus.

Contoh:

Dengan A(1, 2) dan B(5, 5), tentukan perpindahan AB, besarnya, dan perpindahan kembali, menggunakan urutan yang sama. (Jawaban: AB = (5, 5) − (1, 2) = (4, 3); |AB| = √(4² + 3²) = 5; BA = (−4, −3), dengan besaran yang sama dalam arah berlawanan.)

Batasan dan jebakan

• Vektor menjawab "sejauh MANA"; jarak hanyalah skalar. Hasil kali titik melihat arah: nilainya terbesar saat vektor sejajar, nol saat tegak lurus, dan negatif saat berlawanan arah.

Peringatan:

AB dan BA memiliki komponen yang sama. Klaim ini salah: BA = −AB membalik setiap komponen — dari B kembali ke A adalah (−4, −3), bukan (4, 3). Hanya besar vektornya yang sama.

Kunci:

Vektor: perpindahan = akhir − awal, dibalik oleh perjalanan kembali; komponen dijumlahkan; perkalian skalar tetap sejajar; hasil kali titik memberikan sudut, dengan tegak lurusnya tepat pada a·b = 0.