Applications of Integration · ⁨Aplikasi Integral⁩

AP Calculus AB · ⁨AP Kalkulus AB⁩ · Topic 8 · ⁨Topik 8⁩

View Slides · ⁨Lihat Salindia⁩ Train · ⁨Latih⁩

Video lesson for this topic · ⁨Pelajaran video untuk topik ini⁩ Open the video page · ⁨Buka halaman video⁩

8.1

Average Value of a Function · ⁨Nilai Rata-rata Fungsi⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.B: Determine the average value of a function using definite integrals.

CHA-4.B.1 The average value of a continuous function $f$ over an interval $[a, b]$ is $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (CHA-4): Integral tentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan dalam suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-4.B: Tentukan nilai rata-rata fungsi menggunakan integral tertentu.

CHA-4.B.1 Nilai rata-rata dari fungsi kontinu $f$ atas interval $[a, b]$ adalah $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The average value 平均值 of a continuous function $f$ over $[a,b]$ is the integral divided by the interval length:

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

It is the constant height of a rectangle on $[a,b]$ with the same area as under $f$. Do not confuse it with the average rate of change (which divides change in $f$ by the interval), or with a Riemann-sum average of a few values – the exam distinguishes these carefully. Report units in context (e.g. the average rate "in vehicles per hour").

Worked example. The average value of $f(x)=x^2$ on $[0,3]$ is

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

Bahasa Indonesia

Nilai rata-rata dari fungsi kontinu $f$ pada $[a,b]$ adalah integral dibagi dengan panjang interval:

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

Ini adalah tinggi konstan dari sebuah persegi panjang pada $[a,b]$ dengan luas yang sama di bawah $f$. Jangan bingung dengan laju perubahan rata-rata (yang membagi perubahan $f$ dengan interval), atau dengan rata-rata penjumlahan Riemann dari beberapa nilai – ujian membedakan hal-hal ini dengan hati-hati. Laporkan satuan dalam konteks (misalnya laju rata-rata "dalam kendaraan per jam").

Contoh terpecahkan. Nilai rata-rata dari $f(x)=x^2$ pada $[0,3]$ adalah

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

Explore · ⁨Jelajahi⁩

The average value of a function · ⁨Nilai rata-rata dari sebuah fungsi⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The average value of $f$ on $[a,b]$ is its integral divided by the width — the constant height whose rectangle has the same area as under the curve. · ⁨Nilai rata-rata dari $f$ pada $[a,b]$ adalah integralnya dibagi dengan lebar — tinggi konstan yang persegi panjangnya memiliki luas yang sama di bawah kurva.⁩

8.2

Position, Velocity, and Acceleration Using Integrals · ⁨Posisi, Kecepatan, dan Percepatan Menggunakan Integral⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.C: Determine values for positions and rates of change using definite integrals in problems involving rectilinear motion.

CHA-4.C.1 For a particle in rectilinear motion over an interval of time, the definite integral of velocity represents the particle's displacement over the interval of time, and the definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (CHA-4): Integral tentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan dalam suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-4.C: Menentukan nilai posisi dan laju perubahan menggunakan integral tentu dalam masalah yang melibatkan gerak lurus.

CHA-4.C.1 Untuk partikel dalam gerak lurus pada suatu selang waktu, integral tentu dari kecepatan merepresentasikan perpindahan partikel selama selang waktu tersebut, dan integral tentu dari kelajuan merepresentasikan jarak total yang ditempuh partikel selama selang waktu tersebut.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Integration reverses the motion links of Unit 4. For a particle in straight-line motion over $[t_1,t_2]$:

Displacement 位移 (net change in position) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
Total distance travelled 总路程 $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – integrate speed, so direction changes add up instead of cancelling.
Position at a later time $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$; velocity from acceleration $= v(t_1)+\int a$.

The displacement-versus-distance distinction (with the absolute value) is a classic graded point.

Bahasa Indonesia

Integrasi membalikkan hubungan gerak dari Unit 4. Untuk partikel dalam gerak garis lurus selama $[t_1,t_2]$:

Pergeseran (perubahan posisi bersih) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
Jarak tempuh total $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – integralkan kecepatan, sehingga perubahan arah menambah alih-alih saling meniadakan.
Posisi pada waktu kemudian $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$; kecepatan dari percepatan $= v(t_1)+\int a$.

Pembedaan antara pergeseran dan jarak (dengan nilai mutlak) adalah poin penilaian klasik.

8.3

Accumulation Functions and Definite Integrals in Applied Contexts · ⁨Fungsi Akumulasi dan Integral Tentu dalam Konteks Terapan⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.D: Interpret the meaning of a definite integral in accumulation problems.

CHA-4.D.1 A function defined as an integral represents an accumulation of a rate of change.
CHA-4.D.2 The definite integral of the rate of change of a quantity over an interval gives the net change of that quantity over that interval.

Learning Objective CHA-4.E: Determine net change using definite integrals in applied contexts.

CHA-4.E.1 The definite integral can be used to express information about accumulation and net change in many applied contexts.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (CHA-4): Integral tentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan dalam suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-4.D: Mengartikan makna integral tentu dalam masalah akumulasi.

CHA-4.D.1 Sebuah fungsi yang didefinisikan sebagai integral merepresentasikan akumulasi dari laju perubahan.
CHA-4.D.2 Integral tentu dari laju perubahan suatu besaran pada suatu selang memberikan perubahan bersih dari besaran tersebut selama selang itu.

Tujuan Pembelajaran CHA-4.E: Menentukan perubahan bersih menggunakan integral tentu dalam konteks terapan.

CHA-4.E.1 Integral tentu dapat digunakan untuk mengekspresikan informasi tentang akumulasi dan perubahan bersih dalam banyak konteks terapan.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A function defined as an integral accumulates a rate of change. The net change 净变化 theorem is the everyday tool: the definite integral of a rate over an interval gives the net change of the quantity:

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

So "how much water is in the tank at $t=5$" = starting amount + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. Watch signs (in minus out) and units. Many multi-part FRQs are built entirely on this idea – often paired with "write, but do not evaluate, an integral expression that gives the total...".

Bahasa Indonesia

Fungsi yang didefinisikan sebagai integral mengakumulasikan laju perubahan. Teorema perubahan bersih adalah alat sehari-hari: integral tentu dari suatu laju selama interval memberikan perubahan bersih dari kuantitas tersebut:

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

Jadi "berapa banyak air yang ada di tangki pada $t=5$" = jumlah awal + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. Perhatikan tanda (masuk dikurangi keluar) dan satuan. Banyak soal FRQ multi-bagian dibangun sepenuhnya atas ide ini – sering dikombinasikan dengan "tuliskan, tetapi jangan evaluasi, ekspresi integral yang memberikan total..."

8.4

Finding the Area Between Curves (Functions of x) · ⁨Menemukan Luas Antara Kurva (Fungsi x)⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.1 Areas of regions in the plane can be calculated with definite integrals.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.A: Menghitung luas di bidang datar menggunakan integral tentu.

CHA-5.A.1 Luas daerah di bidang datar dapat dihitung dengan integral tentu.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The area between two curves $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) on $[a,b]$ is:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

Find the intersection points first to set the limits, and always subtract bottom from top.

Worked example. Find the area between $y=x$ and $y=x^2$. They cross at $x=0$ and $x=1$, and on $(0,1)$ the line $y=x$ is on top, so

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

Bahasa Indonesia

Luas antara dua kurva $y=f(x)$ (atas) dan $y=g(x)$ (bawah) pada $[a,b]$ adalah:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

Temukan titik potong terlebih dahulu untuk menetapkan batas, dan selalu kurangi bawah dari atas.

Contoh terpecahkan. Temukan luas antara $y=x$ dan $y=x^2$. Mereka berpotongan di $x=0$ dan $x=1$, dan pada $(0,1)$ garis $y=x$ berada di atas, jadi

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

Luas antara dua kurva adalah integral dari atas dikurangi bawah — Daerah arsiran berjalan dari satu titik potong $a$ ke titik potong berikutnya $b$; luasnya adalah $\int_a^b(\text{top}-\text{bottom})\,dx$.

8.5

Finding the Area Between Curves (Functions of y) · ⁨Menemukan Luas Antara Kurva (Fungsi y)⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.2 Areas of regions in the plane can be calculated using functions of either $x$ or $y$.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.A: Menghitung luas di bidang datar menggunakan integral tentu.

CHA-5.A.2 Luas daerah di bidang datar dapat dihitung menggunakan fungsi dari $x$ atau $y$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Some regions are easier described with horizontal slices – integrate with respect to $y$:

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

Choose $x$- or $y$-slices to keep a single top/bottom (or right/left) pair over the whole region.

Bahasa Indonesia

Beberapa daerah lebih mudah dijelaskan dengan irisan horizontal – integrasikan terhadap $y$:

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

Pilih irisan $x$- atau $y$-agar tetap memiliki pasangan atas/bawah (atau kanan/kiri) tunggal di seluruh daerah.

8.6

Area Between Curves With More Than Two Intersections · ⁨Luas Antara Kurva Dengan Lebih Dari Dua Titik Potong⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.3 Areas of certain regions in the plane may be calculated using a sum of two or more definite integrals or by evaluating a definite integral of the absolute value of the difference of two functions.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.A: Menghitung luas di bidang datar menggunakan integral tentu.

CHA-5.A.3 Luas daerah tertentu di bidang datar dapat dihitung menggunakan jumlah dua atau lebih integral tentu atau dengan mengevaluasi integral tentu dari nilai mutlak selisih dua fungsi.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

If the curves cross more than twice, one function is on top for part of the region and the other on top elsewhere. Split into a sum of integrals at each crossing, or integrate the absolute value of the difference:

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

Determine which curve is higher on each subinterval before writing the integrals.

Bahasa Indonesia

Jika kurva berpotongan lebih dari dua kali, satu fungsi berada di atas untuk sebagian daerah dan fungsi lainnya di atas di tempat lain. Pecah menjadi jumlah integral di setiap persimpangan, atau integralkan nilai mutlak dari selisih:

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

Tentukan kurva mana yang lebih tinggi pada setiap subinterval sebelum menulis integral.

8.7

Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles · ⁨Volume dengan Penampang Melintang: Segiempat dan Persegi Panjang⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.1 Volumes of solids with square and rectangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.B: Menghitung volume benda padatan dengan penampang melintang yang diketahui menggunakan integral tentu.

CHA-5.B.1 Volume benda padatan dengan penampang melintang persegi dan persegi panjang dapat ditemukan menggunakan integral tentu dan rumus luas untuk bentuk-bentuk ini.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

If a solid has a known cross section 横截面 perpendicular to an axis, its volume is the integral of the cross-sectional area:

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

For square cross sections with side equal to the region's height $s(x)=f(x)-g(x)$, use $A(x)=[s(x)]^2$; for a rectangle of height $k\cdot s(x)$, use $A(x)=k\,[s(x)]^2$. The exam phrase "the base of a solid... cross sections are squares/rectangles" signals exactly this.

Bahasa Indonesia

Seorang pembuat gerabah membentuk wadah: benda putar adalah volume yang terbentuk dengan memutar daerah bidang datar

Jika suatu benda padat memiliki penampang melintang yang diketahui tegak lurus terhadap sumbu, volumenya adalah integral dari luas penampang melintang tersebut:

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

Untuk potongan melintang persegi dengan sisi sama dengan tinggi wilayah $s(x)=f(x)-g(x)$, gunakan $A(x)=[s(x)]^2$; untuk persegi panjang dengan tinggi $k\cdot s(x)$, gunakan $A(x)=k\,[s(x)]^2$. Frasa ujian "basis dari sebuah solid... potongan melintangnya adalah persegi/persegi panjang" menandakan hal ini secara spesifik.

8.8

Volumes with Cross Sections: Triangles and Semicircles · ⁨Volume dengan Potongan Melintang: Segitiga dan Semicircle⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.2 Volumes of solids with triangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
CHA-5.B.3 Volumes of solids with semicircular and other geometrically defined cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
- Illustrative examples for CHA-5.B.3:
  - The volume of a funnel whose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - The volume of a solid whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.B: Menghitung volume benda padatan dengan penampang melintang yang diketahui menggunakan integral tentu.

CHA-5.B.2 Volume benda padatan dengan penampang melintang segitiga dapat ditemukan menggunakan integral tentu dan rumus luas untuk bentuk-bentuk ini.
CHA-5.B.3 Volume benda padatan dengan penampang melintang setengah lingkaran dan bentuk geometris lainnya dapat ditemukan menggunakan integral tentu dan rumus luas untuk bentuk-bentuk ini.
- Contoh ilustratif untuk CHA-5.B.3:
  - Volume corong yang penampang melintangnya berupa lingkaran dapat ditemukan menggunakan rumus luas lingkaran dan integral tentu (lihat Soal Ujian AB 2016 FRQ #5(b)).
  - Volume benda padatan yang luas penampang melintangnya didefinisikan menggunakan fungsi dapat ditemukan menggunakan fungsi luas yang diketahui dan integral tentu (lihat Soal Ujian AB 2009 FRQ #4(c)).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Same method, different area formula: for an equilateral triangle 三角形 of side $s$, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; for a semicircle 半圆 of diameter $s$, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. Set the shape's key length equal to the region's slice length $s(x)$, then integrate $A(x)$.

Bahasa Indonesia

Metode yang sama, rumus luas berbeda: untuk segitiga beraturan dengan sisi $s$, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; untuk semicircle dengan diameter $s$, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. Samakan panjang kunci bentuk tersebut dengan panjang irisan wilayah $s(x)$, lalu integralkan $A(x)$.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	nilai rata-rata
Displacement/dɪˈspleɪsmənt/	Penggantian
Total distance travelled/ˈtəʊtl ˈdɪstəns ˈtrævld/	Total jarak tempuh
net change/net tʃeɪndʒ/	perubahan bersih
cross section/krɒs ˈsekʃn/	potongan melintang
triangle/ˈtraɪæŋɡl/	segitiga
semicircle/ˈsemɪsɜːkl/	setengah lingkaran

8.9

Volume with the Disc Method (About the x- or y-Axis) · ⁨Volume dengan Metode cakram (Sumbu x atau y)⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.1 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis may be found by using definite integrals with the disc method.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.C: Hitung volume benda hasil revolusi menggunakan integral tertentu.

CHA-5.C.1 Volume benda putar memutar sekitar sumbu $x$ atau sumbu $y$ dapat ditemukan menggunakan integral tentu dengan metode cakram.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Solids of revolution: the disc method

Revolving a region around an axis makes a solid of revolution 旋转体. If the region touches the axis, each slice is a disc 圆盘 of radius $r$ = the function value:

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

Around the $x$-axis, $r=f(x)$ and integrate in $x$; around the $y$-axis, express $x$ as a function of $y$ and integrate in $y$.

Worked example. Revolve the region under $y=\sqrt{x}$ from $x=0$ to $x=4$ about the $x$-axis. Each disc has radius $r=\sqrt{x}$, so

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

Bahasa Indonesia

Benda putar: metode cakram

Memutar wilayah di sekitar sumbu menghasilkan benda putar. Jika wilayah menyentuh sumbu, setiap irisan adalah cakram dengan jari-jari $r$ = nilai fungsi:

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

Di sekitar sumbu $x$, $r=f(x)$ dan integrasikan dalam $x$; di sekitar sumbu $y$, nyatakan $x$ sebagai fungsi dari $y$ dan integrasikan dalam $y$.

Metode cakram: memutar y=f(x) tentang sumbu menghasilkan cakram dengan jari-jari f(x) — Metode cakram: memutar y=f(x) di sekitar sumbu menyapu piringan berjari-jari f(x)

Contoh terpecahkan. Putar wilayah di bawah $y=\sqrt{x}$ dari $x=0$ hingga $x=4$ di sekitar sumbu $x$. Setiap cakram memiliki jari-jari $r=\sqrt{x}$, sehingga

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

Memutar daerah tentang sumbu menghasilkan benda putar — Memutar wilayah di sekitar sumbu menyapu benda putar

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
solid of revolution/ˈsɒlɪd ɒv ˌrevəˈluːʃn/	benda putar
disc/dɪsk/	cakram

8.10

Volume with the Disc Method (About Other Axes) · ⁨Volume dengan Metode Cakram (Sumbu Lain)⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.2 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line in the plane may be found by using definite integrals with the disc method.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.C: Hitung volume benda hasil revolusi menggunakan integral tertentu.

CHA-5.C.2 Volume benda hasil revolusi di sekitar garis horizontal atau vertikal apa pun di bidang dapat ditemukan dengan menggunakan integral tertentu dengan metode cakram.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Around any horizontal or vertical line $y=k$ or $x=k$, the radius is the distance from the curve to that line, e.g. $r(x)=|f(x)-k|$. Set up the radius carefully, then use $V=\pi\int r^2$.

Bahasa Indonesia

Di sekitar garis horizontal atau vertikal apa pun $y=k$ atau $x=k$, jari-jari adalah jarak dari kurva ke garis tersebut, mis. $r(x)=|f(x)-k|$. Tetapkan jari-jari dengan hati-hati, lalu gunakan $V=\pi\int r^2$.

8.11 8.12

Volume with the Washer Method · ⁨Volume dengan Metode Washer (Cincin)⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.3 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.C: Hitung volume benda hasil revolusi menggunakan integral tertentu.

CHA-5.C.3 Volume benda hasil revolusi di sekitar sumbu $x$ atau $y$ yang penampangnya berbentuk cincin dapat ditemukan menggunakan integral tertentu dengan metode washer.

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.4 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-5.C: Hitung volume benda hasil revolusi menggunakan integral tertentu.

CHA-5.C.4 Volume benda hasil revolusi di sekitar garis horizontal atau vertikal mana pun yang penampangnya berbentuk cincin dapat ditemukan menggunakan integral tertentu dengan metode washer.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Volume by the washer method

When the region does not touch the axis, each slice is a washer 垫圈 (a ring) with an outer radius $R$ and inner radius $r$:

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$ is the distance from the axis to the farther boundary and $r$ to the nearer one. Around a line other than an axis, both radii are measured as distances to that line – a very common exam variation (e.g. revolving about $y=-2$).

Bahasa Indonesia

Volume dengan metode washer

Ketika wilayah tidak menyentuh sumbu, setiap irisan adalah washer (cincin) dengan jari-jari luar $R$ dan jari-jari dalam $r$:

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$ adalah jarak dari sumbu ke batas lebih jauh dan $r$ ke batas lebih dekat. Di sekitar garis selain sumbu, kedua jari-jari diukur sebagai jarak ke garis tersebut – variasi ujian yang sangat umum (mis. memutar di sekitar $y=-2$).

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
washer/ˈwɒʃə/	cincin

8.11 8.12

Exam tips · ⁨Tips ujian⁩

English

Area between curves is $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — find the intersection points for the limits and keep top minus bottom.
For a volume of revolution, add up disc/washer cross-sections of area $\pi r^2$ (or $\pi(R^2-r^2)$).
The average value of $f$ on $[a,b]$ is $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Accumulated change is $\int$ of a rate: total = initial value $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integration means "adding up infinitely many tiny pieces" — set up the integrand as one thin slice.

Bahasa Indonesia

Luas antara kurva adalah $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — temukan titik potong untuk batas dan tetap gunakan atas dikurangi bawah.
Untuk volume benda putar, jumlahkan potongan melintang cakram/washer dengan luas $\pi r^2$ (atau $\pi(R^2-r^2)$).
Nilai rata-rata dari $f$ pada $[a,b]$ adalah $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Perubahan terkumulasi adalah $\int$ dari laju: total = nilai awal $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integrasi berarti "menjumlahkan banyak sekali bagian kecil" – tetapkan integran sebagai satu irisan tipis.

Interactive lessons on this topic · ⁨Pelajaran interaktif untuk topik ini⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.⁩

Past Papers · ⁨Soal-Soil Masa Lalu⁩

More topics in AP Calculus AB · ⁨AP Kalkulus AB⁩ · ⁨Topik lain dalam AP Calculus AB · ⁨AP Kalkulus AB⁩⁩