Infinite Sequences and Series · ⁨Barisan Tak Hingga dan Deret⁩

AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩ · Topic 10 · ⁨Topik 10⁩

View Slides · ⁨Lihat Salindia⁩ Train · ⁨Latih⁩

Video lesson for this topic · ⁨Pelajaran video untuk topik ini⁩ Open the video page · ⁨Buka halaman video⁩

10.1

Defining Convergent and Divergent Infinite Series · ⁨Mendefinisikan Deret Tak Hingga Konvergen dan Divergen⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.1 The $n$th partial sum is defined as the sum of the first $n$ terms of a series. BC ONLY
LIM-7.A.2 An infinite series of numbers converges to a real number $S$ (or has sum $S$), if and only if the limit of its sequence of partial sums exists and equals $S$. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (LIM-7): Menerapkan limit memungkinkan kita menentukan jumlah berhingga dari tak hingga suku.

Tujuan Pembelajaran LIM-7.A: Menentukan apakah sebuah deret konvergen atau divergen. HANYA BC

LIM-7.A.1 Jumlah parsial ke-$n$ didefinisikan sebagai jumlah dari $n$ suku pertama dari sebuah deret. HANYA BC
LIM-7.A.2 Deret tak hingga bilangan konvergen ke bilangan real $S$ (atau memiliki jumlah $S$), jika dan hanya jika limit dari uraian jumlah parsialnya ada dan sama dengan $S$. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

An infinite series 无穷级数 adds infinitely many terms, $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Its value is defined as the limit of the partial sums 部分和 $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. If $S_N$ approaches a finite number $L$, the series converges 收敛 to $L$; otherwise it diverges 发散. Every convergence question is really a question about the limit of the partial sums.

Bahasa Indonesia

Boneka matryoshka bertingkat: deret tak hingga terus menambahkan suku — beberapa konvergen, beberapa divergen — Boneka Matryoshka bertumpuk: deret tak hingga terus menambah suku — beberapa konvergen, beberapa divergen

Sebuah deret tak hingga menambahkan tak hingga banyak suku, $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Nilainya didefinisikan sebagai limit dari jumlah parsial $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. Jika $S_N$ mendekati bilangan terhingga $L$, deret tersebut konvergen ke $L$; jika tidak, deret tersebut divergen. Setiap pertanyaan tentang konvergensi sebenarnya adalah pertanyaan tentang limit dari jumlah parsial.

Jumlah parsial dari deret geometri konvergen mendekati a dibagi satu kurang r — Untuk deret geometri dengan $a=1,\ r=\tfrac12$, jumlah parsial $S_1,S_2,S_3,\dots$ naik menuju limit $\dfrac{a}{1-r}=2$ – limit itulah nilai deret tersebut.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/	deret tak hingga
partial sums/ˈpɑːʃl sʌmz/	jumlah parsialnya
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	konvergen
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	divergen
geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/	deret geometri
integral test/ˈɪntɪɡrəl test/	uji integral
harmonic series/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/	deret harmonik
Direct comparison/daɪˈrekt kəmˈpærɪsn/	Perbandingan langsung
Limit comparison/ˈlɪmɪt kəmˈpærɪsn/	Perbandingan batas
alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/	deret berganti
ratio test/ˈreɪʃɪəʊ test/	uji rasio
converges absolutely/kənˈvɜːdʒɪz ˌæbsəˈluːtli/	konvergen mutlak
converges conditionally/kənˈvɜːdʒɪz kənˈdɪʃənəli/	konvergen kondisional

10.2

Working with Geometric Series · ⁨Bekerja dengan Deret Geometri⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.3 A geometric series is a series with a constant ratio between successive terms. BC ONLY
LIM-7.A.4 If $a$ is a real number and $r$ is a real number such that $|r| < 1$, then the geometric series $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (LIM-7): Menerapkan limit memungkinkan kita menentukan jumlah berhingga dari tak hingga suku.

Tujuan Pembelajaran LIM-7.A: Menentukan apakah sebuah deret konvergen atau divergen. HANYA BC

LIM-7.A.3 Deret geometri adalah deret dengan rasio tetap antara suku-suku berturutan. HANYA BC
LIM-7.A.4 Jika $a$ adalah bilangan real dan $r$ adalah bilangan real sedemikian rupa sehingga $|r| < 1$, maka deret geometri $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Geometric series & convergence

A geometric series 几何级数 $\sum ar^{n}$ has a constant ratio $r$ between terms. It converges exactly when $|r|<1$, and then

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}.$$

This is the one series whose sum you can find exactly, and it underlies power series later in the unit.

Worked example. Sum $3+\tfrac32+\tfrac34+\tfrac38+\cdots$. Here $a=3$ and $r=\tfrac12$ (with $|r|<1$), so the sum is $\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{3}{1-\tfrac12}=6$.

Bahasa Indonesia

Deret geometri & konvergensi

Sebuah deret geometri $\sum ar^{n}$ memiliki rasio konstan $r$ antar suku. Deret ini konvergen tepat ketika $|r|<1$, dan kemudian

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}.$$

Ini adalah satu-satunya deret yang jumlahnya dapat Anda temukan secara eksak, dan menjadi dasar deret pangkat nanti dalam unit ini.

Contoh terpecahkan. Jumlahkan $3+\tfrac32+\tfrac34+\tfrac38+\cdots$. Di sini $a=3$ dan $r=\tfrac12$ (dengan $|r|<1$), sehingga jumlahannya adalah $\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{3}{1-\tfrac12}=6$.

Deret geometri mengalikan dengan rasio yang sama pada setiap langkahnya — Urutan geometri mengalikan dengan rasio yang sama pada setiap langkah

Explore · ⁨Jelajahi⁩

When a geometric series converges · ⁨Kapan deret geometri konvergen⁩

A geometric series $\sum ar^n$ converges only when $|r|<1$, summing to $\frac{a}{1-r}$. Change the ratio and watch the partial sums settle or blow up. · ⁨Deret geometri $\sum ar^n$ hanya konvergen ketika $|r|<1$, menjumlahkan ke $\frac{a}{1-r}$. Ubah rasio dan saksikan jumlah parsial menetap atau meledak.⁩

10.3

The nth Term Test for Divergence · ⁨Uji Suku ke-n untuk Divergensi⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.5 The $n$th term test is a test for divergence of a series. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (LIM-7): Menerapkan limit memungkinkan kita menentukan jumlah berhingga dari tak hingga suku.

Tujuan Pembelajaran LIM-7.A: Menentukan apakah sebuah deret konvergen atau divergen. HANYA BC

LIM-7.A.5 Uji suku ke $n$ adalah uji untuk divergensi dari sebuah deret. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

If the terms do not shrink to zero, the sum cannot settle: if $\lim_{n\to\infty}a_n\neq0$, the series diverges. This is only a test for divergence – if the terms do go to zero, the test is inconclusive (the series may still diverge, like the harmonic series). Always check this quick test first.

Bahasa Indonesia

Jika suku-sukunya tidak mengecil menuju nol, jumlah tidak akan konvergen: jika $\lim_{n\to\infty}a_n\neq0$, deret tersebut divergen. Ini hanyalah tes untuk divergensi – jika suku-suku memang menuju nol, tes ini tidak conclusif (deret masih bisa divergen, seperti deret harmonik). Selalu periksa tes cepat ini terlebih dahulu.

10.4

Integral Test for Convergence · ⁨Tes Integral untuk Konvergensi⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.6 The integral test is a method to determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (LIM-7): Menerapkan limit memungkinkan kita menentukan jumlah berhingga dari tak hingga suku.

Tujuan Pembelajaran LIM-7.A: Menentukan apakah sebuah deret konvergen atau divergen. HANYA BC

LIM-7.A.6 Uji integral adalah metode untuk menentukan apakah sebuah deret konvergen atau divergen. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

If $a_n=f(n)$ for a positive, decreasing, continuous $f$, then $\sum a_n$ and $\int_1^\infty f(x)\,dx$ both converge or both diverge. The integral test 积分判别法 turns a series question into an improper-integral question, and it is what proves the p-series rule below.

Bahasa Indonesia

Jika $a_n=f(n)$ untuk fungsi $f$ yang positif, menurun, dan kontinu, maka $\sum a_n$ dan $\int_1^\infty f(x)\,dx$ keduanya konvergen atau keduanya divergen. Tes integral mengubah pertanyaan deret menjadi pertanyaan integral tak wajar, dan inilah yang membuktikan aturan p-deret di bawah ini.

10.5

Harmonic Series and p-Series · ⁨Deret Harmonik dan p-Deret⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.7 In addition to geometric series, common series of numbers include the harmonic series, the alternating harmonic series, and $p$-series. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (LIM-7): Menerapkan limit memungkinkan kita menentukan jumlah berhingga dari tak hingga suku.

Tujuan Pembelajaran LIM-7.A: Menentukan apakah sebuah deret konvergen atau divergen. HANYA BC

LIM-7.A.7 Selain deret geometri, deret-numerik umum meliputi deret harmonik, deret harmonik berganti tanda, dan deret $p$. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A p-series $\sum \dfrac{1}{n^p}$ converges if $p>1$ and diverges if $p\le1$. The special case $p=1$, $\sum\dfrac1n$, is the harmonic series 调和级数 – it diverges even though its terms go to zero (a famous, must-know fact). The p-series family is the standard yardstick for comparison tests.

Bahasa Indonesia

Sebuah p-deret $\sum \dfrac{1}{n^p}$ konvergen jika $p>1$ dan divergen jika $p\le1$. Kasus khusus $p=1$, $\sum\dfrac1n$, adalah deret harmonik – ia divergen meskipun suku-sukunya menuju nol (fakta terkenal yang harus diketahui). Keluarga p-deret adalah standar pembanding untuk tes komparasi.

10.6

Comparison Tests for Convergence · ⁨Tes Komparasi untuk Konvergensi⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.8 The comparison test is a method to determine whether a series converges or diverges. BC ONLY
LIM-7.A.9 The limit comparison test is a method to determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (LIM-7): Menerapkan limit memungkinkan kita menentukan jumlah berhingga dari tak hingga suku.

Tujuan Pembelajaran LIM-7.A: Menentukan apakah sebuah deret konvergen atau divergen. HANYA BC

LIM-7.A.8 Uji perbandingan adalah metode untuk menentukan apakah sebuah deret konvergen atau divergen. HANYA BC
LIM-7.A.9 Uji limit perbandingan adalah metode untuk menentukan apakah sebuah deret konvergen atau divergen. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Compare an unfamiliar series to a known one (a p-series or geometric series):

Direct comparison 直接比较: if $0\le a_n\le b_n$ and $\sum b_n$ converges, so does $\sum a_n$; if $a_n\ge b_n\ge0$ and $\sum b_n$ diverges, so does $\sum a_n$.
Limit comparison 极限比较: if $\lim\dfrac{a_n}{b_n}$ is a finite positive number, the two series do the same thing. This is easier when the terms only behave like a known series.

Bahasa Indonesia

Bandingkan deret yang belum dikenal dengan yang sudah dikenal (p-deret atau deret geometri):

Komparasi langsung: jika $0\le a_n\le b_n$ dan $\sum b_n$ konvergen, maka $\sum a_n$ juga konvergen; jika $a_n\ge b_n\ge0$ dan $\sum b_n$ divergen, maka $\sum a_n$ juga divergen.
Komparasi limit: jika $\lim\dfrac{a_n}{b_n}$ adalah bilangan positif terbatas, kedua deret memiliki perilaku yang sama. Ini lebih mudah ketika suku-sukunya hanya berperilaku seperti deret yang sudah dikenal.

10.7

Alternating Series Test for Convergence · ⁨Tes Deret Berselang-Seling untuk Konvergensi⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.10 The alternating series test is a method to determine whether an alternating series converges. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (LIM-7): Menerapkan limit memungkinkan kita menentukan jumlah berhingga dari tak hingga suku.

Tujuan Pembelajaran LIM-7.A: Menentukan apakah sebuah deret konvergen atau divergen. HANYA BC

LIM-7.A.10 Uji deret berganti tanda adalah metode untuk menentukan apakah deret berganti tanda konvergen. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

An alternating series 交错级数 has terms that switch sign, $\sum(-1)^n b_n$. It converges if the $b_n$ are positive, decreasing, and $\lim b_n=0$. This lets series like $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ converge even though the same terms without the signs (the harmonic series) diverge.

Bahasa Indonesia

Sebuah deret berselang-seling memiliki suku-suku yang berganti tanda, $\sum(-1)^n b_n$. Ia konvergen jika $b_n$ bernilai positif, menurun, dan $\lim b_n=0$. Hal ini memungkinkan deret seperti $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ konvergen meskipun suku-suku yang sama tanpa tanda (deret harmonik) divergen.

10.8

Ratio Test for Convergence · ⁨Tes Rasio untuk Konvergensi⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.11 The ratio test is a method to determine whether a series of numbers converges or diverges. BC ONLY
- Exclusion statement: The nth term test for divergence, and the integral test, comparison test, limit comparison test, alternating series test, and ratio test for convergence are assessed on the AP Calculus BC Exam. Other methods are not assessed on the exam. However, teachers may include additional methods in the course, if time permits.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (LIM-7): Menerapkan limit memungkinkan kita menentukan jumlah berhingga dari tak hingga suku.

Tujuan Pembelajaran LIM-7.A: Menentukan apakah sebuah deret konvergen atau divergen. HANYA BC

LIM-7.A.11 Uji rasio adalah metode untuk menentukan apakah deret numerik konvergen atau divergen. HANYA BC
- Pernyataan pengecualian: Uji suku ke-n untuk divergensi, dan uji integral, uji perbandingan, uji limit perbandingan, uji deret berganti tanda, serta uji rasio untuk konvergensi diujikan dalam Ujian AP Calculus BC. Metode lain tidak diujikan dalam ujian. Namun, guru mungkin memasukkan metode tambahan dalam kurikulum, jika waktu memungkinkan.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The ratio test 比值判别法 examines $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:

$L<1$: the series converges absolutely;
$L>1$: it diverges;
$L=1$: inconclusive.

It is the go-to test for series with factorials or $n$th powers, and it is exactly how you find the radius of convergence of a power series.

Worked example. Test $\displaystyle\sum \frac{n}{2^n}$. The ratio is $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12<1$, so the series converges.

Bahasa Indonesia

Tes rasio memeriksa $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:

$L<1$: deret tersebut konvergen mutlak;
$L>1$: deret tersebut divergen;
$L=1$: tidak conclusif.

Ini adalah tes pilihan utama untuk deret dengan faktorial atau $n$ pangkat, dan persis seperti inilah Anda menemukan jari-jari konvergensi dari deret pangkat.

Contoh terpecahkan. Uji $\displaystyle\sum \frac{n}{2^n}$. Rasionya adalah $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12<1$, sehingga deret konvergen.

10.9

Determining Absolute or Conditional Convergence · ⁨Menentukan Konvergensi Mutlak atau Kondisional⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.12 A series may be absolutely convergent, conditionally convergent, or divergent. BC ONLY
LIM-7.A.13 If a series converges absolutely, then it converges. BC ONLY
LIM-7.A.14 If a series converges absolutely, then any series obtained from it by regrouping or rearranging the terms has the same value. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (LIM-7): Menerapkan limit memungkinkan kita menentukan jumlah berhingga dari tak hingga suku.

Tujuan Pembelajaran LIM-7.A: Menentukan apakah sebuah deret konvergen atau divergen. HANYA BC

LIM-7.A.12 Sebuah deret dapat bersifat konvergen mutlak, konvergen kondisional, atau divergen. HANYA BC
LIM-7.A.13 Jika sebuah deret konvergen mutlak, maka deret tersebut konvergen. HANYA BC
LIM-7.A.14 Jika sebuah deret konvergen mutlak, maka setiap deret yang diperoleh darinya dengan pengelompokan ulang atau penyusunan ulang suku-sukunya memiliki nilai yang sama. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A series converges absolutely 绝对收敛 if $\sum|a_n|$ converges. It converges conditionally 条件收敛 if $\sum a_n$ converges but $\sum|a_n|$ diverges (the classic example is $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$). Absolute convergence is the stronger property; conditional convergence relies on the cancellation of signs.

Bahasa Indonesia

Sebuah deret konvergen mutlak jika $\sum|a_n|$ konvergen. Ia konvergen kondisional jika $\sum a_n$ konvergen tetapi $\sum|a_n|$ divergen (contoh klasiknya adalah $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$). Konvergensi mutlak adalah sifat yang lebih kuat; konvergensi kondisional bergantung pada pembatalan tanda.

10.10

Alternating Series Error Bound · ⁨Batas Kesalahan Deret Berselang-Seling⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.B: Approximate the sum of a series. BC ONLY

LIM-7.B.1 If an alternating series converges by the alternating series test, then the alternating series error bound can be used to bound how far a partial sum is from the value of the infinite series. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (LIM-7): Menerapkan limit memungkinkan kita menentukan jumlah berhingga dari tak hingga suku.

Tujuan Pembelajaran LIM-7.B: Mengaproksimasi jumlah deret. HANYA BC

LIM-7.B.1 Jika deret berganti tanda konvergen melalui uji deret berganti tanda, maka batas kesalahan deret berganti tanda dapat digunakan untuk membatasi seberapa jauh jumlah parsial berada dari nilai deret tak hingga. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

For a convergent alternating series, the error in stopping at the $N$th partial sum is no larger than the first omitted term:

$$|S-S_N|\le b_{N+1}.$$

This simple, powerful bound lets you say how many terms guarantee a desired accuracy.

Bahasa Indonesia

Untuk deret berselang-seling yang konvergen, kesalahan saat berhenti pada jumlah parsial ke-$N$ adalah tidak lebih besar dari suku pertama yang dilewatkan:

$$|S-S_N|\le b_{N+1}.$$

Batas sederhana dan kuat ini memungkinkan Anda menentukan berapa banyak suku yang menjamin akurasi yang diinginkan.

10.11

Finding Taylor Polynomial Approximations of Functions · ⁨Mencari Pendekatan Polinomial Taylor Fungsi⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.A: Represent a function at a point as a Taylor polynomial. BC ONLY

LIM-8.A.1 The coefficient of the $n$th degree term in a Taylor polynomial for a function $f$ centered at $x = a$ is $\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}$. BC ONLY
LIM-8.A.2 In many cases, as the degree of a Taylor polynomial increases, the $n$th degree polynomial will approach the original function over some interval. BC ONLY

Learning Objective LIM-8.B: Approximate function values using a Taylor polynomial. BC ONLY

LIM-8.B.1 Taylor polynomials for a function $f$ centered at $x = a$ can be used to approximate function values of $f$ near $x = a$. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (LIM-8): Deret pangkat memungkinkan kita merepresentasikan fungsi terkait pada interval yang sesuai.

Tujuan Pembelajaran LIM-8.A: Merepresentasikan fungsi pada suatu titik sebagai polinomial Taylor. HANYA BC

LIM-8.A.1 Koefisien dari suku berderajat $n$ dalam polinomial Taylor untuk fungsi $f$ yang berpusat di $x = a$ adalah $\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}$. HANYA BC
LIM-8.A.2 Dalam banyak kasus, seiring meningkatnya derajat polinomial Taylor, polinomial berderajat $n$ akan mendekati fungsi asli pada beberapa interval. HANYA BC

Tujuan Pembelajaran LIM-8.B: Mengaproksimasi nilai fungsi menggunakan polinomial Taylor. HANYA BC

LIM-8.B.1 Polinomial Taylor untuk fungsi $f$ yang berpusat di $x = a$ dapat digunakan untuk mengaproksimasi nilai fungsi $f$ di dekat $x = a$. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Taylor series approximation

A Taylor polynomial 泰勒多项式 approximates a function near a center $x=a$ using its derivatives there:

$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$

Each added term matches one more derivative, so the polynomial hugs the curve more closely near $a$. Centered at $a=0$ it is a Maclaurin polynomial.

Exam skill: be able to build a Taylor polynomial from a table of derivative values and use it to estimate a function value.

Bahasa Indonesia

Pendekatan deret Taylor

Sebuah polinomial Taylor mengaproksimasi suatu fungsi di sekitar pusat $x=a$ menggunakan turunan-turunan di sana:

$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$

Setiap suku tambahan mencocokkan satu turunan lagi, sehingga polinomial menempel lebih dekat pada kurva di sekitar $a$. Berpusat di $a=0$, ia disebut polinomial Maclaurin.

Polinomial Taylor dari sin x menempel lebih dekat pada kurva seiring bertambahnya derajat — Polinomial Maclaurin dari $\sin x$ – $T_1=x$, $T_3$, $T_5$ – masing-masing mencocokkan satu turunan lagi di $0$, sehingga masing-masing menempel pada $\sin x$ dalam interval yang lebih lebar sebelum terlepas.

Keterampilan ujian: mampu membangun polinomial Taylor dari tabel nilai turunan dan menggunakannya untuk memperkirakan nilai fungsi.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	polinomial Taylor
Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/	batas galat Lagrange
power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/	deret pangkat
radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/	jari-jari konvergensi
interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/	interval konvergensi

10.12

Lagrange Error Bound · ⁨Batas Kesalahan Lagrange⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.C: Determine the error bound associated with a Taylor polynomial approximation. BC ONLY

LIM-8.C.1 The Lagrange error bound can be used to determine a maximum interval for the error of a Taylor polynomial approximation to a function. BC ONLY
LIM-8.C.2 In some situations, the alternating series error bound can be used to bound the error of a Taylor polynomial approximation to the value of a function. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (LIM-8): Deret pangkat memungkinkan kita merepresentasikan fungsi terkait pada interval yang sesuai.

Tujuan Pembelajaran LIM-8.C: Menentukan batas kesalahan yang berkaitan dengan aproksimasi polinomial Taylor. HANYA BC

LIM-8.C.1 Batas kesalahan Lagrange dapat digunakan untuk menentukan interval maksimum untuk kesalahan aproksimasi polinomial Taylor pada suatu fungsi. HANYA BC
LIM-8.C.2 Dalam beberapa situasi, batas kesalahan deret berganti tanda dapat digunakan untuk membatasi kesalahan aproksimasi polinomial Taylor terhadap nilai fungsi. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The Lagrange error bound 拉格朗日误差界 bounds how far a Taylor polynomial can be from the true value:

$$|R_n(x)|\le\frac{\max\big|f^{(n+1)}(z)\big|}{(n+1)!}\,|x-a|^{\,n+1}.$$

You bound the $(n+1)$th derivative on the interval, then compute – the standard way to prove a Taylor estimate is accurate enough.

Bahasa Indonesia

Batas kesalahan Lagrange membatasi seberapa jauh polinomial Taylor dapat menyimpang dari nilai sebenarnya:

$$|R_n(x)|\le\frac{\max\big|f^{(n+1)}(z)\big|}{(n+1)!}\,|x-a|^{\,n+1}.$$

Anda membatasi $(n+1)$ pada interval tersebut, lalu menghitung – cara standar untuk membuktikan bahwa estimasi Taylor cukup akurat.

10.13

Radius and Interval of Convergence of Power Series · ⁨Jari-Jari dan Interval Konvergensi Deret Pangkat⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.D: Determine the radius of convergence and interval of convergence for a power series. BC ONLY

LIM-8.D.1 A power series is a series of the form $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-r)^n$, where $n$ is a non-negative integer, $\{a_n\}$ is a sequence of real numbers, and $r$ is a real number. BC ONLY
LIM-8.D.2 If a power series converges, it either converges at a single point or has an interval of convergence. BC ONLY
LIM-8.D.3 The ratio test can be used to determine the radius of convergence of a power series. BC ONLY
LIM-8.D.4 The radius of convergence of a power series can be used to identify an open interval on which the series converges, but it is necessary to test both endpoints of the interval to determine the interval of convergence. BC ONLY
LIM-8.D.5 If a power series has a positive radius of convergence, then the power series is the Taylor series of the function to which it converges over the open interval. BC ONLY
LIM-8.D.6 The radius of convergence of a power series obtained by term-by-term differentiation or term-by-term integration is the same as the radius of convergence of the original power series. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (LIM-8): Deret pangkat memungkinkan kita merepresentasikan fungsi terkait pada interval yang sesuai.

Tujuan Pembelajaran LIM-8.D: Tentukan jari-jari konvergensi dan interval konvergensi untuk deret pangkat. HANYA BC

LIM-8.D.1 Deret pangkat adalah deret dengan bentuk $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-r)^n$, di mana $n$ adalah bilangan bulat tak-negatif, $\{a_n\}$ adalah barisan bilangan real, dan $r$ adalah bilangan real. HANYA BC
LIM-8.D.2 Jika sebuah deret pangkat konvergen, maka deret tersebut konvergen pada satu titik tunggal atau memiliki interval konvergensi. HANYA BC
LIM-8.D.3 Uji rasio dapat digunakan untuk menentukan jari-jari konvergensi dari sebuah deret pangkat. HANYA BC
LIM-8.D.4 Jari-jari konvergensi dari sebuah deret pangkat dapat digunakan untuk mengidentifikasi interval terbuka di mana deret tersebut konvergen, namun perlu dilakukan pengujian pada kedua ujung interval untuk menentukan interval konvergensinya. HANYA BC
LIM-8.D.5 Jika sebuah deret pangkat memiliki jari-jari konvergensi yang positif, maka deret pangkat tersebut adalah deret Taylor dari fungsi yang dimilikinya dalam interval terbuka. HANYA BC
LIM-8.D.6 Jari-jari konvergensi dari sebuah deret pangkat yang diperoleh melalui diferensiasi per suku atau integrasi per suku sama dengan jari-jari konvergensi dari deret pangkat aslinya. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A power series 幂级数 $\sum c_n(x-a)^n$ converges for $x$ within a radius of convergence 收敛半径 $R$ of the center $a$. Find $R$ with the ratio test. Then test the two endpoints separately (the ratio test is inconclusive there) to state the full interval of convergence 收敛区间 – including or excluding each endpoint.

Worked example. Find the radius of convergence of $\displaystyle\sum \frac{x^n}{n}$. The ratio test gives $\left|\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\dfrac{n}{x^n}\right|=|x|\dfrac{n}{n+1}\to|x|$, which is $<1$ when $|x|<1$, so $R=1$. Testing the endpoints, $x=-1$ gives the convergent alternating harmonic series and $x=1$ the divergent harmonic series, so the interval is $[-1,1)$.

Bahasa Indonesia

Sebuah deret pangkat $\sum c_n(x-a)^n$ konvergen untuk $x$ dalam jari-jari konvergensi $R$ dari pusat $a$. Temukan $R$ dengan tes rasio. Kemudian uji kedua titik ujung secara terpisah (tes rasio tidak conclusif di sana) untuk menyatakan interval konvergensi penuh – termasuk atau mengecualikan setiap titik ujung.

Contoh terpecahkan. Temukan jari-jari konvergensi dari $\displaystyle\sum \frac{x^n}{n}$. Tes rasio memberikan $\left|\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\dfrac{n}{x^n}\right|=|x|\dfrac{n}{n+1}\to|x|$, yang merupakan $<1$ ketika $|x|<1$, sehingga $R=1$. Menguji titik ujung, $x=-1$ memberikan deret harmonik berselang-seling yang konvergen dan $x=1$ deret harmonik yang divergen, sehingga intervalnya adalah $[-1,1)$.

10.14

Finding Taylor or Maclaurin Series for a Function · ⁨Mencari Deret Taylor atau Maclaurin untuk Suatu Fungsi⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.E: Represent a function as a Taylor series or a Maclaurin series. BC ONLY

LIM-8.E.1 A Taylor polynomial for $f(x)$ is a partial sum of the Taylor series for $f(x)$. BC ONLY

Learning Objective LIM-8.F: Interpret Taylor series and Maclaurin series. BC ONLY

LIM-8.F.1 The Maclaurin series for $\dfrac{1}{1-x}$ is a geometric series. BC ONLY
LIM-8.F.2 The Maclaurin series for $\sin x$, $\cos x$, and $e^x$ provides the foundation for constructing the Maclaurin series for other functions. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (LIM-8): Deret pangkat memungkinkan kita merepresentasikan fungsi terkait pada interval yang sesuai.

Tujuan Pembelajaran LIM-8.E: Nyatakan suatu fungsi sebagai deret Taylor atau deret Maclaurin. HANYA BC

LIM-8.E.1 Polinomial Taylor untuk $f(x)$ adalah jumlah parsial dari deret Taylor untuk $f(x)$. HANYA BC

Tujuan Pembelajaran LIM-8.F: Interpretasikan deret Taylor dan deret Maclaurin. HANYA BC

LIM-8.F.1 Deret Maclaurin untuk $\dfrac{1}{1-x}$ adalah deret geometri. HANYA BC
LIM-8.F.2 Deret Maclaurin untuk $\sin x$, $\cos x$, dan $e^x$ menyediakan fondasi untuk membangun deret Maclaurin bagi fungsi-fungsi lainnya. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Extending a Taylor polynomial to infinitely many terms gives a Taylor (or Maclaurin) series. Memorize the key Maclaurin series:

$$e^x=\sum\frac{x^n}{n!},\quad \sin x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad \frac{1}{1-x}=\sum x^n.$$

New series come from manipulating these – substituting, differentiating, integrating, or multiplying.

Worked example. Find the Maclaurin series for $e^{x^2}$. Substitute $x^2$ for $x$ in $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$:

$$e^{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^2)^n}{n!}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots,$$

which converges for all $x$. This substitution trick is far faster than differentiating $e^{x^2}$ six times.

Bahasa Indonesia

Memperluas polinomial Taylor hingga tak terhingga suku menghasilkan deret Taylor (atau Maclaurin). Hafalkan deret Maclaurin kunci:

$$e^x=\sum\frac{x^n}{n!},\quad \sin x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad \frac{1}{1-x}=\sum x^n.$$

Deret baru berasal dari manipulasi deret-deret ini – substitusi, diferensiasi, integrasi, atau perkalian.

Contoh terpecahkan. Temukan deret Maclaurin untuk $e^{x^2}$. Substitusikan $x^2$ untuk $x$ dalam $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$:

$$e^{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^2)^n}{n!}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots,$$

yang konvergen untuk semua $x$. Trik substitusi ini jauh lebih cepat daripada mendifferensiasikan $e^{x^2}$ enam kali.

Setiap suku Maclaurin tambahan menempel pada fungsi dalam rentang yang lebih luas

Explore · ⁨Jelajahi⁩

The function a Taylor series approximates · ⁨Fungsi yang didekati oleh deret Taylor⁩

y = asin(bx + c) + d

A Taylor series builds a function from its derivatives at a point; more terms hug the curve (here $\sin x$) over a wider range. · ⁨Deret Taylor membangun fungsi dari turunannya pada suatu titik; lebih banyak suku merangkul kurva (di sini $\sin x$) dalam rentang yang lebih luas.⁩

10.15

Representing Functions as Power Series · ⁨Merepresentasikan Fungsi sebagai Deret Pangkat⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.G: Represent a given function as a power series. BC ONLY

LIM-8.G.1 Using a known series, a power series for a given function can be derived using operations such as term-by-term differentiation or term-by-term integration, and by various methods (e.g., algebraic processes, substitutions, or using properties of geometric series). BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (LIM-8): Deret pangkat memungkinkan kita merepresentasikan fungsi terkait pada interval yang sesuai.

Tujuan Pembelajaran LIM-8.G: Nyatakan suatu fungsi yang diberikan sebagai deret pangkat. HANYA BC

LIM-8.G.1 Menggunakan deret yang diketahui, deret pangkat untuk suatu fungsi dapat diturunkan menggunakan operasi seperti diferensiasi per suku atau integrasi per suku, serta berbagai metode (misalnya, proses aljabar, substitusi, atau menggunakan sifat deret geometri). HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Because a power series can be differentiated and integrated term by term (within its radius), you can build new series from known ones – e.g. integrate the geometric series for $\dfrac{1}{1-x}$ to get the series for $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$, or substitute $-x^2$ to get the series for $\dfrac{1}{1+x^2}$. Representing a function as a power series lets you approximate values and integrals that have no elementary antiderivative.

Exam skill: the BC series free-response usually asks you to derive a new Maclaurin series from a known one, find its interval of convergence, and use the alternating-series or Lagrange bound to estimate the error – the capstone skills of the course.

Bahasa Indonesia

Karena deret pangkat dapat diferensiasikan dan diintegrasikan suku demi suku (dalam radiusnya), Anda dapat membangun deret baru dari yang sudah ada – mis., integralkan deret geometri untuk $\dfrac{1}{1-x}$ untuk mendapatkan deret untuk $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$, atau substitusikan $-x^2$ untuk mendapatkan deret untuk $\dfrac{1}{1+x^2}$. Merepresentasikan fungsi sebagai deret pangkat memungkinkan Anda mengaproksimasi nilai dan integral yang tidak memiliki antiturunan elementer.

Keterampilan ujian: soal respons bebas BC biasanya meminta Anda untuk menurunkan deret Maclaurin baru dari yang sudah dikenal, menemukan interval konvergensinya, dan menggunakan batas deret berselang-seling atau Lagrange untuk memperkirakan kesalahan – keterampilan puncak dari mata kuliah ini.

10.15

Exam tips · ⁨Tips ujian⁩

English

Test a series for convergence with the right tool: geometric ($|r|<1$, sum $\tfrac{a}{1-r}$), $n$th-term, ratio, integral, comparison, or alternating-series test.
A geometric infinite sum converges only when $|r|<1$; otherwise it diverges.
Build a Taylor/Maclaurin series to approximate a function; more terms give a better fit near the centre.
Know the standard Maclaurin series for $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, and $\tfrac{1}{1-x}$.
Find the radius/interval of convergence with the ratio test, then check the endpoints separately.

Bahasa Indonesia

Uji serangkaian untuk konvergensi dengan alat yang tepat: geometris ($|r|<1$, jumlah $\tfrac{a}{1-r}$), uji suku ke-$n$, rasio, integral, perbandingan, atau uji seri bergantian.
Jumlah geometris tak hingga hanya konvergen ketika $|r|<1$; jika tidak, maka divergen.
Bangun deret Taylor/Maclaurin untuk mengaproksimasi suatu fungsi; semakin banyak suku akan memberikan kecocokan yang lebih baik di sekitar pusat.
Hafal deret Maclaurin standar untuk $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, dan $\tfrac{1}{1-x}$.
Temukan jari-jari/interval konvergensi dengan uji rasio, lalu periksa titik-titik ujung secara terpisah.

Interactive lessons on this topic · ⁨Pelajaran interaktif untuk topik ini⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.⁩

Past Papers · ⁨Soal-Soil Masa Lalu⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩ · ⁨Topik lain dalam AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩⁩