Usaha, energi dan daya

Usaha oleh gaya

Usaha dilakukan ketika sebuah gaya menggeser titik tangkapnya sepanjang garis kerja gayanya. Untuk definisi bernilai satu poin, tuliskan: usaha adalah hasil kali gaya dan jarak yang ditempuh searah dengan gaya. Usaha yang dilakukan oleh gaya konstan $F$ yang menyebabkan perpindahan $s$ adalah

di mana $\theta$ adalah sudut antara gaya dan perpindahan. Hanya komponen gaya yang sejajar dengan perpindahan yang melakukan usaha.

Contoh terlatih. Seorang anak menarik sled $5.0\ \text{m}$ melintasi salju dengan tali, menggunakan gaya sebesar $20\ \text{N}$ pada sudut $60°$ terhadap tanah. Hitunglah usaha yang dilakukan oleh tali tersebut.

Satuan: $\text{J} = \text{N m}$. Usaha adalah besaran skalar.

Kasus khusus:

• gaya dalam arah yang sama dengan gerak ($\theta = 0$): $W = Fs$, usaha positif, energi diberikan kepada benda.
• gaya tegak lurus terhadap gerak ($\theta = 90°$): $W = 0$. Gaya kontak normal pada mobil di jalan datar tidak melakukan usaha.
• gaya berlawanan arah dengan gerak ($\theta = 180°$): $W = -Fs$, usaha negatif, energi diambil dari benda (contohnya gesekan).

Untuk benda bergerak menaiki lereng dengan sudut $\alpha$ terhadap horizontal, usaha melawan gravitasi saat naik setinggi $h$ adalah $mgh$, sedangkan usaha dari dorongan horizontal sepanjang panjang lereng $L$ menggunakan $\cos\alpha$.

Dua uji pilihan ganda mengenai definisi: tidak ada usaha yang dilakukan pada benda yang meluncur dengan kecepatan konstan di atas permukaan tanpa gesekan (tidak ada gaya searah gerak), atau pada benda yang sekadar dipegang diam (tidak ada jarak yang ditempuh); usaha dilakukan ketika gaya mengangkatnya. Dan ketika kotak didorong dengan kecepatan konstan melintasi lantai kasar, usaha yang dilakukan oleh dorongan adalah $F \times d$ untuk seluruh jarak, terlepas dari bagaimana lintasan dibagi menjadi tahap-tahap.

Contoh terlatih. Sebuah balok bermassa $4.9\ \text{kg}$ didorong dengan kecepatan konstan menaiki lereng kasar sepanjang $8.0\ \text{m}$ yang memiliki ketinggian vertikal $1.5\ \text{m}$, dengan gaya sebesar $12\ \text{N}$ yang bekerja sepanjang lereng. Hitunglah usaha yang dilakukan melawan gesekan.

Kecepatan konstan berarti tidak ada perubahan energi kinetik, sehingga usaha dari dorongan terbagi antara peningkatan energi potensial gravitasi dan usaha yang dilakukan melawan gesekan. Usaha oleh dorongan: $12 \times 8.0 = 96\ \text{J}$. Peningkatan GPE, menggunakan kenaikan vertikal: $4.9 \times 9.81 \times 1.5 = 72\ \text{J}$. Jadi usaha yang dilakukan melawan gesekan adalah $96 - 72 = 24\ \text{J}$, dan gaya gesek adalah $24 / 8.0 = 3.0\ \text{N}$. Menggunakan panjang lereng dalam $mgh$ adalah kesalahan paling umum pada soal ini.

Kekekalan energi

Energi tidak pernah diciptakan atau dimusnahkan — ia hanya berubah dari satu bentuk ke bentuk lain, atau berpindah dari satu benda ke benda lain. Dalam sistem tertutup, total energi tetap konstan. Ini adalah kekekalan energi, dinyatakan untuk nilai poin sebagai: energi tidak dapat diciptakan atau dimusnahkan; ia hanya dapat ditransfer dari satu bentuk ke bentuk lain (sehingga total energi sistem tertutup adalah konstan).

Saat Anda menulis persamaan energi, daftar setiap bentuk energi mulai dari dan berakhir pada. Bentuk-bentuk umum dalam silabus ini: kinetik, potensial gravitasi, energi potensial elastis, listrik, termal, bunyi, energi kimia.

Bola yang bergulir menuruni ramp tanpa gesekan mengubah energi potensial gravitasi menjadi energi kinetik: $mgh = \tfrac{1}{2} m v^{2}$, sehingga $v = \sqrt{2gh}$. Dengan adanya gesekan, sebagian energi ini menjadi energi termal ramp dan udara.

Contoh terlatih. Sebuah bola dilepas dari keadaan diam di puncak ramp licin $1.2\ \text{m}$ tingginya. Hitunglah kecepatannya di bagian bawah (ambil $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

Semua energi potensial gravitasi berubah menjadi energi kinetik, sehingga $v = \sqrt{2gh}$ (massa saling menghilangkan):

Ide yang sama dapat dibaca melalui grafik. Untuk bola jatuh dari ketinggian $H$ dengan hambatan udara diabaikan, GPE turun secara linear terhadap ketinggian ($mgh$), KE naik secara linear ($mg(H - h)$), dan keduanya menjumlahkan ke nilai konstan $mgH$ pada setiap ketinggian.

Rantai energi dapat melewati pegas. Sebuah balok yang menabrak pegas dengan energi kinetik $110\ \text{J}$ sambil meluncur sedikit ke bawah, sehingga GPE-nya turun sebesar $20\ \text{J}$ lebih lanjut sebelum pegas menghentikannya, menyimpan $110 + 20 = 130\ \text{J}$ energi potensial elastis pada kompresi terbesar, jika tidak ada energi yang hilang karena gesekan. Grafik gaya–kompresi pegas kemudian memberikan kompresi: energi yang tersimpan adalah luas di bawah garis tersebut, $\tfrac{1}{2} F_{0} x_{0}$ untuk pegas yang mematuhi Hukum Hooke (topik 6), sehingga gaya maksimum $2600\ \text{N}$ berarti $x_{0} = 2 \times 130 / 2600 = 0.10\ \text{m}$. Pada saat itu, resultan gaya pada balok adalah gaya pegas dikurangi komponen berat sepanjang kemiringan, dan percepatannya mengikuti $F = ma$ (topik 3).

Efisiensi

Efisiensi suatu sistem adalah

Konsep yang sama dengan daya:

Efisiensi selalu kurang dari 100% dalam sistem nyata, karena sebagian energi masukan berubah menjadi bentuk "tidak berguna" — biasanya energi termal. Jika total energi $E$ disuplai dan jumlah $Q$ terbuang, output yang berguna adalah $E - Q$ dan efisiensinya adalah $(E - Q) / E$; sebuah motor dengan rating masukan $1.7\ \text{kW}$ dan efisiensi $53\%$ menghasilkan output yang berguna $0.53 \times 1.7 = 0.90\ \text{kW}$.

Untuk motor listrik yang mengangkat beban dengan efisiensi $\eta$ pada tegangan $V$ dan arus $I$, daya output yang berguna adalah $\eta V I$. Dari sini Anda dapat menemukan gaya, kecepatan angkat, atau tegangan tali.

Contoh terpecahkan. Motor listrik mengangkat beban $50\ \text{kg}$ dengan kecepatan konstan $0.40\ \text{m s}^{-1}$ sementara menyerap daya listrik $250\ \text{W}$. Tentukan efisiensinya (gunakan $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

Daya output yang berguna adalah $P = mgv = 50 \times 9.81 \times 0.40 = 196\ \text{W}$, sehingga

Contoh terpecahkan. Motor mengangkat balok dengan gaya $240\ \text{N}$ melalui jarak vertikal $12\ \text{m}$ dalam waktu $60\ \text{s}$. Daya masukan ke motor adalah $900\ \text{W}$. Tentukan daya output yang berguna dan efisiensinya.

Usaha yang dilakukan pada balok: $W = Fd = 240 \times 12 = 2880\ \text{J}$. Daya output yang berguna: $P = W / t = 2880 / 60 = 48\ \text{W}$. Efisiensi: $48 / 900 \times 100\% = 5.3\%$. Sebagian besar masukan masuk ke energi termal di dalam motor dan kabelnya. Dibalik, motor lift dengan output berguna $20\ \text{kW}$ yang mengangkat $1500\ \text{kg}$ melalui $20\ \text{m}$ membutuhkan $t = mgh / P = 1500 \times 9.81 \times 20 / 20\,000 = 15\ \text{s}$.

Daya adalah laju melakukan usaha, atau laju mentransfer energi:

Unit: $\text{W} = \text{J s}^{-1}$. Daya adalah besaran skalar.

Daya, gaya, dan kecepatan

Untuk benda yang bergerak dengan kecepatan $v$ dengan gaya $F$ searah arah gerak, dalam waktu singkat $\Delta t$ perpindahannya adalah $v\,\Delta t$ dan usaha yang dilakukan adalah $F v\,\Delta t$. Dibagi dengan $\Delta t$:

Ini adalah salah satu hasil paling berguna dalam mekanika. Jawaban "turunkan $P = Fv$" memerlukan tepat tiga baris tersebut: $P = W / t$, $W = Fs$ untuk gaya searah gerak, dan $s / t = v$; lalu gunakan untuk menyelesaikan masalah di mana kendaraan atau beban bergerak dengan kecepatan konstan.

Contoh terpecahkan. Mobil berjalan dengan kecepatan konstan $25\ \text{m s}^{-1}$ melawan total gaya hambat $600\ \text{N}$. Tentukan daya output mesinnya.

Pada kecepatan konstan, gaya penggerak sama dengan gaya hambat, sehingga

• Untuk mobil dengan kecepatan konstan $v$ di jalan datar, daya mesin harus menyeimbangkan total gaya hambat: $P = F_{\text{resist}} \cdot v$. Jika hambatan udara meningkat seiring dengan $v^{2}$, menggandakan kecepatan kira-kira menggandakan empat kali lipat daya yang dibutuhkan.
• Untuk mengangkat berat $mg$ lurus ke atas dengan kecepatan konstan $v$, daya output yang berguna adalah $P = mg \cdot v$.
• Untuk pesawat terbang melayang pada ketinggian tetap, gaya angkat sama dengan berat, dan daya besar diperlukan karena udara harus didorong ke bawah terus-menerus.
• K crane mengangkat $600\ \text{kg}$ dengan kecepatan konstan $12\ \text{m}$ per menit mengangkat pada $v = 0.20\ \text{m s}^{-1}$, sehingga daya output yang berguna adalah $mgv = 600 \times 9.81 \times 0.20 = 1.2\ \text{kW}$. Ubah kecepatan ke $\text{m s}^{-1}$ terlebih dahulu.
• Perahu layar yang didorong oleh angin dengan gaya konstan pada kecepatan konstan juga harus mengalami gaya hambat yang sama dari air: kecepatan konstan berarti resultan gaya nol, sehingga daya angin $Fv$ semuanya digunakan untuk melakukan usaha melawan air.

*Pembangkit hidrolistrik dinilai dalam megawatt: energi air yang disimpan, dibagi dengan waktu yang dibutuhkan untuk melepaskannya

*Pertukaran energi dalam bandul

Dalam medan gravitasi seragam (dekat permukaan planet), perubahan energi potensial gravitasi dari massa $m$ naik atau turun melalui ketinggian $\Delta h$ adalah

Asalnya dari mana

Usaha yang dilakukan melawan gravitasi untuk menaikkan massa $m$ perlahan (tanpa perubahan energi kinetik) melalui ketinggian $\Delta h$ sama dengan energi potensial gravitasi yang diperoleh:

• gaya gravitasi pada massa adalah $mg$ ke bawah,
• gaya yang diperlukan untuk mengangkatnya perlahan adalah $mg$ ke atas,
• usaha yang dilakukan oleh gaya ini adalah $W = F \cdot s = mg \cdot \Delta h$,
• usaha ini menjadi $\Delta E_{\text{P}}$.

Jadi $\Delta E_{\text{P}} = mg \Delta h$. Untuk menggunakannya, Anda perlu $m$ dan $\Delta h$ (dan $g$). Anda tidak perlu kecepatan atau waktu. Penurunan nilai dua poin menginginkan empat baris yang sama itu, dengan kondisi yang dinyatakan: balok diangkat dengan kecepatan konstan, sehingga gaya angkat sama dengan berat $mg$, dan usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut selama jarak vertikal $\Delta h$ adalah $mg\Delta h$, yang merupakan peningkatan energi potensial gravitasi. Benda $100\ \text{g}$ yang jatuh $10\ \text{m}$ kehilangan $0.100 \times 9.81 \times 10 = 9.8\ \text{J}$, sekitar $10\ \text{J}$; massa harus dalam kilogram.

Energi kinetik dari benda bermassa $m$ bergerak dengan kecepatan $v$ adalah

Asalnya dari mana

Terapkan resultan gaya $F$ pada massa $m$ yang dimulai dari keadaan diam. Benda melaju merata dari $0$ ke $v$ selama perpindahan $s$. Dari $v^{2} = u^{2} + 2as$ dengan $u = 0$,

Usaha yang dilakukan pada massa tersebut adalah

Semua usaha ini menjadi energi kinetik, jadi $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$. Dalam ujian, nyatakan asumsi saat Anda berjalan: benda dimulai dari keadaan diam, gayanya konstan, sehingga percepatannya seragam, dan $F = ma$ adalah hukum kedua Newton.

Karena $E_{\text{K}} \propto v^{2}$, menggandakan empat kali kecepatan mengalikan energi kinetik dengan enam belas: benda dengan $1500\ \text{J}$ pada $10\ \text{m s}^{-1}$ memiliki $24\,000\ \text{J}$ pada $40\ \text{m s}^{-1}$. Kuadrat yang sama inilah alasan mengapa gaya pengereman ditemukan dari energi: bola bermassa $1.2\ \text{kg}$ bergerak pada $3.0\ \text{m s}^{-1}$ yang dihentikan oleh bantal di $0.020\ \text{m}$ kehilangan $\tfrac{1}{2} \times 1.2 \times 3.0^{2} = 5.4\ \text{J}$, sehingga gaya rata-rata pada bola adalah $5.4 / 0.020 = 270\ \text{N}$: usaha yang dilakukan bantal sama dengan energi kinetik yang hilang.

Energi kinetik dan momentum

Menggabungkan $p = mv$ dan $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$:

Ini berguna ketika momentum diberikan tetapi tidak kecepatannya. Untuk perubahan momentum dari $p_{1}$ ke $p_{2}$ pada massa konstan, perubahan energi kinetik adalah $(p_{2}^{2} - p_{1}^{2}) / (2m)$.

Rencana berguna untuk masalah yang mencampurkan gaya dan energi:

1. Temukan keadaan awal dan akhir. Tulis energi kinetik dan potensial dalam masing-masing.
2. Daftarkan semua usaha yang dilakukan oleh gaya luar (gesekan, dorongan). Gesekan biasanya mengeluarkan energi; dorongan dapat menambahkannya.
3. Kekekalan energi: $E_{\text{start}} + W_{\text{in}} = E_{\text{end}} + W_{\text{lost as heat etc.}}$.

Contoh-contoh:

• Kotak didorong dengan kecepatan konstan naik ramp sepanjang $L$ yang naik setinggi $h$: $E_{\text{K}}$ tidak berubah, sehingga usaha oleh dorongan masuk ke $\Delta E_{\text{P}}$ ditambah usaha melawan gesekan.
• Balok meluncur ke dalam pegas dengan energi kinetik $E_{\text{K}}$ pada permukaan tanpa gesekan: pada kompresi maksimum $x$, seluruh energi kinetik telah menjadi energi potensial elastis $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ (di mana $k$ adalah konstanta pegas).
• Bola dijatuhkan dari ketinggian $h_{1}$ yang memantul ke ketinggian $h_{2}$: rasio $h_{2}/h_{1}$ adalah fraksi energi mekanik yang tersisa, $h_{2}/h_{1} = (v_{\text{up}}/v_{\text{down}})^{2}$.
• Proyektil dilempar ke ketinggian yang sama pada sudut berbeda: kecepatan akhirnya sama (hanya ketinggian yang penting); gunakan komponen untuk mendapatkan arahnya.
• Penyelam bungee: dari platform hingga titik di mana tali tegang, GPE menjadi KE; dari sana tali meregang dan mengambil energi sebagai energi potensial elastis, sehingga KE mencapai maksimumnya di mana tarikan tali pertama kali sama dengan berat, kemudian turun ke nol di titik terendah, di mana GPE hilang $=$ elastis PE disimpan (ditambah energi termal apa pun).

Soal definisi dinilai berdasarkan frasa tetap. Hafalkan ini persis, dan berikan hanya satu jawaban.

• Usaha $=$ gaya $\times$ jarak yang ditempuh searah dengan gaya — gunakan $Fs\cos\theta$ ketika mereka membentuk sudut.
• Gunakan kekekalan energi: kehilangan GPE $=$ gain in KE ($+$ work done against resistance).
• Daya $=$ kerja $/$ waktu $= Fv$; efisiensi $=$ useful output $\div$ total input.
• GPE menggunakan vertikal ketinggian yang diperoleh, bukan jarak sepanjang lereng.

Kesalahan umum

• Memberikan perubahan ketinggian sebagai jawaban untuk pertanyaan perubahan-energi. Selesaikan perhitungan: $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$.
• Menggunakan jarak sepanjang kemiringan sebagai tinggi dalam $mg\Delta h$, atau menggunakan massa di mana berat diperlukan. Gunakan ketinggian vertikal yang diperoleh, dan periksa apakah kuantiti yang diminta adalah $m$ dalam kg atau $W$ dalam N.
• Memasukkan daya rintangan ke dalam $P = Fv$ untuk sebuah kereta yang sedang dipercepatkan. $F$ ialah daya pemacu; hanya pada kelajuan malar ia sama dengan daya rintangan.
• Kecekapan melebihi 100%, atau kecekapan sebagai output dibahagikan dengan pembaziran. Ia adalah output berguna dibahagikan dengan jumlah input, dan jumlah input sentiasa nombor yang lebih besar.
• Membaca kecerunan graf daya–panjangan apabila soalan meminta tenaga. Tenaga yang disimpan ialah kawasan di bawah garis, bukan kecerunannya.