Distribusi Poisson
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| Poisson distribution/ˈpɔɪsn ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribusi Poisson |
| interval/ˈɪntəvl/ | interval |
| mean/miːn/ | rata-rata |
| variance/ˈveərɪəns/ | variansi |
| overdispersion/ˌəʊvədɪˈspɜːʃn/ | overdispersi |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | parameter |
Antrian yang tak pernah berakhir
- Pelanggan datang ke toko dengan laju rata-rata 3 per menit. Berapa probabilitas bahwa tepat 5 pelanggan datang dalam menit berikutnya?
- Distribusi Poisson memodelkan peristiwa langka yang terjadi dengan laju stabil — mulai dari telepon masuk hingga peluruhan radioaktif.
Distribusi Poisson
- $X \sim \text{Po}(\lambda)$ memodelkan jumlah peristiwa acak dalam interval tetap dengan laju stabil $\lambda$:
Contoh terpecahkan. Panggilan datang dengan laju $\lambda = 4$ per jam. P(pesanan tepat 2) $= e^{-4} \dfrac{4^2}{2!} = 0.0183 \times \dfrac{16}{2} = 0.1465$.
Orang tiba secara rawak dalam giliran mengikut taburan Poisson
Distribusi Poisson
X ~ Po(λ)
Poisson menghitung peristiwa acak dalam interval. Rata-rata dan variansinya keduanya λ.
Untuk X ~ Po(3), cari P(X = 2) = e⁻³ × 3²/2!. Berikan jawapan kepada 3 tempat perpuluhan.
P(X=2) = e⁻³ × 9/2 = 0.0498 × 4.5 ≈ 0.224.
Untuk X ~ Po(2), P(X = 0) = e⁻². Carinya (3 dp).
P(X=0) = e⁻² × 2⁰/0! = e⁻² = 0.1353 ≈ 0.135.
Padankan setiap idea Poisson dengan hasilnya.
Bagi taburan Poisson, min dan varians keduanya ialah lambda.
Ciri-ciri Poisson
- Bagi pemboleh ubah Poisson, min dan varians keduanya sama dengan $\lambda$: $E(X) = \text{Var}(X) = \lambda$.
- Ini adalah unik — tiada taburan biasa lain mempunyai ciri ini.
Bagi Po(3), min dan varians keduanya ialah 3; bar menunjukkan P(X = k).
Min = varians adalah ujiannya. Jika data anda mempunyai min ≈ varians, model Poisson mungkin sesuai. Jika varians jauh lebih besar daripada min, peristiwa tersebut tidak bebas (penyebaran berlebihan) dan Poisson adalah salah.
Untuk X ~ Po(3), berapakah min bagi X?
Bagi pemboleh ubah Poisson, min sama dengan λ = 3 (dan begitulah juga varians).
Untuk X ~ Po(3), berapakah varians bagi X?
Bagi pemboleh ubah Poisson, varians juga sama dengan λ = 3.
Bagi taburan Poisson, min dan varians sentiasa sama.
Ini adalah sifat penentu taburan Poisson: E(X) = Var(X) = λ.
Penganggaran Poisson kepada binomial
- Poisson menganggar binomial apabila $n$ besar dan $p$ kecil.
- Gunakan $\lambda = np$ sebagai parameter Poisson.
- Contoh: $B(200, 0.01) \approx \text{Po}(2)$.
X ~ B(200, 0.01). Anggar dengan Poisson: λ = np. Cari λ.
λ = np = 200 × 0.01 = 2.
Contoh terpecahkan — penganggaran
- $X \sim B(100, 0.02)$. Anggaran dengan Poisson: $\lambda = np = 100 \times 0.02 = 2$.
- $P(X = 0) \approx e^{-2} \dfrac{2^0}{0!} = e^{-2} = 0.1353$.
- Taburan normal anggaran taburan binomial (dengan pembetulan kesinambungan) apabila sesuai.
Anda telah memahaminya
- Poisson: $P(X = r) = e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^r}{r!}$
- min dan varians keduanya sama dengan $\lambda$
- menganggar binomial untuk $n$ besar, $p$ kecil (gunakan $\lambda = np$)