Gabungan linear pemboleh ubah rawak
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| variance/ˈveərɪəns/ | variansi |
| linear combination/ˈlɪnɪə ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | kombinasi linear |
| random variable/ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | variabel acak |
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | transformasi linear |
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | independen |
Matematika menggabungkan
- Jika anda tahu min dan varians dua proses berasingan, apa yang berlaku apabila menambah mereka?
- Gabungan linear membolehkan anda meramalkan tingkah gabungan pemboleh ubah rawak — penting untuk kawalan kualiti, kewangan, dan kejuruteraan.
Lab gabungan linear
E(aX + b) = aE(X) + b
Tukar faktor skala dan lihat bagaimana nilai jangkaan berskala.
Transformasi linear bagi satu pemboleh ubah
- Bagi satu pemboleh ubah yang diubah oleh aturan linear:
Contoh terpecahkan. $E(X) = 5$, $\text{Var}(X) = 4$. Biarkan $Y = 3X + 2$. $E(Y) = 3(5) + 2 = 17$. $\text{Var}(Y) = 3^2(4) = 36$.
Pemalar $b$ hilang dari varians. Menambah pemalar menggeser min tetapi tidak mengubah sebarannya. $\text{Var}(X + 5) = \text{Var}(X)$, bukan $\text{Var}(X) + 25$.
Taburan Poisson Po(3); min dan variansnya keduanya sama dengan lambda
X mempunyai min 5. Berapakah E(3X − 1)?
E(3X − 1) = 3E(X) − 1 = 3×5 − 1 = 14.
X mempunyai varians 4. Berapakah Var(3X − 1)?
Var(3X − 1) = 3²×Var(X) = 9×4 = 36 (−1 tiada kesan).
Dalam Var(aX + b), pemalar b:
Menambah pemalar menggeser data tetapi tidak mengubah sebarannya, jadi b hilang.
Dua pemboleh ubah bebas
- Nota: varians sentiasa dijumlahkan (bahagiannya untuk $X - Y$), kerana $(-1)^2 = 1$.
X dan Y adalah bebas. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X + Y) = ?
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 9 = 13 (varians dijumlahkan untuk pemboleh ubah bebas).
X dan Y adalah bebas. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X − Y) = ?
Var(X − Y) = Var(X) + (−1)²Var(Y) = 4 + 9 = 13. Varians sentiasa dijumlahkan.
Taburan di bawah gabungan linear
- Jika $X$ adalah normal, maka $aX + b$ juga normal; hasil tambah normal bebas adalah normal.
- Jumlah Poisson yang independen adalah Poisson: jika $X \sim \text{Po}(\lambda_1)$ dan $Y \sim \text{Po}(\lambda_2)$, maka hasilnya adalah $X + Y \sim \text{Po}(\lambda_1 + \lambda_2)$.
Jika X ~ Po(3) dan Y ~ Po(5) adalah bebas, maka X + Y ~ Po(8).
Jumlah pemboleh ubah Poisson yang bebas adalah Poisson dengan parameter λ₁ + λ₂ = 3 + 5 = 8.
Contoh terpecahkan — menggabungkan normal
- $X \sim N(10, 4)$ dan $Y \sim N(20, 9)$, bebas. Cari taburan $X + Y$.
- $E(X + Y) = 10 + 20 = 30$. $\text{Var}(X + Y) = 4 + 9 = 13$.
- Maka $X + Y \sim N(30, 13)$.
- Gabungan linear taburan normal adalah normal; hasil tambah taburan Poisson bebas adalah Poisson.
Anda telah memahaminya
- $E(aX+b) = aE(X) + b$; $\text{Var}(aX+b) = a^2\,\text{Var}(X)$ ($b$ hilang, $a$ dikuadratkan)
- bebas: $\text{Var}(aX+bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$
- normal kekal normal di bawah aturan linear; hasil tambah Poisson bebas adalah Poisson