Variabel acak kontinu
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | variabel acak kontinu |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | fungsi kepadatan peluang |
| area/ˈeərɪə/ | luas |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | fungsi distribusi kumulatif |
Lengkung yang memberi kebarangkalian
- Pemboleh ubah rawak berterusan boleh mengambil mana-mana nilai dalam julat — seperti masa tepat bas tiba, atau tinggi seseorang secara spesifik.
- Berbeza dengan pemboleh ubah diskrit, anda tidak boleh menyenaraikan kebarangkalian bagi setiap nilai. Sebaliknya, fungsi ketumpatan kebarangkalian (pdf) menerangkan bentuk, dan kebarangkalian adalah kawasan di bawah lengkung.
Fungsi ketumpatan kebarangkalian
- Pemboleh ubah rawak berterusan boleh mengambil mana-mana nilai dalam julat, digambarkan oleh fungsi ketumpatan kebarangkalian $f(x)$:
Contoh terpecahkan. $f(x) = \dfrac{x}{8}$ untuk $0 \leq x \leq 4$, sifar sebaliknya. Semak: $\int_0^4 \dfrac{x}{8}\,dx = \left[\dfrac{x^2}{16}\right]_0^4 = \dfrac{16}{16} = 1$. ✓
$f(x)$ BUKAN kebarangkalian. Nilai $f(x)$ pada satu titik boleh melebihi 1. Hanya kawasan di bawah lengkung antara dua titik memberikan kebarangkalian.
Bagi pemboleh ubah berterusan, kebarangkalian adalah kawasan di bawah ketumpatan f(x)
Kawasan = kebarangkalian
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
Bagi pemboleh ubah berterusan, kebarangkalian ialah kawasan di bawah lengkung ketumpatan antara dua nilai.
Fungsi ketumpatan kebarangkalian mesti memenuhi ∫f(x)dx atas semua x bersamaan dengan nilai apa?
Kawasan total di bawah pdf sentiasa 1.
Nilai f(x) pada satu titik ialah kebarangkalian bahawa X bersamaan dengan nilai itu.
f(x) ialah ketumpatan, bukan kebarangkalian. Hanya kawasan di bawah f yang memberikan kebarangkalian. f(x) bahkan boleh melebihi 1.
Untuk f(x) = x/8 pada 0 ≤ x ≤ 4, sahkan ∫₀⁴ (x/8) dx = [x²/16]₀⁴. Apakah hasilnya?
[x²/16]₀⁴ = 16/16 − 0 = 1. Kawasan total ialah 1, mengesahkan ia adalah pdf yang sah.
Mencari kebarangkalian
- Kebarangkalian adalah kawasan di bawah $f$: $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
Kebarangkalian adalah kawasan di bawah f(x); jumlah kawasan atas semua x mesti bersamaan dengan 1.
Bagi pemboleh ubah berterusan, P(a < X < b) ialah kawasan di bawah f(x) antara a dan b.
Kebarangkalian bagi pemboleh ubah berterusan adalah kawasan di bawah fungsi ketumpatan.
Mencari min dan varians
- Min ialah $E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx$.
- Varians ialah $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$, di mana $E(X^2) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^2\,f(x)\,dx$.
Untuk f(x) = ½x pada 0 ≤ x ≤ 2, E(X) = ∫₀² x(½x) dx = [x³/6]₀². Berapakah E(X)? (≈, 2 dp)
E(X) = ∫₀² ½x² dx = [x³/6]₀² = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33.
Fungsi distribusi kumulatif
- cdf $F(x) = P(X \leq x) = \displaystyle\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$.
- $F(x)$ adalah kawasan di bawah $f$ sehingga $x$. Ia sentiasa meningkat dari 0 hingga 1.
- Gunakan fungsi ketumpatan untuk mencari median dan peratusan lain.
Fungsi distribusi kumulatif F(x) memberikan:
F(x) = P(X ≤ x) = kawasan di bawah f sehingga x.
Anda telah memahaminya
- sebuah pdf mempunyai $f(x) \geq 0$ dan jumlah kawasan $\int f = 1$
- sebuah kebarangkalian adalah kawasan di bawah $f$ antara had-had
- min $E(X) = \int x\,f(x)\,dx$