Applications of Integration · ⁨Aplikasi Integral⁩

AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩ · Topic 8 · ⁨Topik 8⁩

View Slides · ⁨Lihat Salindia⁩ Train · ⁨Latih⁩

Video lesson for this topic · ⁨Pelajaran video untuk topik ini⁩ Open the video page · ⁨Buka halaman video⁩

8.1

Finding the Average Value of a Function on an Interval · ⁨Menemukan Nilai Rata-rata Fungsi pada Interval⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.B: Determine the average value of a function using definite integrals.

CHA-4.B.1 The average value of a continuous function $f$ over an interval $[a, b]$ is $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (CHA-4): Integral tentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan dalam suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-4.B: Tentukan nilai rata-rata fungsi menggunakan integral tertentu.

CHA-4.B.1 Nilai rata-rata dari fungsi kontinu $f$ atas interval $[a, b]$ adalah $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The average value 平均值 of $f$ over $[a,b]$ is the integral divided by the width:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

It is the constant height a rectangle would need to have the same area as the region under $f$. Do not confuse this with the average rate of change (which uses the derivative).

Worked example. The average value of $f(x)=x^2$ on $[0,3]$ is $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

Bahasa Indonesia

Nilai rata-rata dari $f$ atas $[a,b]$ adalah integral dibagi dengan lebar:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

Ini adalah tinggi konstan yang dibutuhkan persegi panjang agar memiliki luas yang sama dengan daerah di bawah $f$. Jangan bingung dengan laju perubahan rata-rata (yang menggunakan turunan).

Contoh terpecahkan. Nilai rata-rata dari $f(x)=x^2$ pada $[0,3]$ adalah $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

Explore · ⁨Jelajahi⁩

The average value of a function · ⁨Nilai rata-rata dari sebuah fungsi⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The average value of $f$ on $[a,b]$ is its integral divided by the width — the constant height whose rectangle has the same area as under the curve. · ⁨Nilai rata-rata dari $f$ pada $[a,b]$ adalah integralnya dibagi dengan lebar — tinggi konstan yang persegi panjangnya memiliki luas yang sama di bawah kurva.⁩

8.2

Connecting Position, Velocity, and Acceleration Using Integrals · ⁨Menghubungkan Posisi, Kecepatan, dan Percepatan Menggunakan Integral⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.C: Determine values for positions and rates of change using definite integrals in problems involving rectilinear motion.

CHA-4.C.1 For a particle in rectilinear motion over an interval of time, the definite integral of velocity represents the particle's displacement over the interval of time, and the definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (CHA-4): Integral tentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan dalam suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-4.C: Menentukan nilai posisi dan laju perubahan menggunakan integral tentu dalam masalah yang melibatkan gerak lurus.

CHA-4.C.1 Untuk partikel dalam gerak lurus pada suatu selang waktu, integral tentu dari kecepatan merepresentasikan perpindahan partikel selama selang waktu tersebut, dan integral tentu dari kelajuan merepresentasikan jarak total yang ditempuh partikel selama selang waktu tersebut.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

For straight-line motion, integration reverses differentiation:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Two key distinctions: displacement 位移 is $\int_a^b v\,dt$ (net change in position), while total distance 总路程 is $\int_a^b |v|\,dt$ (splitting where $v$ changes sign). Speed is $|v|$.

Bahasa Indonesia

Untuk gerak garis lurus, integrasi membalikkan diferensiasi:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Dua perbedaan penting: perpindahan adalah $\int_a^b v\,dt$ (perubahan posisi bersih), sedangkan jarak total adalah $\int_a^b |v|\,dt$ (memisahkan tempat di mana $v$ mengubah tanda). Kecepatan adalah $|v|$.

8.3

Using Accumulation Functions and Definite Integrals in Applied Contexts · ⁨Menggunakan Fungsi Akumulasi dan Integral Tentu dalam Konteks Terapan⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.D: Interpret the meaning of a definite integral in accumulation problems.

CHA-4.D.1 A function defined as an integral represents an accumulation of a rate of change.
CHA-4.D.2 The definite integral of the rate of change of a quantity over an interval gives the net change of that quantity over that interval.

Learning Objective CHA-4.E: Determine net change using definite integrals in applied contexts.

CHA-4.E.1 The definite integral can be used to express information about accumulation and net change in many applied contexts.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (CHA-4): Integral tentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan dalam suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-4.D: Mengartikan makna integral tentu dalam masalah akumulasi.

CHA-4.D.1 Sebuah fungsi yang didefinisikan sebagai integral merepresentasikan akumulasi dari laju perubahan.
CHA-4.D.2 Integral tentu dari laju perubahan suatu besaran pada suatu selang memberikan perubahan bersih dari besaran tersebut selama selang itu.

Tujuan Pembelajaran CHA-4.E: Menentukan perubahan bersih menggunakan integral tentu dalam konteks terapan.

CHA-4.E.1 Integral tentu dapat digunakan untuk mengekspresikan informasi tentang akumulasi dan perubahan bersih dalam banyak konteks terapan.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

When a rate is given (flow rate, sales per day), the definite integral gives the accumulated total, and $\int_a^b R(t)\,dt$ carries the units of $R$ times time. A common setup: initial amount $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ gives the amount at a later time. Always interpret the answer in context, with units.

Bahasa Indonesia

Ketika laju diberikan (laju aliran, penjualan per hari), integral tentu memberikan total terkumpul, dan $\int_a^b R(t)\,dt$ membawa satuan dari $R$ dikali waktu. Pengaturan umum: jumlah awal $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ memberikan jumlah pada waktu kemudian. Selalu interpretasikan jawaban dalam konteks, dengan satuan.

8.4

Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of x · ⁨Menemukan Luas Antara Kurva yang Dinyatakan sebagai Fungsi x⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.1 Areas of regions in the plane can be calculated with definite integrals.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.A: Menghitung luas di bidang datar menggunakan integral tentu.

CHA-5.A.1 Luas daerah di bidang datar dapat dihitung dengan integral tentu.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The area between $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) from $a$ to $b$ is

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Find the intersection points for the limits, and always subtract top minus bottom.

Worked example. Between $y=x$ and $y=x^2$ (crossing at $x=0,1$, with $y=x$ on top), the area is $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

Bahasa Indonesia

Pengrajin membentuk wadah: volume putar memutar daerah bidang tentang sumbu

Luas antara $y=f(x)$ (atas) dan $y=g(x)$ (bawah) dari $a$ ke $b$ adalah

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Temukan titik potong untuk batasnya, dan selalu kurangkan atas dikurangi bawah.

Luas antara dua kurva adalah integral dari atas dikurangi bawah

Contoh terpecahkan. Antara $y=x$ dan $y=x^2$ (berpotongan di $x=0,1$, dengan $y=x$ di atas), luasnya adalah $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

8.5

Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of y · ⁨Menemukan Luas Antara Kurva yang Dinyatakan sebagai Fungsi y⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.2 Areas of regions in the plane can be calculated using functions of either $x$ or $y$.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.A: Menghitung luas di bidang datar menggunakan integral tentu.

CHA-5.A.2 Luas daerah di bidang datar dapat dihitung menggunakan fungsi dari $x$ atau $y$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

When curves are easier to describe as $x=f(y)$, integrate with respect to $y$ instead, using right minus left:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Choosing to integrate in $y$ can avoid splitting the region into several pieces.

Bahasa Indonesia

Ketika kurva lebih mudah dijelaskan sebagai $x=f(y)$, integrasikan terhadap $y$ alih-alih, menggunakan kanan dikurangi kiri:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Memilih untuk mengintegrasikan dalam $y$ dapat menghindari pemisahan daerah menjadi beberapa bagian.

8.6

Finding the Area Between Curves That Intersect More Than Twice · ⁨Menemukan Luas Antara Kurva yang Berpotongan Lebih Dari Dua Kali⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.3 Areas of certain regions in the plane may be calculated using a sum of two or more definite integrals or by evaluating a definite integral of the absolute value of the difference of two functions.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.A: Menghitung luas di bidang datar menggunakan integral tentu.

CHA-5.A.3 Luas daerah tertentu di bidang datar dapat dihitung menggunakan jumlah dua atau lebih integral tentu atau dengan mengevaluasi integral tentu dari nilai mutlak selisih dua fungsi.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

If two curves cross several times, the top and bottom switch. Split the region at each intersection and integrate each piece with the correct top-minus-bottom (or use $\int|f-g|$), then add the pieces.

Bahasa Indonesia

Jika dua kurva berpotongan berkali-kali, posisi atas dan bawah berganti. Pisahkan daerah di setiap titik potong dan integrasikan setiap bagian dengan atas dikurangi bawah yang benar (atau gunakan $\int|f-g|$), lalu jumlahkan bagian-bagiannya.

8.7

Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles · ⁨Volume dengan Penampang Melintang: Segiempat dan Persegi Panjang⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.1 Volumes of solids with square and rectangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.B: Menghitung volume benda padatan dengan penampang melintang yang diketahui menggunakan integral tentu.

CHA-5.B.1 Volume benda padatan dengan penampang melintang persegi dan persegi panjang dapat ditemukan menggunakan integral tentu dan rumus luas untuk bentuk-bentuk ini.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

If a solid's cross sections 横截面 perpendicular to the $x$-axis are squares or rectangles, integrate their area. With side length equal to the distance between two curves, a square cross section gives

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

The method is always "integrate the cross-sectional area."

Bahasa Indonesia

Jika penampang solid tegak lurus terhadap sumbu $x$ adalah persegi atau persegi panjang, integrasikan luasnya. Dengan panjang sisi sama dengan jarak antara dua kurva, penampang persegi menghasilkan

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

Metodenya selalu "integrasikan luas penampang".

8.8

Volumes with Cross Sections: Triangles and Semicircles · ⁨Volume dengan Potongan Melintang: Segitiga dan Semicircle⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.2 Volumes of solids with triangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
CHA-5.B.3 Volumes of solids with semicircular and other geometrically defined cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
- Illustrative examples for CHA-5.B.3:
  - The volume of a funnel whose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - The volume of a solid whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.B: Menghitung volume benda padatan dengan penampang melintang yang diketahui menggunakan integral tentu.

CHA-5.B.2 Volume benda padatan dengan penampang melintang segitiga dapat ditemukan menggunakan integral tentu dan rumus luas untuk bentuk-bentuk ini.
CHA-5.B.3 Volume benda padatan dengan penampang melintang setengah lingkaran dan bentuk geometris lainnya dapat ditemukan menggunakan integral tentu dan rumus luas untuk bentuk-bentuk ini.
- Contoh ilustratif untuk CHA-5.B.3:
  - Volume corong yang penampang melintangnya berupa lingkaran dapat ditemukan menggunakan rumus luas lingkaran dan integral tentu (lihat Soal Ujian AB 2016 FRQ #5(b)).
  - Volume benda padatan yang luas penampang melintangnya didefinisikan menggunakan fungsi dapat ditemukan menggunakan fungsi luas yang diketahui dan integral tentu (lihat Soal Ujian AB 2009 FRQ #4(c)).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Same idea, different area formula: for equilateral-triangle cross sections use $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, and for semicircular ones $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (with $s$ the distance between the curves). Substitute the area formula and integrate.

Bahasa Indonesia

Ide yang sama, rumus luas berbeda: untuk penampang segiga sama sisi gunakan $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, dan untuk setengah lingkaran $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (dengan $s$ sebagai jarak antara kurva). Substitusikan rumus luas dan integrasikan.

8.9

Volume with Disc Method: Revolving Around the x- or y-Axis · ⁨Volume dengan Metode Cakram: Memutar Sekitar Sumbu x- atau y⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.1 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis may be found by using definite integrals with the disc method.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.C: Hitung volume benda hasil revolusi menggunakan integral tertentu.

CHA-5.C.1 Volume benda putar memutar sekitar sumbu $x$ atau sumbu $y$ dapat ditemukan menggunakan integral tentu dengan metode cakram.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Solids of revolution: the disc method

Revolving a region around an axis makes a solid whose cross sections are discs. The disc method 圆盘法 integrates $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

where the radius $R$ is the distance from the curve to the axis. Use $dy$ when revolving around the $y$-axis.

Worked example. Revolving the region under $y=\sqrt{x}$ from $0$ to $4$ about the $x$-axis gives discs of radius $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

Bahasa Indonesia

Benda putar: metode cakram

Memutar daerah sekitar sumbu menghasilkan solid whose cross sections are cakram. Metode cakram mengintegrasikan $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

di mana jari-jari $R$ adalah jarak dari kurva ke sumbu. Gunakan $dy$ saat memutar sekitar sumbu $y$.

Metode cakram: memutar y=f(x) tentang sumbu menghasilkan cakram dengan jari-jari f(x) — Metode cakram: memutar y=f(x) di sekitar sumbu menyapu piringan berjari-jari f(x)

Contoh terpecahkan. Memutar daerah di bawah $y=\sqrt{x}$ dari $0$ ke $4$ tentang sumbu $x$ menghasilkan cakram dengan jari-jari $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

Memutar daerah tentang sumbu menghasilkan benda putar — Memutar wilayah di sekitar sumbu menyapu benda putar

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	nilai rata-rata
displacement/dɪˈspleɪsmənt/	pindahan
total distance/ˈtəʊtl ˈdɪstəns/	total jarak
cross sections/krɒs ˈsekʃnz/	potongan melintang
disc method/dɪsk ˈmeθəd/	metode cakram

8.10

Volume with Disc Method: Revolving Around Other Axes · ⁨Volume dengan Metode Cakram: Memutar Sekitar Sumbu Lain⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.2 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line in the plane may be found by using definite integrals with the disc method.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.C: Hitung volume benda hasil revolusi menggunakan integral tertentu.

CHA-5.C.2 Volume benda hasil revolusi di sekitar garis horizontal atau vertikal apa pun di bidang dapat ditemukan dengan menggunakan integral tertentu dengan metode cakram.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

When the axis of revolution is a horizontal or vertical line like $y=k$ (not an axis), the radius adjusts: $R=|f(x)-k|$. Set up the radius as the distance from the curve to that line, then integrate $\pi R^2$ as before.

Bahasa Indonesia

Ketika sumbu rotasi adalah garis horizontal atau vertikal seperti $y=k$ (bukan sumbu), jari-jari disesuaikan: $R=|f(x)-k|$. Tetapkan jari-jari sebagai jarak dari kurva ke garis itu, lalu integrasikan $\pi R^2$ seperti sebelumnya.

8.11

Volume with Washer Method: Revolving Around the x- or y-Axis · ⁨Volume dengan Metode Cincin: Memutar Sekitar Sumbu x- atau y⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.3 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.C: Hitung volume benda hasil revolusi menggunakan integral tertentu.

CHA-5.C.3 Volume benda hasil revolusi di sekitar sumbu $x$ atau $y$ yang penampangnya berbentuk cincin dapat ditemukan menggunakan integral tertentu dengan metode washer.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Volume by the washer method

If the region does not touch the axis, revolving leaves a hole, so cross sections are washers (rings). The washer method 垫圈法 subtracts the inner disc:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Identify the outer and inner radii as distances from each curve to the axis.

Bahasa Indonesia

Volume dengan metode washer

Jika daerah tidak menyentuh sumbu, memutar meninggalkan lubang, sehingga penampangnya adalah cincin (gelang). Metode cincin mengurangi cakram dalam:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Identifikasi jari-jari luar dan dalam sebagai jarak dari setiap kurva ke sumbu.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/	metode cincin
arc length/ɑːk leŋθ/	panjang busur

8.12

Volume with Washer Method: Revolving Around Other Axes · ⁨Volume dengan Metode Cincin: Memutar Sekitar Sumbu Lain⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.4 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.C: Hitung volume benda hasil revolusi menggunakan integral tertentu.

CHA-5.C.4 Volume benda hasil revolusi di sekitar garis horizontal atau vertikal mana pun yang penampangnya berbentuk cincin dapat ditemukan menggunakan integral tertentu dengan metode washer.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

As with discs, revolving around a line $y=k$ or $x=k$ shifts both radii – each becomes the distance from its curve to that line. Sketch the region and the axis, label $R_{\text{outer}}$ and $R_{\text{inner}}$, then integrate the difference of squares.

Bahasa Indonesia

Seperti dengan cakram, memutar sekitar garis $y=k$ atau $x=k$ menggeser kedua jari-jari – masing-masing menjadi jarak dari kurvanya ke garis itu. Sketsa daerah dan sumbunya, labeli $R_{\text{outer}}$ dan $R_{\text{inner}}$, lalu integrasikan selisih kuadratnya.

8.13

The Arc Length of a Smooth Curve and Distance Traveled · ⁨Panjang Busur Kurva Halus dan Jarak Tempuh⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-6): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in length over an interval.

Learning Objective CHA-6.A: Determine the length of a curve in the plane defined by a function, using a definite integral. BC ONLY

CHA-6.A.1 The length of a planar curve defined by a function can be calculated using a definite integral. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (CHA-6): Integral tentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan panjang dalam sebuah interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-6.A: Menentukan panjang kurva di bidang yang didefinisikan oleh sebuah fungsi, menggunakan integral tentu. HANYA BC

CHA-6.A.1 Panjang kurva planar yang didefinisikan oleh sebuah fungsi dapat dihitung menggunakan integral tentu. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The arc length 弧长 of $y=f(x)$ from $a$ to $b$ is

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

This BC-only formula comes from summing tiny hypotenuses $\sqrt{dx^2+dy^2}$. The same idea gives the distance a particle travels along a curved path.

Worked example. Find the arc length of $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ from $x=0$ to $x=3$. Here $f'(x)=x^{1/2}$, so $1+(f')^2=1+x$ and

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

Bahasa Indonesia

Panjang busur dari $y=f(x)$ dari $a$ ke $b$ adalah

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

Rumus khusus BC ini berasal dari menjumlahkan hipotenusa kecil $\sqrt{dx^2+dy^2}$. Ide yang sama memberikan jarak yang ditempuh partikel sepanjang lintasan melengkung.

Contoh terpecahkan. Temukan panjang busur dari $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ dari $x=0$ ke $x=3$. Di sini $f'(x)=x^{1/2}$, jadi $1+(f')^2=1+x$ dan

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

Jembatan Golden Gate dan kabel utamanya yang membentang — Kabel utama jembatan menggantung sebagai kurva halus; integral memberikan panjang pastinya

8.13

Exam tips · ⁨Tips ujian⁩

English

Area between curves is $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — find the intersection points for the limits and keep top minus bottom.
For a volume of revolution, add up disc/washer cross-sections of area $\pi r^2$ (or $\pi(R^2-r^2)$).
The average value of $f$ on $[a,b]$ is $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Accumulated change is $\int$ of a rate: total = initial value $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integration means "adding up infinitely many tiny pieces" — set up the integrand as one thin slice.

Bahasa Indonesia

Luas antara kurva adalah $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — temukan titik potong untuk batas dan tetap gunakan atas dikurangi bawah.
Untuk volume benda putar, jumlahkan potongan melintang cakram/washer dengan luas $\pi r^2$ (atau $\pi(R^2-r^2)$).
Nilai rata-rata dari $f$ pada $[a,b]$ adalah $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Perubahan terkumulasi adalah $\int$ dari laju: total = nilai awal $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integrasi berarti "menjumlahkan banyak sekali bagian kecil" – tetapkan integran sebagai satu irisan tipis.

Interactive lessons on this topic · ⁨Pelajaran interaktif untuk topik ini⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.⁩

Past Papers · ⁨Soal-Soil Masa Lalu⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩ · ⁨Topik lain dalam AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩⁩