Analytical Applications of Differentiation · ⁨Aplikasi Analitis dari Turunan⁩

AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩ · Topic 5 · ⁨Topik 5⁩

View Slides · ⁨Lihat Salindia⁩ Train · ⁨Latih⁩

Video lesson for this topic · ⁨Pelajaran video untuk topik ini⁩ Open the video page · ⁨Buka halaman video⁩

5.1

Using the Mean Value Theorem · ⁨Menggunakan Teorema Nilai Rata-rata⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-1): Existence theorems allow us to draw conclusions about a function's behavior on an interval without precisely locating that behavior.

Learning Objective FUN-1.B: Justify conclusions about functions by applying the Mean Value Theorem over an interval.

FUN-1.B.1 If a function $f$ is continuous over the interval $[a, b]$ and differentiable over the interval $(a, b)$, then the Mean Value Theorem guarantees a point within that open interval where the instantaneous rate of change equals the average rate of change over the interval.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-1): Teorema eksistensi memungkinkan kita menarik kesimpulan tentang perilaku fungsi pada suatu interval tanpa harus menlokalisasi perilaku tersebut secara tepat.

Tujuan Pembelajaran FUN-1.B: Justifikasi kesimpulan tentang fungsi dengan menerapkan Teorema Nilai Rata-rata pada suatu interval.

FUN-1.B.1 Jika sebuah fungsi $f$ kontinu pada interval $[a, b]$ dan terdiferensiasi pada interval $(a, b)$, maka Teorema Nilai Rata-rata menjamin adanya titik dalam interval terbuka tersebut di mana laju perubahan instan sama dengan laju perubahan rata-rata pada interval tersebut.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The Mean Value Theorem

The Mean Value Theorem 中值定理 (MVT) links the average rate of change to an instantaneous one:

If $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$, then there is at least one point $c$ in $(a,b)$ where
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

In words: somewhere inside the interval, the instantaneous rate equals the average rate. Geometrically, some tangent line is parallel to the line joining the endpoints.

Exam skill. Like the IVT, the MVT is an existence theorem, and questions ask you to justify. Full credit needs: (1) state $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$; (2) compute the average rate $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) conclude "by the MVT there is a $c$ in $(a,b)$ with $f'(c)$ equal to that value." Both hypotheses must be named.

Worked example. For $f(x)=x^2$ on $[1,3]$ the average rate is $\dfrac{9-1}{2}=4$; setting $f'(c)=2c=4$ gives $c=2$, which lies in $(1,3)$ – the guaranteed point.

Bahasa Indonesia

Teorema Nilai Rata-rata

Teorema Nilai Rata-rata (MVT) menghubungkan laju perubahan rata-rata dengan laju perubahan sesaat:

Jika $f$ kontinu pada $[a,b]$ dan diferensiabel pada $(a,b)$, maka terdapat setidaknya satu titik $c$ di dalam $(a,b)$ di mana
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Secara kata-kata: di suatu tempat di dalam interval, laju sesaat sama dengan laju rata-rata. Secara geometris, beberapa garis singgung sejajar dengan garis yang menghubungkan titik-titik ujung.

The Mean Value Theorem: some tangent is parallel to the secant over the interval — Teorema Nilai Rata-rata: beberapa garis singgung sejajar dengan garis sekant sepanjang interval

Keterampilan ujian. Seperti IVT, MVT adalah teorema eksistensi, dan soal meminta Anda untuk membenarkannya. Poin penuh memerlukan: (1) nyatakan $f$ kontinu pada $[a,b]$ dan terdiferensiasi pada $(a,b)$; (2) hitung laju rata-rata $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) simpulkan "menurut MVT terdapat sebuah $c$ di $(a,b)$ dengan $f'(c)$ sama dengan nilai tersebut." Kedua hipotesis harus disebutkan.

Contoh terpecahkan. Untuk $f(x)=x^2$ pada $[1,3]$, laju rata-rata adalah $\dfrac{9-1}{2}=4$; menetapkan $f'(c)=2c=4$ memberikan $c=2$, yang terletak dalam $(1,3)$ – titik yang terjamin.

Explore · ⁨Jelajahi⁩

The Mean Value Theorem in action · ⁨Teorema Nilai Rata-rata dalam aksi⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The Mean Value Theorem guarantees a point where the tangent is parallel to the secant across an interval — the instantaneous rate equals the average rate somewhere inside. · ⁨Teorema Nilai Rata-rata menjamin adanya titik di mana garis singgung sejajar dengan garis sekant melintasi interval — laju instan sama dengan laju rata-rata di suatu tempat di dalamnya.⁩

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
Mean Value Theorem/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/	Teorem Nilai Tengah
Extreme Value Theorem/ekˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/	Teorem Nilai Ekstrem
critical point/ˈkrɪtɪkl pɔɪnt/	titik kritis
local (relative) extrema/ˈləʊkl ekˈstremə/	ekstrem lokal (relatif)
increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/	meningkat
decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/	menurun
local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/	maksimum lokal
local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/	minimum lokal
concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/	cekung ke atas
concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/	cekung ke bawah
point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/	titik belok

5.2

Extreme Values, Global vs Local Extrema, and Critical Points · ⁨Nilai Ekstrem, Ekstrem Global vs Lokal, dan Titik Kritis⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-1): Existence theorems allow us to draw conclusions about a function's behavior on an interval without precisely locating that behavior.

Learning Objective FUN-1.C: Justify conclusions about functions by applying the Extreme Value Theorem.

FUN-1.C.1 If a function $f$ is continuous over the interval $(a, b)$, then the Extreme Value Theorem guarantees that $f$ has at least one minimum value and at least one maximum value on $[a, b]$.
FUN-1.C.2 A point on a function where the first derivative equals zero or fails to exist is a critical point of the function.
FUN-1.C.3 All local (relative) extrema occur at critical points of a function, though not all critical points are local extrema.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-1): Teorema eksistensi memungkinkan kita menarik kesimpulan tentang perilaku fungsi pada suatu interval tanpa harus menlokalisasi perilaku tersebut secara tepat.

Tujuan Pembelajaran FUN-1.C: Justifikasi kesimpulan tentang fungsi dengan menerapkan Teorema Nilai Ekstrem.

FUN-1.C.1 Jika sebuah fungsi $f$ kontinu pada interval $(a, b)$, maka Teorema Nilai Ekstrem menjamin bahwa $f$ memiliki setidaknya satu nilai minimum dan setidaknya satu nilai maksimum pada $[a, b]$.
FUN-1.C.2 Titik pada fungsi di mana turunan pertama sama dengan nol atau gagal ada adalah titik kritis dari fungsi tersebut.
FUN-1.C.3 Semua ekstrem lokal (relatif) terjadi pada titik kritis dari sebuah fungsi, meskipun tidak semua titik kritis adalah ekstrem lokal.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The Extreme Value Theorem 极值定理 (EVT) guarantees extremes exist: a function continuous on a closed interval $[a,b]$ attains both an absolute maximum and an absolute minimum on it.

A critical point 临界点 is an interior point where $f'(x)=0$ or $f'(x)$ does not exist. All local (relative) extrema 局部极值 occur at critical points – but not every critical point is an extremum. So critical points are the candidates; you must test each.

Bahasa Indonesia

Puncak gunung: ekstrem dan titik kritis menandai nilai tertinggi dan terendah

Teorem Nilai Ekstrem (EVT) menjamin keberadaan ekstrema: sebuah fungsi kontinu pada interval tertutup $[a,b]$ akan mencapai keduanya, yaitu maksimum mutlak dan minimum mutlak pada interval tersebut.

Pada maksimum atau minimum, turunan bernilai nol

Sebuah titik kritis adalah titik interior di mana $f'(x)=0$ atau $f'(x)$ tidak ada. Semua ekstrema lokal (relatif) terjadi pada titik kritis – tetapi tidak semua titik kritis adalah ekstrema. Jadi, titik kritis adalah kandidat; Anda harus menguji setiap satuannya.

5.3

Where a Function Increases or Decreases · ⁨Di mana Fungsi Bertambah atau Berkurang⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.1 The first derivative of a function can provide information about the function and its graph, including intervals where the function is increasing or decreasing.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.

Tujuan Pembelajaran FUN-4.A: Justifikasi kesimpulan tentang perilaku fungsi berdasarkan perilaku turunannya.

FUN-4.A.1 Turunan pertama dari sebuah fungsi dapat memberikan informasi tentang fungsi dan grafiknya, termasuk interval di mana fungsi naik atau turun.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The first derivative tells you where $f$ rises or falls:

$f'(x) > 0$ on an interval $\Rightarrow$ $f$ is increasing 递增 there;
$f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ is decreasing 递减.

On the exam, "find the intervals where $f$ is increasing" means: find the critical points, then test the sign of $f'$ between them, and justify with the sign of $f'$ (a stated reason, not just an interval).

Bahasa Indonesia

Turunan pertama memberi tahu Anda di mana $f$ naik atau turun:

$f'(x) > 0$ pada interval $\Rightarrow$ $f$ adalah meningkat di sana;
$f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ adalah menurun.

Dalam ujian, "temukan interval di mana $f$ naik" berarti: temukan titik kritisnya, lalu uji tanda dari $f'$ di antara mereka, dan berikan justifikasi dengan tanda dari $f'$ (alasan yang stated, bukan sekadar interval).

5.4

The First Derivative Test for Local Extrema · ⁨Uji Turunan Pertama untuk Ekstrem Lokal⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.2 The first derivative of a function can determine the location of relative (local) extrema of the function.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.

Tujuan Pembelajaran FUN-4.A: Justifikasi kesimpulan tentang perilaku fungsi berdasarkan perilaku turunannya.

FUN-4.A.2 Turunan pertama dari sebuah fungsi dapat menentukan lokasi ekstrem relative (lokal) dari fungsi tersebut.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

To classify a critical point $x=c$ as a local max, local min, or neither, check how $f'$ changes sign there:

$f'$ changes $+$ to $-$ at $c$ $\Rightarrow$ local maximum 极大值;
$f'$ changes $-$ to $+$ at $c$ $\Rightarrow$ local minimum 极小值;
$f'$ does not change sign $\Rightarrow$ neither.

Always state the sign change as your justification.

Worked example. For $f(x)=x^3-3x^2$, $f'(x)=3x(x-2)$ is zero at $x=0,2$. Signs give $+,-,+$, so $x=0$ is a local maximum ($f=0$) and $x=2$ a local minimum ($f=-4$).

Bahasa Indonesia

Untuk mengklasifikasikan titik kritis $x=c$ sebagai maksimum lokal, minimum lokal, atau keduanya, periksa bagaimana $f'$ berubah tandanya di sana:

$f'$ berubah $+$ menjadi $-$ pada $c$ $\Rightarrow$ maksimum lokal;
$f'$ berubah $-$ menjadi $+$ pada $c$ $\Rightarrow$ minimum lokal;
Jika $f'$ tidak berubah tanda, maka $\Rightarrow$ tidak ada ekstrem.

Selalu nyatakan perubahan tanda sebagai justifikasi Anda.

Contoh terpecahkan. Untuk $f(x)=x^3-3x^2$, $f'(x)=3x(x-2)$ bernilai nol pada $x=0,2$. Tanda-tanda menunjukkan $+,-,+$, sehingga $x=0$ adalah maksimum lokal ($f=0$) dan $x=2$ adalah minimum lokal ($f=-4$).

Tanda f-prime menentukan di mana fungsi naik atau turun dan melokalisasi ekstrema lokalnya — Di mana $f' > 0$ grafik naik dan di mana $f' < 0$ ia turun; maksimum lokal berada di tempat $f'$ berubah dari $+$ ke $-$, minimum lokal di tempat ia berubah dari $-$ ke $+$.

5.5

The Candidates Test for Absolute Extrema · ⁨Uji Kandidat untuk Ekstrema Mutlak⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.3 Absolute (global) extrema of a function on a closed interval can only occur at critical points or at endpoints.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.

Tujuan Pembelajaran FUN-4.A: Justifikasi kesimpulan tentang perilaku fungsi berdasarkan perilaku turunannya.

FUN-4.A.3 Ekstrem absolut (global) dari sebuah fungsi pada interval tertutup hanya dapat terjadi pada titik kritis atau pada ujung-ujung interval.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

On a closed interval, absolute (global) extrema occur only at critical points or endpoints. The candidates test:

List all critical points in $[a,b]$ and the two endpoints.
Evaluate $f$ at each candidate.
The largest output is the absolute maximum; the smallest is the absolute minimum.

Show the table of values – the comparison is the argument.

Bahasa Indonesia

Pada interval tertutup, ekstrema mutlak (global) hanya terjadi pada titik kritis atau ujung-ujung interval. Uji kandidat:

Daftar semua titik kritis dalam $[a,b]$ dan kedua ujung interval.
Evaluasi $f$ pada setiap kandidat.
Output terbesar adalah maksimum mutlak; yang terkecil adalah minimum mutlak.

Tampilkan tabel nilai – perbandingannya adalah argumennya.

5.6

Concavity and Points of Inflection · ⁨Kekurvatan dan Titik Belok⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.4 The graph of a function is concave up (down) on an open interval if the function's derivative is increasing (decreasing) on that interval.
FUN-4.A.5 The second derivative of a function provides information about the function and its graph, including intervals of upward or downward concavity.
FUN-4.A.6 The second derivative of a function may be used to locate points of inflection for the graph of the original function.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.

Tujuan Pembelajaran FUN-4.A: Justifikasi kesimpulan tentang perilaku fungsi berdasarkan perilaku turunannya.

FUN-4.A.4 Grafik fungsi cekung ke atas (bawah) pada interval terbuka jika turunan fungsi tersebut naik (turun) pada interval itu.
FUN-4.A.5 Turunan kedua dari sebuah fungsi memberikan informasi tentang fungsi dan grafiknya, termasuk interval kelengkungan ke atas atau ke bawah.
FUN-4.A.6 Turunan kedua dari sebuah fungsi dapat digunakan untuk melokalkan titik belok untuk grafik fungsi asli.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The second derivative describes bending:

$f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ is concave up 上凹 (curving like a cup; $f'$ is increasing);
$f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ is concave down 下凹 ($f'$ is decreasing).

A point of inflection 拐点 is where concavity changes, i.e. where $f''$ changes sign (not merely where $f''=0$). Report its $x$-coordinate and justify with the sign change of $f''$.

Bahasa Indonesia

Turunan kedua menggambarkan kelengkungan:

$f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ cembung ke atas (melengkung seperti cangkir; $f'$ meningkat);
$f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ cembung ke bawah ($f'$ menurun).

Titik belok adalah tempat kelengkungan berubah, yaitu di mana $f''$ berubah tanda (bukan hanya di mana $f''=0$). Laporkan koordinat-$x$-nya dan buktikan dengan perubahan tanda $f''$.

Kekurvatatan berasal dari tanda turunan kedua; ia berbalik di titik belok

Explore · ⁨Jelajahi⁩

Find where concavity flips · ⁨Temukan di mana cekungan berubah arah⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Concavity is the sign of the second derivative: concave up where the curve holds water, concave down where it spills. A point of inflection is where it switches. · ⁨Cekungan adalah tanda turunan kedua: cekung ke atas di mana kurva menahan air, cekung ke bawah di mana menumpahnya. Titik belok adalah tempat perubahannya terjadi.⁩

5.7

The Second Derivative Test for Extrema · ⁨Uji Turunan Kedua untuk Ekstrem⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.7 The second derivative of a function may determine whether a critical point is the location of a relative (local) maximum or minimum.
FUN-4.A.8 When a continuous function has only one critical point on an interval on its domain and the critical point corresponds to a relative (local) extremum of the function on the interval, then that critical point also corresponds to the absolute (global) extremum of the function on the interval.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.

Tujuan Pembelajaran FUN-4.A: Justifikasi kesimpulan tentang perilaku fungsi berdasarkan perilaku turunannya.

FUN-4.A.7 Turunan kedua dari sebuah fungsi dapat menentukan apakah titik kritis merupakan lokasi maksimum atau minimum relative (lokal).
FUN-4.A.8 Ketika fungsi kontinu memiliki hanya satu titik kritis pada interval domainnya dan titik kritis tersebut sesuai dengan ekstrem relative (lokal) dari fungsi pada interval tersebut, maka titik kritis tersebut juga sesuai dengan ekstrem absolut (global) dari fungsi pada interval tersebut.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

An alternative way to classify a critical point $c$ where $f'(c)=0$:

$f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ concave up $\Rightarrow$ local minimum;
$f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ concave down $\Rightarrow$ local maximum;
$f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ the test is inconclusive – fall back on the first derivative test.

Special case: if a continuous function has only one critical point on an interval and it is a local extremum, that point is also the absolute extremum there.

Bahasa Indonesia

Cara alternatif untuk mengklasifikasikan titik kritis $c$ di mana $f'(c)=0$ =

$f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ cekung ke atas $\Rightarrow$ minimum lokal;
$f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ cekung ke bawah $\Rightarrow$ maksimum lokal;
$f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ uji ini tidak konklusif – beralihlah ke uji turunan pertama.

Kasus khusus: jika sebuah fungsi kontinu hanya memiliki satu titik kritis pada suatu interval dan itu adalah ekstrema lokal, titik tersebut juga merupakan ekstrema mutlak di sana.

5.8

Sketching a Function and Its Derivative · ⁨Menggambar Sketsa Fungsi dan Turunannya⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.9 Key features of functions and their derivatives can be identified and related to their graphical, numerical, and analytical representations.
FUN-4.A.10 Graphical, numerical, and analytical information from $f'$ and $f''$ can be used to predict and explain the behavior of $f$.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.

Tujuan Pembelajaran FUN-4.A: Justifikasi kesimpulan tentang perilaku fungsi berdasarkan perilaku turunannya.

FUN-4.A.9 Fitur-fitur kunci fungsi dan turunannya dapat diidentifikasi dan dikaitkan dengan representasi grafis, numerik, dan analitis mereka.
FUN-4.A.10 Informasi grafis, numerik, dan analitik dari $f'$ dan $f''$ dapat digunakan untuk memprediksi dan menjelaskan perilaku $f$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Key features of $f$, $f'$, and $f''$ mirror each other. To sketch or read graphs:

$f$ increasing $\Leftrightarrow$ $f'$ above the axis; $f$ has a local max $\Leftrightarrow$ $f'$ crosses from $+$ to $-$.
$f$ concave up $\Leftrightarrow$ $f'$ increasing $\Leftrightarrow$ $f''$ above the axis; $f$ has an inflection point $\Leftrightarrow$ $f'$ has a local extremum $\Leftrightarrow$ $f''$ crosses zero.

Bahasa Indonesia

Fitur utama dari $f$, $f'$, dan $f''$ saling memantulkan. Untuk menggambar sketsa atau membaca grafik:

$f$ naik $\Leftrightarrow$ $f'$ di atas sumbu; $f$ memiliki maksimum lokal $\Leftrightarrow$ $f'$ menyilang dari $+$ ke $-$.
$f$ cekung ke atas $\Leftrightarrow$ $f'$ meningkat $\Leftrightarrow$ $f''$ di atas sumbu; $f$ memiliki titik belok $\Leftrightarrow$ $f'$ memiliki ekstrema lokal $\Leftrightarrow$ $f''$ menyilang nol.

5.9

Connecting $f$, $f'$, and $f''$ · ⁨Menghubungkan $f$, $f'$, dan $f''$⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.

FUN-4.A.11 Key features of the graphs of $f$, $f'$, and $f''$ are related to one another.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.

Tujuan Pembelajaran FUN-4.A: Justifikasi kesimpulan tentang perilaku fungsi berdasarkan perilaku turunannya.

FUN-4.A.11 Fitur-fitur utama grafik $f$, $f'$, dan $f''$ saling berkaitan.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

This is the skill of reading one graph to describe another. A very common exam setup gives the graph of $f'$ and asks about $f$: where is $f$ increasing (where $f'>0$), where are $f$'s extrema (where $f'$ crosses zero, with a sign change), where is $f$ concave up (where $f'$ is increasing). Answer questions about $f$ using the height and slope of the $f'$ graph.

Bahasa Indonesia

Ini adalah keterampilan membaca satu grafik untuk menjelaskan yang lain. Pengaturan ujian yang sangat umum memberikan grafik $f'$ dan meminta tentang $f$: di mana $f$ naik (di mana $f'>0$), di mana ekstrema $f$ (di mana $f'$ menyilang nol, dengan perubahan tanda), di mana $f$ cekung ke atas (di mana $f'$ meningkat). Jawab pertanyaan tentang $f$ menggunakan tinggi dan kemiringan dari grafik $f'$.

Explore · ⁨Jelajahi⁩

Read slope and bend off the graph · ⁨Baca kemiringan dan kelengkungan dari grafik⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Where $f'>0$ the function rises; where $f''>0$ it bends upward. Slide the tangent to connect the shape of $f$ to the signs of its first and second derivatives. · ⁨Di mana $f'>0$ fungsi naik; di mana $f''>0$ ia membengkok ke atas. Geser garis singgung untuk menghubungkan bentuk $f$ dengan tanda-tanda turunan pertama dan keduanya.⁩

5.10

Introduction to Optimization Problems · ⁨Pengantar Masalah Optimasi⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.B: Calculate minimum and maximum values in applied contexts or analysis of functions.

FUN-4.B.1 The derivative can be used to solve optimization problems; that is, finding a minimum or maximum value of a function on a given interval.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.

Tujuan Pembelajaran FUN-4.B: Hitung nilai minimum dan maksimum dalam konteks terapan atau analisis fungsi.

FUN-4.B.1 Turunan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi; yaitu, menemukan nilai minimum atau maksimum dari sebuah fungsi pada interval tertentu.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Optimisation: the best box

Optimization 最优化 uses the derivative to find the largest or smallest value of a quantity on an interval. It is the candidates/derivative-test machinery applied to a real goal.

Bahasa Indonesia

Optimisasi: kotak terbaik

Optimisasi menggunakan turunan untuk menemukan nilai terbesar atau terkecil dari suatu kuantitas pada interval. Ini adalah mesin uji kandidat/uji turunan yang diterapkan pada tujuan nyata.

Pagar: optimasi menemukan dimensi yang memaksimumkan luas untuk panjang pagar tetap

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
Optimization/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/	Optimalisasi

5.11

Solving Optimization Problems · ⁨Menyelesaikan Masalah Optimasi⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.C: Interpret minimum and maximum values calculated in applied contexts.

FUN-4.C.1 Minimum and maximum values of a function take on specific meanings in applied contexts.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.

Tujuan Pembelajaran FUN-4.C: Interpretasikan nilai minimum dan maksimum yang dihitung dalam konteks terapan.

FUN-4.C.1 Nilai minimum dan maksimum dari sebuah fungsi memiliki makna spesifik dalam konteks terapan.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A dependable procedure:

Write the quantity to optimize as a function of one variable (use a constraint equation to eliminate extras).
State the interval of allowed inputs.
Find critical points ($f'=0$ or undefined) and test them (first- or second-derivative test, or candidates test if the interval is closed).
Answer the question asked, with units and interpretation in context – the maximum area, the minimum cost, etc.

Worked example. With $100\ \text{m}$ of fence for a rectangular pen against a wall (only three sides fenced), let the ends be $x$ and the far side $y=100-2x$. The area $A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$ has $A'(x)=100-4x=0$ at $x=25$; since $A''=-4<0$ this is the maximum, giving $y=50$ and $A=1250\ \text{m}^2$.

Bahasa Indonesia

Prosedur yang dapat diandalkan:

Tuliskan kuantitas yang dioptimalkan sebagai fungsi dari satu variabel (gunakan persamaan kendala untuk menghilangkan variabel tambahan).
Nyatakan interval input yang diperbolehkan.
Temukan titik kritis ($f'=0$ atau tidak terdefinisi) dan uji (uji turunan pertama atau kedua, atau uji kandidat jika interval tertutup).
Jawab pertanyaan yang diajukan, dengan satuan dan interpretasi dalam konteks – luas maksimum, biaya minimum, dll.

Contoh terpecahkan. Dengan $100\ \text{m}$ pagar untuk kandang persegi panjang di depan dinding (hanya tiga sisi berpagar), misalkan sisi samping adalah $x$ dan sisi belakang $y=100-2x$. Luas $A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$ memiliki $A'(x)=100-4x=0$ pada $x=25$; karena $A''=-4<0$ ini adalah maksimum, menghasilkan $y=50$ dan $A=1250\ \text{m}^2$.

5.12

Exploring Behaviors of Implicit Relations · ⁨Menjelajahi Perilaku Hubungan Implisit⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.

Learning Objective FUN-4.D: Determine critical points of implicit relations.

FUN-4.D.1 A point on an implicit relation where the first derivative equals zero or does not exist is a critical point of the function.

Learning Objective FUN-4.E: Justify conclusions about the behavior of an implicitly defined function based on evidence from its derivatives.

FUN-4.E.1 Applications of derivatives can be extended to implicitly defined functions.
FUN-4.E.2 Second derivatives involving implicit differentiation may be relations of $x$, $y$, and $\dfrac{dy}{dx}$.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.

Tujuan Pembelajaran FUN-4.D: Tentukan titik kritis dari relasi implisit.

FUN-4.D.1 Titik pada relasi implisit di mana turunan pertama sama dengan nol atau tidak ada adalah titik kritis dari fungsi tersebut.

Tujuan Pembelajaran FUN-4.E: Justifikasi kesimpulan tentang perilaku fungsi yang didefinisikan secara implisit berdasarkan bukti dari turunannya.

FUN-4.E.1 Penerapan turunan dapat diperluas ke fungsi-fungsi yang didefinisikan secara implisit.
FUN-4.E.2 Turunan kedua yang melibatkan diferensiasi implisit mungkin berupa relasi dari $x$, $y$, dan $\dfrac{dy}{dx}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

All of this extends to implicitly defined relations. A critical point of an implicit relation is where $\dfrac{dy}{dx}=0$ (horizontal tangent) or is undefined (vertical tangent). Because $\dfrac{dy}{dx}$ is usually a relation in $x$ and $y$, and the second derivative involves $x$, $y$, and $\dfrac{dy}{dx}$, substitute your first-derivative expression back in when finding $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, then reason about concavity from its sign.

Bahasa Indonesia

Semua ini berlaku untuk relasi yang terdefinisi secara implisit. Titik kritis dari relasi implisit adalah tempat $\dfrac{dy}{dx}=0$ (tangen horizontal) atau tidak terdefinisi (tangen vertikal). Karena $\dfrac{dy}{dx}$ biasanya merupakan relasi dalam $x$ dan $y$, dan turunan kedua melibatkan $x$, $y$, dan $\dfrac{dy}{dx}$, substitusikan kembali ekspresi turunan pertama Anda saat mencari $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, kemudian analisis kecekungan berdasarkan tandanya.

5.12

Exam tips · ⁨Tips ujian⁩

English

$f'>0$ means increasing, $f'<0$ decreasing; candidates for extrema are where $f'=0$ or is undefined.
Classify a critical point with the first-derivative sign change or the second-derivative test ($f''>0$ minimum, $f''<0$ maximum).
$f''>0$ is concave up, $f''<0$ concave down; a point of inflection is where concavity changes ($f''$ changes sign).
For an absolute extremum on a closed interval, also check the endpoints.
Justify every conclusion by citing the sign of $f'$ or $f''$ — the exam demands the reasoning, not just the answer.

Bahasa Indonesia

$f'>0$ berarti naik, $f'<0$ turun; kandidat untuk ekstremum adalah tempat $f'=0$ atau tidak terdefinisi.
Klasifikasikan titik kritis dengan perubahan tanda turunan pertama atau uji turunan kedua ($f''>0$ minimum, $f''<0$ maksimum).
$f''>0$ cekung ke atas, $f''<0$ cekung ke bawah; titik belok adalah tempat kecekungan berubah ($f''$ berubah tanda).
Untuk ekstremum absolut pada interval tertutup, juga periksa titik-titik ujung.
Justifikasi setiap kesimpulan dengan mengutip tanda $f'$ atau $f''$ – ujian menuntut penalaran, bukan hanya jawaban.

Interactive lessons on this topic · ⁨Pelajaran interaktif untuk topik ini⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.⁩

Past Papers · ⁨Soal-Soil Masa Lalu⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩ · ⁨Topik lain dalam AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩⁩