Probability, Random Variables, and Probability Distributions · ⁨Probabilitas, Variabel Acak, dan Distribusi Probabilitas⁩

AP Statistics · ⁨AP Statistik⁩ · Topic 4 · ⁨Topik 4⁩

View Slides · ⁨Lihat Salindia⁩ Train · ⁨Latih⁩

Video lesson for this topic · ⁨Pelajaran video untuk topik ini⁩ Open the video page · ⁨Buka halaman video⁩

4.1

Random and Non-Random Patterns · ⁨Pola Acak dan Non-Acak⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (VAR-1): Given that variation may be random or not, conclusions are uncertain.

Learning Objective VAR-1.F: Identify questions suggested by patterns in data. [Skill 1.A]

VAR-1.F.1 Patterns in data do not necessarily mean that variation is not random.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (VAR-1): Mengingat variasi bisa bersifat acak atau tidak, kesimpulan bersifat tidak pasti.

Tujuan Pembelajaran VAR-1.F: Identifikasi pertanyaan yang muncul dari pola dalam data. [Keterampilan 1.A]

VAR-1.F.1 Pola dalam data tidak selalu berarti variasi tersebut bukan acak.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Something is random 随机 if individual outcomes are uncertain but a regular pattern emerges over many repetitions. Short-run results look erratic; long-run relative frequencies settle down. This long-run stability is what makes probability useful.

Bahasa Indonesia

Suatu hal bersifat acak jika hasil individu tidak pasti tetapi pola teratur muncul selama banyak pengulangan. Hasil jangka pendek tampak tidak teratur; frekuensi relatif jangka panjang stabil. Stabilitas jangka panjang inilah yang membuat probabilitas berguna.

4.2

Estimating Probabilities Using Simulation · ⁨Mengestimasi Probabilitas Menggunakan Simulasi⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (UNC-2): Simulation allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-2.A: Estimate probabilities using simulation. [Skill 3.A]

UNC-2.A.1 A random process generates results that are determined by chance.
UNC-2.A.2 An outcome is the result of a trial of a random process.
UNC-2.A.3 An event is a collection of outcomes.
UNC-2.A.4 Simulation is a way to model random events, such that simulated outcomes closely match real-world outcomes. All possible outcomes are associated with a value to be determined by chance. Record the counts of simulated outcomes and the count total.
UNC-2.A.5 The relative frequency of an outcome or event in simulated or empirical data can be used to estimate the probability of that outcome or event.
UNC-2.A.6 The law of large numbers states that simulated (empirical) probabilities tend to get closer to the true probability as the number of trials increases.
- Illustrative examples for UNC-2.A:
  - An outcome: Rolling a particular value on a six-sided number cube is one of six possible outcomes.
  - An event: When rolling two six-sided number cubes, an event would be a sum of seven. The corresponding collection of outcomes would be $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 2)$, and $(6, 1)$, where the ordered pairs indicate (face value on one cube, face value on the other cube).

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (UNC-2): Simulasi memungkinkan kita memperkirakan pola dalam data.

Tujuan Pembelajaran UNC-2.A: Estimasi probabilitas menggunakan simulasi. [Keterampilan 3.A]

UNC-2.A.1 Proses acak menghasilkan hasil yang ditentukan oleh keberuntungan.
UNC-2.A.2 Hasil adalah akibat dari sebuah percobaan proses acak.
UNC-2.A.3 Peristiwa adalah kumpulan dari hasil-hasil.
UNC-2.A.4 Simulasi adalah cara memodelkan peristiwa acak, sehingga hasil simulasi mendekati hasil dunia nyata. Semua hasil yang mungkin dikaitkan dengan nilai yang ditentukan oleh keberuntungan. Catat jumlah hasil simulasi dan jumlah totalnya.
UNC-2.A.5 Frekuensi relatif suatu hasil atau peristiwa dalam data simulasi atau empiris dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas hasil atau peristiwa tersebut.
UNC-2.A.6 Hukum bilangan besar menyatakan bahwa probabilitas yang disimulasikan (empiris) cenderung mendekati probabilitas sejati seiring bertambahnya jumlah percobaan.
- Contoh ilustratif untuk UNC-2.A:
  - Sebuah hasil: Menghasilkan nilai tertentu pada dadu enam sisi adalah salah satu dari enam kemungkinan hasil.
  - Sebuah peristiwa: Saat melempar dua dadu enam sisi, sebuah peristiwa bisa berupa jumlah tujuh. Kumpulan hasil yang sesuai adalah $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 2)$, dan $(6, 1)$, di mana pasangan berurutan menunjukkan (nilai sisi pada satu dadu, nilai sisi pada dadu lainnya).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A simulation 模拟 imitates a chance process using random digits or technology. Steps: state the model, assign digits to outcomes, run many trials, and record the proportion of trials meeting the condition. The resulting proportion estimates the probability – more trials give a better estimate.

Bahasa Indonesia

Simulasi meniru proses peluang menggunakan angka acak atau teknologi. Langkah-langkah: nyatakan model, tentukan angka untuk hasil, jalankan banyak percobaan, dan catat proporsi percobaan yang memenuhi kondisi. Proporsi yang dihasilkan mengestimasi probabilitas – lebih banyak percobaan memberikan estimasi yang lebih baik.

4.3

Introduction to Probability · ⁨Pengantar Probabilitas⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (VAR-4): The likelihood of a random event can be quantified.

Learning Objective VAR-4.A: Calculate probabilities for events and their complements. [Skill 3.A]

VAR-4.A.1 The sample space of a random process is the set of all possible non-overlapping outcomes.
VAR-4.A.2 If all outcomes in the sample space are equally likely, then the probability an event E will occur is defined as the fraction: $\dfrac{\text{number of outcomes in event E}}{\text{total number of outcomes in sample space}}$
VAR-4.A.3 The probability of an event is a number between 0 and 1, inclusive.
VAR-4.A.4 The probability of the complement of an event E, $E'$ or $E^{C}$, (i.e., not E) is equal to $1 - P(E)$.

Learning Objective VAR-4.B: Interpret probabilities for events. [Skill 4.B]

VAR-4.B.1 Probabilities of events in repeatable situations can be interpreted as the relative frequency with which the event will occur in the long run.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (VAR-4): Kemungkinan suatu peristiwa acak dapat dikuantifikasi.

Tujuan Pembelajaran VAR-4.A: Hitung probabilitas untuk peristiwa dan komplemennya. [Keterampilan 3.A]

VAR-4.A.1 Ruang sampel dari proses acak adalah himpunan semua hasil yang mungkin dan saling lepas.
VAR-4.A.2 Jika semua hasil dalam ruang sampel memiliki peluang yang sama, maka probabilitas suatu peristiwa E akan terjadi didefinisikan sebagai pecahan: $\dfrac{\text{number of outcomes in event E}}{\text{total number of outcomes in sample space}}$
VAR-4.A.3 Probabilitas suatu peristiwa adalah bilangan antara 0 dan 1, termasuk.
VAR-4.A.4 Probabilitas komplemen dari suatu peristiwa E, $E'$ atau $E^{C}$, (yaitu, bukan E) sama dengan $1 - P(E)$.

Tujuan Pembelajaran VAR-4.B: Interpretasikan probabilitas untuk peristiwa. [Keterampilan 4.B]

VAR-4.B.1 Probabilitas peristiwa dalam situasi yang dapat diulang dapat diinterpretasikan sebagai frekuensi relatif di mana peristiwa tersebut akan terjadi dalam jangka panjang.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The probability 概率 of an event is a number from $0$ to $1$ giving its long-run relative frequency. The sample space 样本空间 is the set of all outcomes. For an event $A$, the complement 补 rule: $P(A^c)=1-P(A)$. Probabilities of all outcomes sum to $1$.

Bahasa Indonesia

Probabilitas suatu peristiwa adalah bilangan dari $0$ hingga $1$ yang memberikan frekuensi relatif jangka panjangnya. Ruang sampel adalah himpunan semua hasil. Untuk peristiwa $A$, aturan komplemen: $P(A^c)=1-P(A)$. Probabilitas dari semua hasil menjumlahkan ke $1$.

Probabilitas berjalan dari 0 (mustahil) hingga 1 (pasti)

Empat kartu As dari tumpukan kartu remi — Tumpukan kartu remi adalah sumber probabilitas klasik: 52 hasil yang sama kemungkinannya membuat peluang mudah dihitung

Explore · ⁨Jelajahi⁩

Explore probability with dice · ⁨Jelajahi probabilitas dengan dadu⁩

Probability is the long-run fraction of times an outcome happens. Roll the dice many times and watch the experimental proportions settle toward the theoretical values. · ⁨Probabilitas adalah fraksi jangka panjang waktu suatu hasil terjadi. Lempar dadu banyak kali dan saksikan proporsi eksperimental stabil menuju nilai teoritis.⁩

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
random/ˈrændəm/	acak
simulation/ˌsɪmjʊˈleɪʃn/	simulasi
probability/ˌprɒbəˈbɪlɪti/	probabilitas

4.4

Mutually Exclusive Events · ⁨Peristiwa Saling Lepas⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (VAR-4): The likelihood of a random event can be quantified.

Learning Objective VAR-4.C: Explain why two events are (or are not) mutually exclusive. [Skill 4.B]

VAR-4.C.1 The probability that events $A$ and $B$ both will occur, sometimes called the joint probability, is the probability of the intersection of $A$ and $B$, denoted $P(A \cap B)$.
VAR-4.C.2 Two events are mutually exclusive or disjoint if they cannot occur at the same time. So $P(A \cap B) = 0$.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (VAR-4): Kemungkinan suatu peristiwa acak dapat dikuantifikasi.

Tujuan Pembelajaran VAR-4.C: Jelaskan mengapa dua peristiwa (atau tidak) saling lepas. [Keterampilan 4.B]

VAR-4.C.1 Probabilitas bahwa peristiwa $A$ dan $B$ keduanya akan terjadi, terkadang disebut probabilitas gabungan, adalah probabilitas irisan dari $A$ dan $B$, yang dilambangkan $P(A \cap B)$.
VAR-4.C.2 Dua peristiwa saling lepas atau diskrit jika mereka tidak dapat terjadi pada saat yang sama. Jadi $P(A \cap B) = 0$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Two events are mutually exclusive 互斥 (disjoint) if they cannot both happen. Then the addition rule simplifies:

$$P(A\text{ or }B)=P(A)+P(B)\quad(\text{if mutually exclusive}).$$

In general, $P(A\text{ or }B)=P(A)+P(B)-P(A\text{ and }B)$ – subtract the overlap so it is not counted twice.

Bahasa Indonesia

Dua peristiwa saling lepas (diskrit) jika keduanya tidak dapat terjadi bersamaan. Maka aturan penjumlahan disederhanakan:

$$P(A\text{ or }B)=P(A)+P(B)\quad(\text{if mutually exclusive}).$$

Secara umum, $P(A\text{ or }B)=P(A)+P(B)-P(A\text{ and }B)$ – kurangi irisan agar tidak dihitung dua kali.

Diagram Venn: tumpang tindih adalah irisan dua kejadian

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/	saling lepas

4.5

Conditional Probability · ⁨Probabilitas Bersyarat⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (VAR-4): The likelihood of a random event can be quantified.

Learning Objective VAR-4.D: Calculate conditional probabilities. [Skill 3.A]

VAR-4.D.1 The probability that event $A$ will occur given that event $B$ has occurred is called a conditional probability and denoted $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
VAR-4.D.2 The multiplication rule states that the probability that events $A$ and $B$ both will occur is equal to the probability that event $A$ will occur multiplied by the probability that event $B$ will occur, given that $A$ has occurred. This is denoted $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (VAR-4): Kemungkinan suatu peristiwa acak dapat dikuantifikasi.

Tujuan Pembelajaran VAR-4.D: Hitung probabilitas bersyarat. [Keterampilan 3.A]

VAR-4.D.1 Probabilitas bahwa peristiwa $A$ akan terjadi dengan syarat peristiwa $B$ telah terjadi disebut probabilitas bersyarat dan dilambangkan $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
VAR-4.D.2 Aturan perkalian menyatakan bahwa probabilitas bahwa peristiwa $A$ dan $B$ keduanya akan terjadi sama dengan probabilitas bahwa peristiwa $A$ akan terjadi dikalikan dengan probabilitas bahwa peristiwa $B$ akan terjadi, dengan syarat $A$ telah terjadi. Ini dilambangkan $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Conditional probability

The conditional probability 条件概率 of $A$ given $B$ is

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\text{ and }B)}{P(B)}.$$

It is the chance of $A$ once you know $B$ happened. Two-way tables make these easy: restrict to the row/column for $B$, then find $A$'s share.

Bahasa Indonesia

Probabilitas bersyarat

Probabilitas bersyarat dari $A$given $B$ adalah

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\text{ and }B)}{P(B)}.$$

Ini adalah peluang $A$ setelah Anda mengetahui $B$ telah terjadi. Tabel dua arah memudahkan hal ini: batasi pada baris/kolom untuk $B$, lalu temukan bagian $A$.

Pada diagram pohon, kalikan probabilitas sepanjang cabangnya

Explore · ⁨Jelajahi⁩

Update a probability on new information · ⁨Perbarui probabilitas berdasarkan informasi baru⁩

Conditional probability $P(B\mid A)$ is the chance of $B$ once you know $A$ happened. Change the branch probabilities and watch how conditioning reshapes the outcome. · ⁨Probabilitas bersyarat $P(B\mid A)$ adalah peluang $B$ setelah Anda mengetahui $A$ telah terjadi. Ubah probabilitas cabang dan saksikan bagaimana kondisioning membentuk ulang hasil.⁩

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/	probabilitas bersyarat

4.6

Independent Events and Unions of Events · ⁨Peristiwa Independen dan Gabungan Peristiwa⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (VAR-4): The likelihood of a random event can be quantified.

Learning Objective VAR-4.E: Calculate probabilities for independent events and for the union of two events. [Skill 3.A]

VAR-4.E.1 Events $A$ and $B$ are independent if, and only if, knowing whether event $A$ has occurred (or will occur) does not change the probability that event $B$ will occur.
VAR-4.E.2 If, and only if, events $A$ and $B$ are independent, then $P(A \mid B) = P(A)$, $P(B \mid A) = P(B)$, and $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
VAR-4.E.3 The probability that event $A$ or event $B$ (or both) will occur is the probability of the union of $A$ and $B$, denoted $P(A \cup B)$.
VAR-4.E.4 The addition rule states that the probability that event $A$ or event $B$ or both will occur is equal to the probability that event $A$ will occur plus the probability that event $B$ will occur minus the probability that both events $A$ and $B$ will occur. This is denoted $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (VAR-4): Kemungkinan suatu peristiwa acak dapat dikuantifikasi.

Tujuan Pembelajaran VAR-4.E: Hitung probabilitas untuk peristiwa independen dan untuk gabungan dua peristiwa. [Keterampilan 3.A]

VAR-4.E.1 Peristiwa $A$ dan $B$ adalah independen jika, dan hanya jika, mengetahui apakah peristiwa $A$ telah terjadi (atau akan terjadi) tidak mengubah probabilitas bahwa peristiwa $B$ akan terjadi.
VAR-4.E.2 Jika, dan hanya jika, peristiwa $A$ dan $B$ adalah independen, maka $P(A \mid B) = P(A)$, $P(B \mid A) = P(B)$, dan $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
VAR-4.E.3 Peluang bahwa peristiwa $A$ atau peristiwa $B$ (atau keduanya) akan terjadi adalah peluang gabungan dari $A$ dan $B$, dinotasikan $P(A \cup B)$.
VAR-4.E.4 Aturan penjumlahan menyatakan bahwa probabilitas bahwa peristiwa $A$ atau peristiwa $B$ atau keduanya akan terjadi sama dengan probabilitas bahwa peristiwa $A$ akan terjadi ditambah probabilitas bahwa peristiwa $B$ akan发生 dikurangi probabilitas bahwa kedua peristiwa $A$ dan $B$ akan terjadi. Ini dilambangkan $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Events are independent 独立 if knowing one does not change the other's probability: $P(A\mid B)=P(A)$. Then the multiplication rule simplifies:

$$P(A\text{ and }B)=P(A)\,P(B)\quad(\text{if independent}).$$

Independent is not the same as mutually exclusive – mutually exclusive events with nonzero probability are actually dependent (if one happens, the other cannot).

Bahasa Indonesia

Peristiwa independen jika mengetahui satu peristiwa tidak mengubah probabilitas peristiwa lainnya: $P(A\mid B)=P(A)$. Maka aturan perkalian menyederhanakan:

$$P(A\text{ and }B)=P(A)\,P(B)\quad(\text{if independent}).$$

Independen berbeda dengan saling lepas – peristiwa saling lepas dengan probabilitas bukan nol sebenarnya bergantung (jika satu terjadi, yang lain tidak bisa).

Diagram ruang sampel mencantumkan setiap kemungkinan hasil yang sama peluannya

Explore · ⁨Jelajahi⁩

Combine events with a Venn diagram · ⁨Gabungkan peristiwa dengan diagram Venn⁩

For a union $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ — you subtract the overlap so it isn't counted twice. Switch the operation to see each region light up. · ⁨Untuk union $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ — Anda mengurangi tumpang tindih agar tidak dihitung dua kali. Ganti operasi untuk melihat setiap daerah menyala.⁩

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
sample space/ˈsæmpl speɪs/	ruang sampel
complement/ˈkɒmplɪmənt/	komplemen
independent/ˌɪndɪˈpendənt/	independen
random variable/ˈrændəm ˈveərɪəbl/	variabel acak
probability distribution/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	distribusi probabilitas

4.7

Random Variables and Probability Distributions · ⁨Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (VAR-5): Probability distributions may be used to model variation in populations.

Learning Objective VAR-5.A: Represent the probability distribution for a discrete random variable. [Skill 2.B]

VAR-5.A.1 The values of a random variable are the numerical outcomes of random behavior.
VAR-5.A.2 A discrete random variable is a variable that can only take a countable number of values. Each value has a probability associated with it. The sum of the probabilities over all of the possible values must be 1.
VAR-5.A.3 A probability distribution can be represented as a graph, table, or function showing the probabilities associated with values of a random variable.
VAR-5.A.4 A cumulative probability distribution can be represented as a table or function showing the probability of being less than or equal to each value of the random variable.
- Illustrative examples for VAR-5.A: Outcomes of trials of a random process:
  - The sum of the outcomes for rolling two dice
  - The number of puppies in a randomly selected litter for a certain breed of dog

Learning Objective VAR-5.B: Interpret a probability distribution. [Skill 4.B]

VAR-5.B.1 An interpretation of a probability distribution provides information about the shape, center, and spread of a population and allows one to make conclusions about the population of interest.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (VAR-5): Distribusi probabilitas dapat digunakan untuk memodelkan variasi dalam populasi.

Tujuan Pembelajaran VAR-5.A: Representasikan distribusi probabilitas untuk variabel acak diskrit. [Keterampilan 2.B]

VAR-5.A.1 Nilai-nilai dari variabel acak adalah hasil numerik dari perilaku acak.
VAR-5.A.2 Variabel acak diskrit adalah variabel yang hanya dapat mengambil sejumlah nilai yang terhitung. Setiap nilai memiliki probabilitas yang terkait dengannya. Jumlah probabilitas atas semua nilai yang mungkin haruslah 1.
VAR-5.A.3 Distribusi probabilitas dapat direpresentasikan sebagai grafik, tabel, atau fungsi yang menunjukkan probabilitas yang terkait dengan nilai variabel acak.
VAR-5.A.4 Distribusi probabilitas kumulatif dapat direpresentasikan sebagai tabel atau fungsi yang menunjukkan probabilitas kurang dari atau sama dengan setiap nilai variabel acak.
- Contoh ilustratif untuk VAR-5.A: Hasil dari percobaan proses acak:
  - Jumlah dari hasil pelemparan dua dadu
  - Jumlah anak anjing dalam satu litter yang dipilih secara acak untuk jenis anjing tertentu

Tujuan Pembelajaran VAR-5.B: Interpretasikan distribusi probabilitas. [Keterampilan 4.B]

VAR-5.B.1 Interpretasi dari distribusi probabilitas memberikan informasi tentang bentuk, pusat, dan sebaran populasi serta memungkinkan seseorang untuk membuat kesimpulan mengenai populasi yang diminati.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A random variable 随机变量 assigns a number to each outcome of a chance process. A probability distribution 概率分布 lists each possible value with its probability (they sum to $1$). A distribution can be discrete (a table of values) or continuous (an area-under-a-curve model like the normal).

Bahasa Indonesia

Variabel acak assigns angka untuk setiap hasil proses peluang. Distribusi probabilitas mencantumkan setiap nilai yang mungkin beserta probabilitasnya (jumlahnya adalah $1$). Distribusi dapat berupa diskrit (tabel nilai) atau kontinu (model luas di bawah kurva seperti normal).

4.8

Mean and Standard Deviation of Random Variables · ⁨Rata-rata dan Simpangan Baku Variabel Acak⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (VAR-5): Probability distributions may be used to model variation in populations.

Learning Objective VAR-5.C: Calculate parameters for a discrete random variable. [Skill 3.B]

VAR-5.C.1 A numerical value measuring a characteristic of a population or the distribution of a random variable is known as a parameter, which is a single, fixed value.
VAR-5.C.2 The mean, or expected value, for a discrete random variable $X$ is $\mu_X = \sum x_i \cdot P(x_i)$.
VAR-5.C.3 The standard deviation for a discrete random variable $X$ is $\sigma_X = \sqrt{\sum (x_i - \mu_x)^2 \cdot P(x_i)}$.

Learning Objective VAR-5.D: Interpret parameters for a discrete random variable. [Skill 4.B]

VAR-5.D.1 Parameters for a discrete random variable should be interpreted using appropriate units and within the context of a specific population.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (VAR-5): Distribusi probabilitas dapat digunakan untuk memodelkan variasi dalam populasi.

Tujuan Pembelajaran VAR-5.C: Hitung parameter untuk variabel acak diskrit. [Keterampilan 3.B]

VAR-5.C.1 Nilai numerik yang mengukur karakteristik populasi atau distribusi variabel acak dikenal sebagai parameter, yaitu nilai tunggal yang tetap.
VAR-5.C.2 Rata-rata, atau nilai harapan, untuk variabel acak diskrit $X$ adalah $\mu_X = \sum x_i \cdot P(x_i)$.
VAR-5.C.3 Simpangan baku untuk variabel acak diskrit $X$ adalah $\sigma_X = \sqrt{\sum (x_i - \mu_x)^2 \cdot P(x_i)}$.

Tujuan Pembelajaran VAR-5.D: Menafsirkan parameter untuk variabel acak diskrit. [Keterampilan 4.B]

VAR-5.D.1 Parameter untuk variabel acak diskrit harus ditafsirkan menggunakan satuan yang sesuai dan dalam konteks populasi tertentu.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The mean (expected value) 期望值 of a discrete random variable is the probability-weighted average:

$$\mu_X=E(X)=\sum x_i\,P(x_i).$$

The standard deviation $\sigma_X=\sqrt{\sum (x_i-\mu_X)^2\,P(x_i)}$ measures typical spread from the mean. The expected value is the long-run average outcome, not a value you expect on any single trial.

Worked example. A game pays $\$5$ with probability $0.2$ and costs you $\$1$ (a $-1$ outcome) with probability $0.8$. The expected value is

$$E(X)=5(0.2)+(-1)(0.8)=1-0.8=\$0.20,$$

so over many plays you gain about $20$ cents per play on average, even though no single play gives exactly that.

Bahasa Indonesia

Rata-rata (nilai harapan) dari variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang probabilitas:

$$\mu_X=E(X)=\sum x_i\,P(x_i).$$

Simpangan baku $\sigma_X=\sqrt{\sum (x_i-\mu_X)^2\,P(x_i)}$ mengukur sebaran tipikal dari rata-rata. Nilai harapan adalah rata-rata jangka panjang, bukan nilai yang diharapkan pada percobaan tunggal.

Contoh terpecahkan. Sebuah permainan membayar $\$5$ with probability $0.2$ and costs you $\$1$ (a $-1$ outcome) with probability $0.8$. The expected value is

$$E(X)=5(0.2)+(-1)(0.8)=1-0.8=\$0.20,$$

sehingga selama banyak permainan Anda mendapatkan sekitar $20$ sen per permainan rata-rata, meskipun tidak ada permainan tunggal yang memberikan persis jumlah tersebut.

4.9

Combining Random Variables · ⁨Menggabungkan Variabel Acak⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (VAR-5): Probability distributions may be used to model variation in populations.

Learning Objective VAR-5.E: Calculate parameters for linear combinations of random variables. [Skill 3.B]

VAR-5.E.1 For random variables $X$ and $Y$ and real numbers $a$ and $b$, the mean of $aX + bY$ is $a\mu_x + b\mu_y$.
VAR-5.E.2 Two random variables are independent if knowing information about one of them does not change the probability distribution of the other.
VAR-5.E.3 For independent random variables $X$ and $Y$ and real numbers $a$ and $b$, the mean of $aX + bY$ is $a\mu_x + b\mu_y$, and the variance of $aX + bY$ is $a^2\sigma^2_x + b^2\sigma^2_y$.

Learning Objective VAR-5.F: Describe the effects of linear transformations of parameters of random variables. [Skill 3.C]

VAR-5.F.1 For $Y = a + bX$, the probability distribution of the transformed random variable, $Y$, has the same shape as the probability distribution for $X$, so long as $a > 0$ and $b > 0$. The mean of $Y$ is $\mu_y = a + b\mu_x$. The standard deviation of $Y$ is $\sigma_y = |b|\sigma_x$.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (VAR-5): Distribusi probabilitas dapat digunakan untuk memodelkan variasi dalam populasi.

Tujuan Pembelajaran VAR-5.E: Menghitung parameter untuk kombinasi linear variabel acak. [Keterampilan 3.B]

VAR-5.E.1 Untuk variabel acak $X$ dan $Y$ serta bilangan real $a$ dan $b$, rata-rata dari $aX + bY$ adalah $a\mu_x + b\mu_y$.
VAR-5.E.2 Dua variabel acak saling bebas jika mengetahui informasi tentang salah satu dari mereka tidak mengubah distribusi probabilitas dari yang lain.
VAR-5.E.3 Untuk variabel acak independen $X$ dan $Y$ serta bilangan real $a$ dan $b$, rata-rata dari $aX + bY$ adalah $a\mu_x + b\mu_y$, dan variansi dari $aX + bY$ adalah $a^2\sigma^2_x + b^2\sigma^2_y$.

Tujuan Pembelajaran VAR-5.F: Mendeskripsikan efek transformasi linear pada parameter variabel acak. [Keterampilan 3.C]

VAR-5.F.1 Untuk $Y = a + bX$, distribusi probabilitas dari variabel acak yang ditransformasi, $Y$, memiliki bentuk yang sama dengan distribusi probabilitas untuk $X$, selama $a > 0$ dan $b > 0$. Rata-rata dari $Y$ adalah $\mu_y = a + b\mu_x$. Simpangan baku dari $Y$ adalah $\sigma_y = |b|\sigma_x$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

When you add or subtract random variables, means add: $\mu_{X\pm Y}=\mu_X\pm\mu_Y$. If $X$ and $Y$ are independent, variances add (even when subtracting):

$$\sigma^2_{X\pm Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y.$$

Take the square root for the standard deviation. Also, scaling: $\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$ and $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$.

Bahasa Indonesia

Ketika Anda menjumlahkan atau mengurangkan variabel acak, rata-rata dijumlahkan: $\mu_{X\pm Y}=\mu_X\pm\mu_Y$. Jika $X$ and $Y$ are independent, varians dijumlahkan (even when subtracting):

$$\sigma^2_{X\pm Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y.$$

Ambil akar kuadrat untuk simpangan baku. Juga, penskalaan: $\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$ dan $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$.

4.10

Introduction to the Binomial Distribution · ⁨Pengantar Distribusi Binomial⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.A: Estimate probabilities of binomial random variables using data from a simulation. [Skill 3.A]

UNC-3.A.1 A probability distribution can be constructed using the rules of probability or estimated with a simulation using random number generators.
UNC-3.A.2 A binomial random variable, $X$, counts the number of successes in $n$ repeated independent trials, each trial having two possible outcomes (success or failure), with the probability of success $p$ and the probability of failure $1 - p$.

Learning Objective UNC-3.B: Calculate probabilities for a binomial distribution. [Skill 3.A]

UNC-3.B.1 The probability that a binomial random variable, $X$, has exactly $x$ successes for $n$ independent trials, when the probability of success is $p$, is calculated as $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n-x}, x = 0, 1, 2, \ldots, n$. This is the binomial probability function.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (UNC-3): Penalaran probabilistik memungkinkan kita memperkirakan pola dalam data.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.A: Perkirakan probabilitas variabel acak binomial menggunakan data dari simulasi. [Keterampilan 3.A]

UNC-3.A.1 Distribusi probabilitas dapat dibangun menggunakan aturan probabilitas atau diperkirakan dengan simulasi menggunakan generator angka acak.
UNC-3.A.2 Variabel acak binomial, $X$, menghitung jumlah keberhasilan dalam $n$ percobaan independen berulang, di mana setiap percobaan memiliki dua kemungkinan hasil (keberhasilan atau kegagalan), dengan probabilitas keberhasilan $p$ dan probabilitas kegagalan $1 - p$.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.B: Hitung probabilitas untuk distribusi binomial. [Keterampilan 3.A]

UNC-3.B.1 Probabilitas bahwa variabel acak binomial, $X$, memiliki tepat $x$ keberhasilan untuk $n$ percobaan independen, ketika probabilitas keberhasilan adalah $p$, dihitung sebagai $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n-x}, x = 0, 1, 2, \ldots, n$. Ini adalah fungsi probabilitas binomial.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The binomial distribution

A binomial 二项 setting (BINS): a fixed number $n$ of Independent trials, each with two outcomes (success/failure) and the same success probability $p$. The random variable $X=$ number of successes. Its probability:

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.$$

Bahasa Indonesia

Distribusi binomial

Pengaturan binomial (BINS): jumlah tetap $n$ percobaan independen, masing-masing memiliki dua hasil (sukses/gagal) dan probabilitas sukses yang sama $p$. Variabel acak $X=$ adalah jumlah keberhasilan. Probabilitasnya:

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.$$

Distribusi binomial, dengan mean n kali p

Explore · ⁨Jelajahi⁩

Shape a binomial distribution · ⁨Bentuk distribusi binomial⁩

A binomial distribution counts successes in $n$ independent trials each with probability $p$. Change $n$ and $p$ and watch the bars shift and spread. · ⁨A distribusi binomial menghitung keberhasilan dalam $n$ percobaan independen masing-masing dengan probabilitas $p$. Ubah $n$ dan $p$ dan saksikan batang bergeser dan melebar.⁩

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
mean (expected value)/miːn/	rata-rata (nilai ekspektasi)
binomial/baɪˈnəʊmɪəl/	binomial
geometric/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk/	geometris

4.11

Parameters for a Binomial Distribution · ⁨Parameter untuk Distribusi Binomial⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.C: Calculate parameters for a binomial distribution. [Skill 3.B]

UNC-3.C.1 If a random variable is binomial, its mean, $\mu_x$, is $np$ and its standard deviation, $\sigma_x$, is $\sqrt{np(1 - p)}$.

Learning Objective UNC-3.D: Interpret probabilities and parameters for a binomial distribution. [Skill 4.B]

UNC-3.D.1 Probabilities and parameters for a binomial distribution should be interpreted using appropriate units and within the context of a specific population or situation.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (UNC-3): Penalaran probabilistik memungkinkan kita memperkirakan pola dalam data.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.C: Hitung parameter untuk distribusi binomial. [Keterampilan 3.B]

UNC-3.C.1 Jika sebuah variabel acak bersifat binomial, rata-ratanya, $\mu_x$, adalah $np$ dan simpangan standarnya, $\sigma_x$, adalah $\sqrt{np(1 - p)}$.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.D: Interpretasikan probabilitas dan parameter untuk distribusi binomial. [Keterampilan 4.B]

UNC-3.D.1 Probabilitas dan parameter untuk distribusi binomial harus diinterpretasikan menggunakan satuan yang sesuai dan dalam konteks populasi atau situasi spesifik.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

For a binomial $X$ with $n$ trials and success probability $p$:

$$\mu_X=np,\qquad \sigma_X=\sqrt{np(1-p)}.$$

Use these for "how many successes do we expect, and how much do they vary" questions.

Worked example. A player makes $70\%$ of free throws. In $n=10$ shots, the probability of exactly $8$ makes is

$$P(X=8)=\binom{10}{8}(0.7)^8(0.3)^2=45\times0.0576\times0.09\approx0.23,$$

and the expected number of makes is $\mu=np=10(0.7)=7$, with $\sigma=\sqrt{10(0.7)(0.3)}\approx1.45$.

Bahasa Indonesia

For a binomial $X$ with $n$ trials and success probability $p$:

$$\mu_X=np,\qquad \sigma_X=\sqrt{np(1-p)}.$$

Gunakan ini untuk pertanyaan "berapa banyak keberhasilan yang kita harapkan, dan seberapa besar variansinya".

Contoh terpecahkan. A player makes $70\%$ of free throws. In $n=10$ shots, the probability of exactly $8$ makes is

$$P(X=8)=\binom{10}{8}(0.7)^8(0.3)^2=45\times0.0576\times0.09\approx0.23,$$

dan jumlah tembak yang diharapkan adalah $\mu=np=10(0.7)=7$, dengan $\sigma=\sqrt{10(0.7)(0.3)}\approx1.45$.

4.12

The Geometric Distribution · ⁨Distribusi Geometrik⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.E: Calculate probabilities for geometric random variables. [Skill 3.A]

UNC-3.E.1 For a sequence of independent trials, a geometric random variable, $X$, gives the number of the trial on which the first success occurs. Each trial has two possible outcomes (success or failure) with the probability of success $p$ and the probability of failure $1 - p$.
UNC-3.E.2 The probability that the first success for repeated independent trials with probability of success $p$ occurs on trial $x$ is calculated as $P(X = x) = (1 - p)^{x-1} p, x = 1, 2, 3, \ldots$. This is the geometric probability function.

Learning Objective UNC-3.F: Calculate parameters of a geometric distribution. [Skill 3.B]

UNC-3.F.1 If a random variable is geometric, its mean, $\mu_x$, is $\dfrac{1}{p}$ and its standard deviation, $\sigma_x$, is $\dfrac{\sqrt{(1 - p)}}{p}$.

Learning Objective UNC-3.G: Interpret probabilities and parameters for a geometric distribution. [Skill 4.B]

UNC-3.G.1 Probabilities and parameters for a geometric distribution should be interpreted using appropriate units and within the context of a specific population or situation.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (UNC-3): Penalaran probabilistik memungkinkan kita memperkirakan pola dalam data.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.E: Hitung probabilitas untuk variabel acak geometrik. [Keterampilan 3.A]

UNC-3.E.1 Untuk serangkaian percobaan independen, variabel acak geometrik, $X$, menunjukkan nomor percobaan di mana keberhasilan pertama terjadi. Setiap percobaan memiliki dua kemungkinan hasil (keberhasilan atau kegagalan) dengan probabilitas keberhasilan $p$ dan probabilitas kegagalan $1 - p$.
UNC-3.E.2 Probabilitas bahwa keberhasilan pertama untuk percobaan independen berulang dengan probabilitas keberhasilan $p$ terjadi pada percobaan $x$ dihitung sebagai $P(X = x) = (1 - p)^{x-1} p, x = 1, 2, 3, \ldots$. Ini adalah fungsi probabilitas geometrik.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.F: Hitung parameter distribusi geometrik. [Keterampilan 3.B]

UNC-3.F.1 Jika sebuah variabel acak bersifat geometrik, rata-ratanya, $\mu_x$, adalah $\dfrac{1}{p}$ dan simpangan standarnya, $\sigma_x$, adalah $\dfrac{\sqrt{(1 - p)}}{p}$.

Tujuan Pembelajaran UNC-3.G: Interpretasikan probabilitas dan parameter untuk distribusi geometrik. [Keterampilan 4.B]

UNC-3.G.1 Probabilitas dan parameter untuk distribusi geometrik harus diinterpretasikan menggunakan satuan yang sesuai dan dalam konteks populasi atau situasi spesifik.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A geometric 几何 setting is the same as binomial but with no fixed $n$: you keep trying until the first success. The random variable $Y=$ the trial of the first success:

$$P(Y=k)=(1-p)^{k-1}\,p,\qquad \mu_Y=\frac{1}{p}.$$

So the expected number of trials until the first success is $1/p$.

Bahasa Indonesia

Pengaturan geometrik sama seperti binomial tetapi tanpa jumlah $n$ tetap: Anda terus mencoba hingga keberhasilan pertama. Variabel acak $Y=$ adalah percobaan keberhasilan pertama:

$$P(Y=k)=(1-p)^{k-1}\,p,\qquad \mu_Y=\frac{1}{p}.$$

Jadi, jumlah percobaan yang diharapkan hingga keberhasilan pertama adalah $1/p$.

4.12

Exam tips · ⁨Tips ujian⁩

English

A probability lies in $[0,1]$; use the complement ($1-P$) and add mutually exclusive events.
For independent events multiply; for "and/or" use the general addition and conditional rules.
Expected value = $\sum(\text{value}\times\text{probability})$.
Recognise binomial (fixed $n$, two outcomes, constant $p$) and geometric settings.
Draw a tree or table for multi-stage problems and multiply along branches.

Bahasa Indonesia

Probabilitas berada dalam rentang $[0,1]$; gunakan komplemen ($1-P$) dan tambahkan peristiwa yang saling lepas.
Untuk peristiwa independen kalikan; untuk "dan/atau" gunakan aturan penjumlahan umum dan kondisional.
Nilai harapan = $\sum(\text{value}\times\text{probability})$.
Kenali pengaturan binomial (jumlah $n$ tetap, dua hasil, probabilitas $p$ konstan) dan geometrik.
Gambar pohon atau tabel untuk masalah bertahap dan kalikan sepanjang cabang.

Interactive lessons on this topic · ⁨Pelajaran interaktif untuk topik ini⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.⁩

Past Papers · ⁨Soal-Soil Masa Lalu⁩

More topics in AP Statistics · ⁨AP Statistik⁩ · ⁨Topik lain dalam AP Statistics · ⁨AP Statistik⁩⁩