Probabilitas & Statistik 2

Distribusi Poisson $X \sim \mathrm{Po}(\lambda)$ memodelkan jumlah peristiwa acak dalam interval tetap, ketika peristiwa terjadi pada laju rata-rata yang stabil $\lambda$:

Untuk variabel Poisson, rata-rata dan variansinya keduanya sama dengan $\lambda$. Distribusi Poisson merupakan pendekatan yang baik untuk distribusi binomial ketika $n$ besar dan $p$ kecil. Distribusi normal (dengan koreksi kontinuitas) mengaproksimasi Poisson ketika $\lambda$ besar.

Contoh worked. $X \sim \mathrm{Po}(3)$. Temukan $P(X = 2)$.

Ketika Anda mengubah variabel dengan aturan linear, ekspektasi (rata-rata) dan variansi mengikuti aturan berikut:

Untuk dua variabel independen $X$ dan $Y$: Dua fakta berguna: jika $X$ memiliki distribusi normal maka $aX + b$ juga; dan jumlah variabel Poisson yang independen kembali menjadi Poisson.

Contoh worked. $X$ memiliki mean $5$ dan variansi $4$. Temukan $E(3X - 1)$ dan $\mathrm{Var}(3X - 1)$.

Sebuah variabel acak kontinu dapat mengambil nilai apa pun dalam suatu rentang. Probabilitasnya berasal dari fungsi kepadatan probabilitas $f(x)$, dengan dua sifat kunci:

Sebuah probabilitas adalah area di bawah $f$, dan rata-rata ditemukan melalui integral:

Fungsi distribusi kumulatif adalah $F(x) = P(X \leqslant x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$; median memecahkan $F(m) = 0.5$, dan persentil lainnya memecahkan $F(x) = p$.

Contoh worked. Variabel kontinu memiliki $f(x) = \tfrac12 x$ untuk $0 \leqslant x \leqslant 2$ (dan $0$ di tempat lain). Temukan $E(X)$.

Variansi menggunakan ide yang sama, $\mathrm{Var}(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)\,dx-\big(E(X)\big)^2$. Untuk $f(x)=\tfrac12 x$ yang sama pada $[0,2]$: $\displaystyle\int_0^2 x^2\cdot\tfrac12 x\,dx=\left[\tfrac{x^4}{8}\right]_0^2=2$, sehingga $\mathrm{Var}(X)=2-\left(\tfrac43\right)^2=2-\tfrac{16}{9}=\tfrac{2}{9}$.

Sebuah sampel adalah kelompok kecil yang dipilih dari seluruh populasi. Sampel acak memerlukan keacakan, sehingga setiap anggota memiliki peluang adil untuk dipilih.

Beberapa metode tidak memuaskan karena bias: hanya mengambil relawan, atau 20 orang pertama yang datang, terlalu merepresentasikan jenis orang tertentu. Sampel benar-benar acak menggunakan angka acak – beri nomor pada setiap anggota populasi, lalu tarik angka (dari tabel atau generator) untuk memutuskan siapa yang masuk dalam sampel.

Rata-rata sampel $\bar{X}$ itu sendiri adalah variabel acak, dengan

Berdasarkan Teorema Limit Pusat, untuk sampel besar $\bar{X}$ mendekati normal, terlepas dari bentuk populasi.

Dari sebuah sampel Anda dapat menemukan perkiraan tak bias dari rata-rata populasi dan varians. Interval kepercayaan memberikan rentang yang kemungkinan memuat nilai rata-rata yang sebenarnya. Ketika populasi normal dengan $\sigma$ yang diketahui (atau sampelnya besar), $95\%$ interval adalah

Anda juga dapat menemukan interval kepercayaan untuk proporsi populasi dari sampel besar.

Contoh worked. Sampel $n = 64$ memiliki mean $\bar{x} = 50$, dari populasi dengan $\sigma = 8$. Temukan interval kepercayaan $95\%$ untuk rata-rata populasi.

Sebuah uji hipotesis menggunakan data sampel untuk menilai klaim. Anda menetapkan dua pernyataan: hipotesis nol $H_0$ (klaim yang diuji, biasanya "tidak ada perubahan") dan hipotesis alternatif $H_1$ (apa yang Anda curigakan sebaliknya). Uji tersebut satu arah jika $H_1$ mengarah ke satu sisi (mis. $\mu > 50$) dan dua arah jika memungkinkan kedua sisi ($\mu \neq 50$).

Anda menetapkan tingkat signifikansi (sering $5\%$), hitung statistik uji dari data, dan lihat apakah itu jatuh di daerah penolakan (juga disebut daerah kritis); jika ya, Anda menolak $H_0$, jika tidak statistik tersebut berada di daerah penerimaan.

Dua kesalahan mungkin terjadi: kesalahan Tipe I adalah menolak $H_0$ padahal itu sebenarnya benar; kesalahan Tipe II adalah menerima $H_0$ padahal itu sebenarnya salah. Anda dapat menemukan probabilitas mereka dari daerah penolakan: $P(\text{Type I})=P(\text{statistic in the rejection region}\mid H_0)$ – ini sama dengan tingkat signifikansi – dan $P(\text{Type II})=P(\text{statistic in the acceptance region}\mid H_1$ benar untuk nilai yang dinyatakan$)$, dihitung dari distribusi binomial, Poisson, atau normal.

Contoh terpecahkan. Sebuah populasi diklaim memiliki rata-rata $50$, dengan $\sigma = 8$. Sampel $n = 64$ menghasilkan $\bar{x} = 52$. Uji pada tingkat $5\%$ apakah rata-rata telah berubah.

$H_0\!: \mu = 50$ dan $H_1\!: \mu \neq 50$ (dua-ekor). Statistik uji adalah

Nilai kritis pada $5\%$ (dua-ekor) adalah $1.96$. Karena $2 > 1.96$, Anda menolak $H_0$: ada bukti bahwa rata-rata telah berubah.

Contoh terpecahkan (uji binomial). Sebuah koin diklaim adil tetapi dicurigai jarang muncul mata uang: $H_0\!:p=0.5$, $H_1\!:p<0.5$. Dalam $n=30$ lemparan Anda melihat $X=9$ mata uang. Di bawah $H_0$, $X\sim B(30,0.5)$, sehingga probabilitas satu-ekor adalah

Karena $0.021<0.05$, tolak $H_0$: koin memang tampak bias terhadap mata uang. (Untuk $n$ besar, binomial didekati oleh normal; uji Poisson bekerja sama untuk kejadian langka. Dan di sini, jika aturannya "tolak ketika $X\leqslant 9$", maka $P(\text{Type I})=P(X\leqslant 9\mid p=0.5)\approx0.021$.)

• Gunakan distribusi Poisson untuk kejadian langka, acak, dan independen; rata-ratanya sama dengan variansnya ($= \lambda$).
• Saat menggabungkan variabel acak independen, varians ditambah (tidak pernah dikurangi).
• Untuk uji hipotesis, nyatakan $H_0$ dan $H_1$, tingkat signifikansi, statistik uji, dan kesimpulan dalam konteks.
• Untuk interval kepercayaan, gunakan nilai $z$ (atau $t$) yang benar dan interpretasikan dengan kata-kata.