Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions · ⁨Persamaan Parametrik, Koordinat Polar, dan Fungsi Bernilai Vektor⁩

AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩ · Topic 9 · ⁨Topik 9⁩

View Slides · ⁨Lihat Salindia⁩ Train · ⁨Latih⁩

Video lesson for this topic · ⁨Pelajaran video untuk topik ini⁩ Open the video page · ⁨Buka halaman video⁩

9.1

Defining and Differentiating Parametric Equations · ⁨Mendefinisikan dan Mendifferensiasikan Persamaan Parametrik⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.G: Calculate derivatives of parametric functions. BC ONLY

CHA-3.G.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to parametric functions. BC ONLY
CHA-3.G.2 For a curve defined parametrically, the value of $\dfrac{dy}{dx}$ at a point on the curve is the slope of the line tangent to the curve at that point. $\dfrac{dy}{dx}$, the slope of the line tangent to a curve defined using parametric equations, can be determined by dividing $\dfrac{dy}{dt}$ by $\dfrac{dx}{dt}$, provided $\dfrac{dx}{dt}$ does not equal zero. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (CHA-3): Turunan memungkinkan kita menyelesaikan masalah dunia nyata yang melibatkan laju perubahan.

Tujuan Pembelajaran CHA-3.G: Menghitung turunan dari fungsi parametrik. HANYA BC

CHA-3.G.1 Metode untuk menghitung turunan dari fungsi bernilai real dapat diperluas ke fungsi parametrik. HANYA BC
CHA-3.G.2 Untuk kurva yang didefinisikan secara parametrik, nilai $\dfrac{dy}{dx}$ pada suatu titik pada kurva adalah kemiringan garis singgung kurva di titik tersebut. $\dfrac{dy}{dx}$, kemiringan garis singgung kurva yang didefinisikan menggunakan persamaan parametrik, dapat ditentukan dengan membagi $\dfrac{dy}{dt}$ dengan $\dfrac{dx}{dt}$, asalkan $\dfrac{dx}{dt}$ tidak sama dengan nol. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Parametric equations 参数方程 give $x$ and $y$ each as functions of a parameter $t$ (often time): $x=x(t)$, $y=y(t)$. They trace a curve that need not be a function of $x$. The slope of the curve is found with the chain rule:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

Worked example. For $x=t^2$, $y=t^3-t$, find the slope at $t=2$. Here $\dfrac{dx}{dt}=2t$ and $\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$, so $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$; at $t=2$ this is $\dfrac{11}{4}$.

Bahasa Indonesia

ISS dalam orbit: persamaan parametrik menggambarkan posisi sebagai fungsi waktu

Persamaan parametrik memberikan $x$ dan $y$ masing-masing sebagai fungsi dari sebuah parameter $t$ (sering waktu): $x=x(t)$, $y=y(t)$. Persamaan ini melacak kurva yang tidak harus merupakan fungsi dari $x$. Kemiringan kurva ditemukan menggunakan aturan rantai:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

Contoh terpecahkan. Untuk $x=t^2$, $y=t^3-t$, temukan kemiringan pada $t=2$. Di sini $\dfrac{dx}{dt}=2t$ dan $\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$, sehingga $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$; pada $t=2$ hal ini bernilai $\dfrac{11}{4}$.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
Parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/	Persamaan parametrik
vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/	fungsi bernilai vektor
Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/	Koordinat polar

9.2

Second Derivatives of Parametric Equations · ⁨Turunan Kedua dari Persamaan Parametrik⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.G: Calculate derivatives of parametric functions. BC ONLY

CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ can be calculated by dividing $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ by $\dfrac{dx}{dt}$. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (CHA-3): Turunan memungkinkan kita menyelesaikan masalah dunia nyata yang melibatkan laju perubahan.

Tujuan Pembelajaran CHA-3.G: Menghitung turunan dari fungsi parametrik. HANYA BC

CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ dapat dihitung dengan membagi $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ dengan $\dfrac{dx}{dt}$. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The second derivative is not $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Instead, differentiate the first derivative with respect to $t$, then divide by $dx/dt$ again:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

Use it to test concavity of a parametric curve.

Bahasa Indonesia

Turunan kedua bukanlah $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Sebaliknya, turunkan turunan pertama terhadap $t$, lalu bagi lagi dengan $dx/dt$:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

Gunakan untuk menguji kecekungan kurva parametrik.

9.3

Finding Arc Lengths of Curves Given by Parametric Equations · ⁨Menemukan Panjang Busur Kurva yang Diberikan oleh Persamaan Parametrik⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-6): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in length over an interval.

Learning Objective CHA-6.B: Determine the length of a curve in the plane defined by parametric functions, using a definite integral. BC ONLY

CHA-6.B.1 The length of a parametrically defined curve can be calculated using a definite integral. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (CHA-6): Integral tentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan panjang dalam sebuah interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-6.B: Menentukan panjang kurva di bidang yang didefinisikan oleh fungsi parametrik, menggunakan integral tentu. HANYA BC

CHA-6.B.1 Panjang kurva yang didefinisikan secara parametrik dapat dihitung menggunakan integral tentu. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The length of a parametric curve for $t$ from $a$ to $b$ is

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

This is the parametric version of arc length – summing tiny hypotenuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$ over the parameter.

Bahasa Indonesia

Panjang busur parametrik untuk $t$ dari $a$ hingga $b$ adalah

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

Ini adalah versi parametrik dari panjang busur – menjumlahkan hipotenusa kecil $\sqrt{dx^2+dy^2}$ sepanjang parameter.

9.4

Defining and Differentiating Vector-Valued Functions · ⁨Mendefinisikan dan Mendifferensiasikan Fungsi Bernilai Vektor⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.

Learning Objective CHA-3.H: Calculate derivatives of vector-valued functions. BC ONLY

CHA-3.H.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to vector-valued functions. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (CHA-3): Turunan memungkinkan kita menyelesaikan masalah dunia nyata yang melibatkan laju perubahan.

Tujuan Pembelajaran CHA-3.H: Menghitung turunan dari fungsi bernilai vektor. HANYA BC

CHA-3.H.1 Metode untuk menghitung turunan dari fungsi bernilai real dapat diperluas ke fungsi bernilai vektor. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A vector-valued function 向量值函数 $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ gives a position vector for each $t$. Differentiate component-wise: the velocity is $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ and the acceleration is $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. The speed is the magnitude $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

Bahasa Indonesia

Sebuah fungsi bernilai vektor $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ memberikan vektor posisi untuk setiap $t$. Turunkan secara komponen: kecepatan adalah $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ dan percepatan adalah $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. Kecepatan (speed) adalah besaran $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

Garis bernilai vektor: mulai di a, lalu geser sejauh t dalam arah b

Explore · ⁨Jelajahi⁩

Add vector-valued components · ⁨Tambahkan komponen bernilai vektor⁩

A vector-valued function packs an $x(t)$ and $y(t)$ into one vector. Differentiating each component gives the velocity vector, tangent to the path. · ⁨Fungsi bernilai vektor mengemas ⟨$x(t)$⟩ dan ⟨$y(t)$⟩ ke dalam satu vektor. Mendiferensiasikan setiap komponen memberikan vektor kecepatan, tangen terhadap jalur.⁩

9.5

Integrating Vector-Valued Functions · ⁨Mengintegralkan Fungsi Bernilai Vektor⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-8): Solving an initial value problem allows us to determine an expression for the position of a particle moving in the plane.

Learning Objective FUN-8.A: Determine a particular solution given a rate vector and initial conditions. BC ONLY

FUN-8.A.1 Methods for calculating integrals of real-valued functions can be extended to parametric or vector-valued functions. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-8): Menyelesaikan masalah nilai awal memungkinkan kita menentukan ekspresi untuk posisi partikel yang bergerak di bidang.

Tujuan Pembelajaran FUN-8.A: Menentukan solusi khusus diberikan vektor laju dan kondisi awal. HANYA BC

FUN-8.A.1 Metode untuk menghitung integral dari fungsi bernilai real dapat diperluas ke fungsi parametrik atau bernilai vektor. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Integrate a vector function component by component. Given acceleration or velocity plus an initial condition, integrate each component and use the condition to find the constants – recovering velocity from acceleration, or position from velocity.

Bahasa Indonesia

Integrasikan fungsi vektor komponen per komponen. Diberikan percepatan atau kecepatan beserta kondisi awal, integralkan setiap komponen dan gunakan kondisi tersebut untuk menemukan konstanta – memulihkan kecepatan dari percepatan, atau posisi dari kecepatan.

9.6

Solving Motion Problems Using Parametric and Vector-Valued Functions · ⁨Memecahkan Masalah Pergerakan Menggunakan Persamaan Parametrik dan Fungsi Bernilai Vektor⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-8): Solving an initial value problem allows us to determine an expression for the position of a particle moving in the plane.

Learning Objective FUN-8.B: Determine values for positions and rates of change in problems involving planar motion. BC ONLY

FUN-8.B.1 Derivatives can be used to determine velocity, speed, and acceleration for a particle moving along a curve in the plane defined using parametric or vector-valued functions. BC ONLY
FUN-8.B.2 For a particle in planar motion over an interval of time, the definite integral of the velocity vector represents the particle's displacement (net change in position) over the interval of time, from which we might determine its position. The definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-8): Menyelesaikan masalah nilai awal memungkinkan kita menentukan ekspresi untuk posisi partikel yang bergerak di bidang.

Tujuan Pembelajaran FUN-8.B: Menentukan nilai untuk posisi dan laju perubahan dalam masalah yang melibatkan gerak planar. HANYA BC

FUN-8.B.1 Turunan dapat digunakan untuk menentukan kecepatan, kelajuan, dan percepatan untuk partikel yang bergerak sepanjang kurva di bidang yang didefinisikan menggunakan fungsi parametrik atau bernilai vektor. HANYA BC
FUN-8.B.2 Untuk partikel dalam gerak planar selama suatu interval waktu, integral tentu dari vektor kecepatan mewakili perpindahan partikel (perubahan bersih posisi) selama interval waktu tersebut, dari mana kita mungkin menentukan posisinya. Integral tentu dari kelajuan mewakili total jarak tempuh partikel selama interval waktu tersebut. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

For a particle moving in a plane: position is $\langle x(t),y(t)\rangle$, velocity and acceleration are its derivatives, speed is $|\vec v|$, and the distance traveled over $[a,b]$ is

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

Exam skill: these plane-motion problems appear on the BC free-response nearly every year – be fluent finding speed, the position at a later time (initial point plus the integral of velocity), and total distance.

Worked example. A particle has position $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. Its velocity is $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$, so at $t=1$ the velocity is $\langle 2,\ 2\rangle$ and the speed is $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. Its position at $t=2$ is $\langle 4,\ 6\rangle$.

Bahasa Indonesia

Untuk partikel yang bergerak dalam bidang: posisi adalah $\langle x(t),y(t)\rangle$, kecepatan dan percepatan adalah turunannya, kecepatan (speed) adalah $|\vec v|$, dan jarak tempuh selama $[a,b]$ adalah

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

Keterampilan ujian: masalah pergerakan bidang seperti ini muncul pada soal respons bebas BC hampir setiap tahun – kuasai cara mencari kecepatan, posisi pada waktu kemudian (titik awal ditambah integral dari kecepatan), dan total jarak.

Contoh terpecahkan. Sebuah partikel memiliki posisi $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. Kecepatannya adalah $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$, sehingga pada $t=1$ kecepatannya adalah $\langle 2,\ 2\rangle$ dan kecepatannya (speed) adalah $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. Posisinya pada $t=2$ adalah $\langle 4,\ 6\rangle$.

9.7

Defining Polar Coordinates and Differentiating in Polar Form · ⁨Mendefinisikan Koordinat Polar dan Mendifferensiasikan dalam Bentuk Polar⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.G: Calculate derivatives of functions written in polar coordinates. BC ONLY

FUN-3.G.1 Methods for calculating derivatives of real-valued functions can be extended to functions in polar coordinates. BC ONLY
FUN-3.G.2 For a curve given by a polar equation $r = f(\theta)$, derivatives of $r$, $x$, and $y$ with respect to $\theta$, and first and second derivatives of $y$ with respect to $x$ can provide information about the curve. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-3.G: Menghitung turunan dari fungsi yang ditulis dalam koordinat kutub. HANYA BC

FUN-3.G.1 Metode untuk menghitung turunan dari fungsi bernilai real dapat diperluas ke fungsi dalam koordinat kutub. HANYA BC
FUN-3.G.2 Untuk kurva yang diberikan oleh persamaan polar $r = f(\theta)$, turunan dari $r$, $x$, dan $y$ terhadap $\theta$, serta turunan pertama dan kedua dari $y$ terhadap $x$ dapat memberikan informasi tentang kurva tersebut. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Tracing a polar curve

Polar coordinates 极坐标 locate a point by its distance $r$ from the origin and angle $\theta$: convert with $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. A polar curve $r=f(\theta)$ is a parametric curve in $\theta$, so its slope is

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

Bahasa Indonesia

Melacak kurva polar

Koordinat polar menentukan titik berdasarkan jaraknya $r$ dari titik asal dan sudutnya $\theta$: konversikan dengan $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. Kurva polar $r=f(\theta)$ adalah kurva parametrik dalam $\theta$, sehingga kemiringannya adalah

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

Koordinat polar menentukan titik berdasarkan jarak r dan sudut theta

Explore · ⁨Jelajahi⁩

Plot a polar curve · ⁨Plot kurva polar⁩

In polar coordinates a point is a distance $r$ at angle $\theta$. Letting $r$ depend on $\theta$ traces curves like this cardioid. · ⁨Dalam koordinat polar, sebuah titik adalah jarak $r$ pada sudut $\theta$. Membiarkan $r$ bergantung pada $\theta$ melacak kurva seperti kardioid ini.⁩

9.8

Finding the Area of a Polar Region · ⁨Menemukan Luas Daerah Polar⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.D: Calculate areas of regions defined by polar curves using definite integrals. BC ONLY

CHA-5.D.1 The concept of calculating areas in rectangular coordinates can be extended to polar coordinates. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.D: Menghitung luas wilayah yang didefinisikan oleh kurva polar menggunakan integral tentu. HANYA BC

CHA-5.D.1 Konsep perhitungan luas dalam koordinat persekop dapat diperluas ke koordinat kutub. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The area swept out by a polar curve $r=f(\theta)$ from $\alpha$ to $\beta$ is

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

The region is a "fan" of thin triangular sectors; choosing the correct $\theta$-limits (where the curve starts and finishes tracing the region) is the main challenge.

Worked example. Find the area of one petal of the rose $r=2\sin(2\theta)$ (traced for $\theta$ from $0$ to $\tfrac{\pi}{2}$). Using $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$,

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

Bahasa Indonesia

Luas yang disapu oleh kurva polar $r=f(\theta)$ dari $\alpha$ hingga $\beta$ adalah

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

Daerah tersebut berbentuk "kipas" dari sektor segitiga tipis; memilih batas-$\theta$ yang benar (di mana kurva dimulai dan mengakhiri pelacakan daerah) adalah tantangan utamanya.

Contoh terpecahkan. Temukan luas satu kelopak mawar $r=2\sin(2\theta)$ (dilacak untuk $\theta$ dari $0$ hingga $\tfrac{\pi}{2}$). Menggunakan $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$,

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

Luas daerah polar terbentuk sebagai setengah dari integral r kuadrat d theta — Daerah arsiran adalah kipas dari sektor-sektor tipis yang disapu dari $\alpha$ hingga $\beta$; setiap sektor memiliki luas $\tfrac12 r^2\,d\theta$, sehingga totalnya adalah $\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$.

9.9

Finding the Area of the Region Bounded by Two Polar Curves · ⁨Menemukan Luas Daerah yang Dibatasi oleh Dua Kurva Polar⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.D: Calculate areas of regions defined by polar curves using definite integrals. BC ONLY

CHA-5.D.2 Areas of regions bounded by polar curves can be calculated with definite integrals. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.D: Menghitung luas wilayah yang didefinisikan oleh kurva polar menggunakan integral tentu. HANYA BC

CHA-5.D.2 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva polar dapat dihitung dengan integral tentu. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

For the area between an outer curve $r_1$ and an inner curve $r_2$, subtract the sectors:

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

Find the intersection angles first (set $r_1=r_2$), and be careful which curve is outer over each interval – they can swap.

Bahasa Indonesia

Untuk luas antara kurva luar $r_1$ dan kurva dalam $r_2$, kurangkan sektornya:

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

Temukan sudut irisan terlebih dahulu (set $r_1=r_2$), dan berhati-hatilah kurva mana yang berada di atas pada setiap interval – mereka dapat bergantian.

9.9

Exam tips · ⁨Tips ujian⁩

English

For parametric curves, $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$; speed is $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
A vector-valued function carries the same information — differentiate/integrate it component by component.
In polar, convert with $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$; area swept is $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
Watch the direction of tracing (the sign of $dx/dt$) and set correct $\theta$-limits for polar area.
Eliminate the parameter to recover the ordinary $y$-vs-$x$ shape when it helps.

Bahasa Indonesia

Untuk kurva parametrik, $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$; kecepatan (speed) adalah $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
Fungsi bernilai vektor membawa informasi yang sama – turunkan/integrasikan komponennya satu per satu.
Dalam bentuk polar, konversikan dengan $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$; luas yang disapu adalah $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
Perhatikan arah pelacakan (tanda dari $dx/dt$) dan tetapkan batas-$\theta$ yang benar untuk luas polar.
Hilangkan parameter untuk mendapatkan bentuk $y$-vs-$x$ biasa ketika membantu.

Interactive lessons on this topic · ⁨Pelajaran interaktif untuk topik ini⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.⁩

Past Papers · ⁨Soal-Soil Masa Lalu⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩ · ⁨Topik lain dalam AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩⁩