משוואות פרמטריות, קואורדינטות קוטביות ופונקציות בעלות ערך וקטורי

קלקולוס BC - AP · נושא 9

הצגת שקפים אימון

שיעור וידאו לנושא זה פתח את עמוד הוידאו

9.1

הגדרה ונזירה של משוואות פרמטריות

סיילבוס

הבנה נשארית (CHA-3): נגזרות מאפשרות לנו לפתור בעיות מהעולם האמיתי הקשורות לקצבי שינוי.

מטרות למידה CHA-3.G: לחשב נגזרות של פונקציות פרמטריות. רק BC

CHA-3.G.1 שיטות לחישוב נגזרות של פונקציות בעלות ערכים ממשיים ניתנות להרחבה לפונקציות פרמטריות. רק BC
CHA-3.G.2 לעקומה המוגדרת פרמטרית, ערך $\dfrac{dy}{dx}$ בנקודה כלשהי על העקומה הוא השיפוע של הישר המשיק לעקומה בנקודה זו. $\dfrac{dy}{dx}$, השיפוע של הישר המשיק לעקומה המוגדרת באמצעות משוואות פרמטריות, ניתן לקבוע על ידי חלוקת $\dfrac{dy}{dt}$ ב-$\dfrac{dx}{dt}$, בתנאי ש-$\dfrac{dx}{dt}$ אינו שווה לאפס. רק BC

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

תחנת החלל הבינלאומית במסלול: משוואות פרמטריות מתארות מיקום כפונקציה של זמן

משוואות פרמטריות נותנות $x$ ו$y$ כל אחת כפונקציה של פרמטר $t$ (לרוב זמן): $x=x(t)$, $y=y(t)$. הן ממפות עקומה שאינה בהכרח פונקציה של $x$. שיפוע העקומה מוצא באמצעות כלל השרשרת:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

דוגמה פתורה. עבור $x=t^2$, $y=t^3-t$, מצאו את השיפוע ב$t=2$. כאן $\dfrac{dx}{dt}=2t$ ו$\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$, ולכן $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$; ב$t=2$ זה שווה ל$\dfrac{11}{4}$.

מילון מונחים אימון

English	עברית
Parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/	משוואות פרמטריות
vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/	פונקציה בעלת ערך וקטורי
Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/	מערכת קואורדינצות קוטבית

9.2

נגזרת שנייה של משוואות פרמטריות

סיילבוס

הבנה נשארית (CHA-3): נגזרות מאפשרות לנו לפתור בעיות מהעולם האמיתי הקשורות לקצבי שינוי.

מטרות למידה CHA-3.G: לחשב נגזרות של פונקציות פרמטריות. רק BC

CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ ניתן לחישוב על ידי חלוקת $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ ב-$\dfrac{dx}{dt}$. רק BC

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

הנגזרת השנייה היא לא $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. במקום זאת, נזירו את הנגזרת הראשונה לפי $t$, ואז חלקו שוב ב$dx/dt$:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

השתמשו בזה לבדיקת קעורות/קמורות של עקומה פרמטרית.

9.3

מציאת אורכי קשת של עקומות נתונות על ידי משוואות פרמטריות

סיילבוס

הבנה מתמשכת (CHA-6): אינטגרלים מסוימים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות לאגריגציה של שינוי באורך על פני מרווח.

מטרות למידה CHA-6.B: לחשב את אורך העקומה במישור המוגדר על ידי פונקציות פרמטריות, באמצעות אינטגרל מסוים. רק BC

CHA-6.B.1 אורך של עקומה המוגדרת פרמטרית ניתן לחישוב באמצעות אינטגרל מסוים. רק BC

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

האורך של עקומה פרמטרית עבור $t$ מ$a$ ל$b$ הוא

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

זוהי הגרסה הפרמטרית לאורך קשת – סכום משולשים קטנים (היפוטנוזות) $\sqrt{dx^2+dy^2}$ לאורך הפרמטר.

9.4

הגדרה והבחנה בין פונקציות בעלות ערך וקטורי

סיילבוס

הבנה נשארית (CHA-3): נגזרות מאפשרות לנו לפתור בעיות מהעולם האמיתי הקשורות לקצבי שינוי.

מטרות למידה CHA-3.H: לחשב נגזרות של פונקציות בעלות ערכים וקטורים. רק BC

CHA-3.H.1 שיטות לחישוב נגזרות של פונקציות בעלות ערכים ממשיים ניתנות להרחבה לפונקציות בעלות ערכים וקטורים. רק BC

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

פונקציה בעלת ערך וקטורי $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ נותנת וקטור מיקום עבור כל $t$. גזרו ברכיבים: המהירות היא $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ והתאוצה היא $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. המהירות המיינית היא הגודל $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

קו בעל ערך וקטורי: התחילו ב-a, ולאחר מכן החלקו לפי t רבות בכיוון b

חקור

הוסיפו רכיבים של וקטור-ערך

פונקציה בעלת ערך וקטורי אורזת $x(t)$ ו$y(t)$ לתוך וקטור אחד. גזירה של כל רכיב נותנת את וקטור המהירות, המשיק למסלול.

9.5

אינטגרציה של פונקציות בעלות ערך וקטורי

סיילבוס

הבנה מתמשכת (FUN-8): פתרון בעיית ערך התחתי מאפשר לנו לקבוע ביטוי למיקום חלקיק הנע במישור.

מטרות למידה FUN-8.A: לקבוע פתרון ספציפי בהינתן וקטור קצב ותנאי התחלה. רק BC

FUN-8.A.1 שיטות לחישוב אינטגרלים של פונקציות בעלות ערכים ממשיים ניתנות להרחבה לפונקציות פרמטריות או וקטוריות. רק BC

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

אינטגרלו פונקציית וקטור רכיב אחר רכיב. נתונה תאוצה או מהירות יחד עם תנאי התחלתי, אינטגרלו כל רכיב והשתמשו בתנאי כדי למצוא את הקבועים – שחזרת מהירות מתאוצה, או מיקום ממהירות.

9.6

פתרון בעיות תנועה באמצעות פונקציות פרמטריות ובעלות ערך וקטורי

סיילבוס

הבנה מתמשכת (FUN-8): פתרון בעיית ערך התחתי מאפשר לנו לקבוע ביטוי למיקום חלקיק הנע במישור.

מטרות למידה FUN-8.B: קביעת ערכים עבור מיקום וקצבי שינוי בבעיות הכוללות תנועה במישור. רק BC

FUN-8.B.1 נגזרות יכולות לשמש לקביעת מהירות, טווח (speed) ותאוצה לגוף הנע לאורך עקומה במישור המוגדר באמצעות פונקציות פרמטריות או וקטוריות. רק BC
FUN-8.B.2 עבור גוף בתנועה במישור במהלך מרווח זמן נתון, האינטגרל המוגדר של וקטור המהירות מייצג את הזזה (שינוי נקי במיקום) של הגוף במרווח הזמן, וממנו ניתן לקבוע את מיקומו. האינטגרל המוגדר של הטווח (speed) מייצג את המרחק הכולל שנסע הגוף במרווח הזמן. רק BC

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

עבור חלקיק הנע במישור: המיקום הוא $\langle x(t),y(t)\rangle$, המהירות והתאוצה הן הנגזרות שלו, המהירות המיינית היא $|\vec v|$, והמרחק שנסע לאורך $[a,b]$ הוא

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

מיומנות לבחינה: בעיות תנועה במישור הללו מופיעות בשאלת הפתח הבחירה כמעט בכל שנה – היעזרו בקלות במציאת מהירות מינית, המיקום בזמן מאוחר יותר (נקודה התחלתית פלו האינטגרל של המהירות), והמרחק הכולל.

דוגמה מפורטת. לחלקיק יש מיקום $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. המהירות שלו היא $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$, ולכן ב-$t=1$ המהירות היא $\langle 2,\ 2\rangle$ והמהירות המיינית היא $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. המיקום שלו ב-$t=2$ הוא $\langle 4,\ 6\rangle$.

9.7

הגדרת קואורדינטות קוטביות וגזירה בצורת קוטבית

סיילבוס

הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.

מטרות למידה FUN-3.G: חישוב נגזרות של פונקציות הכתובות בקואורדינטות קוטביות. רק BC

FUN-3.G.1 שיטות לחישוב נגזרות של פונקציות בעלות ערכים ממשיים ניתנות להרחבה לפונקציות בקואורדינטות קוטביות. רק BC
FUN-3.G.2 לעקומה הנתונה על ידי משוואה קוטבית $r = f(\theta)$, נגזרות של $r$, $x$ ו$y$ ביחס ל$\theta$, וכן נגזרות ראשונה ושנייה של $y$ ביחס ל$x$, יכולות לספק מידע על העקומה. רק BC

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

סימון של עקומה קוטבית

קואורדינטות קוטביות ממוקמות נקודה על פי המרחק $r$ ממקור הצירים והזווית $\theta$: ממירים באמצעות $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. עקומה קוטבית $r=f(\theta)$ היא עקומה פרמטרית ב-$\theta$, ולכן השיפוע שלה הוא

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

קואורדינטות קוטביות מזהות נקודה על ידי המרחק r והזווית theta — קואורדינטות קוטביות נותנות נקודה על פי המרחק r והזווית theta

חקור

שרטטו עקום בקואורדינטות קוטביות

בקואורדינטות קוטביות, נקודה היא במרחק $r$ בזווית $\theta$. כאשר $r$ תלוי ב$\theta$, נוצרים עקומים כמו הקארדיודה הזו.

9.8

מציאת השטח של אזור קוטבי

סיילבוס

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.D: חישוב שטחים של אזורים המוגדרים על ידי עקומות קוטביות באמצעות אינטגרלים מוגדרים. רק BC

CHA-5.D.1 הרעיון של חישוב שטחים בקואורדינטות רטגולריות ניתן להרחבה לקואורדינטות קוטביות. רק BC

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

השטח שמסובבת עקומה קוטבית $r=f(\theta)$ מ-$\alpha$ ל-$\beta$ הוא

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

האזור הוא "מאוורר" של מקטעים משולשים דקים; בחירת הגבולות הנכונים ל-$\theta$ (בהם העקומה מתחילה ומסיימת לסמן את האזור) היא האתגר המרכזי.

דוגמה מפורטת. מצאו את שטח עליה אחת של הפרח $r=2\sin(2\theta)$ (שמסומן עבור $\theta$ מ-$0$ ל-$\tfrac{\pi}{2}$). באמצעות $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$,

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

שטח אזור בקואורדינטות קוטביות מתקבל כחצי מאינטגרל של r בריבוע d theta — האזור המוצל הוא מאוורר של מגזרות דקות שנעשו מ-$\alpha$ עד ל-$\beta$; לכל אחת יש שטח $\tfrac12 r^2\,d\theta$, ולכן הסך הכל הוא $\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$.

9.9

חישוב השטח של אזור המוגבל על ידי שתי פונקציות קוטביות

סיילבוס

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.D: חישוב שטחים של אזורים המוגדרים על ידי עקומות קוטביות באמצעות אינטגרלים מוגדרים. רק BC

CHA-5.D.2 שטחים של אזורים החסומים על ידי עקומות קוטביות ניתנים לחישוב באמצעות אינטגרלים מוגדרים. רק BC

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

עבור השטח בין עקומה חיצונית $r_1$ ועקומה פנימית $r_2$, תכנס את המקטעים:

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

מצא תחילה זוויות חיתוך (השוו $r_1=r_2$), והיזהר איזו עקומה היא החיצונית בכל מרווח – ייתכן שהן מתחלפות.

9.9

טיפים לבחינות

עבור עקומות פרמטריות, $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$; המהירות היא $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
פונקציה וקטורית נובעת אותה מידע בדיוק – גזור/אינטגרל אותה רכיב-ברכיב.
בקוטבים, המרה עם $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$; השטח הנצרק הוא $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
שימו לב לכיוון העקיבה (הסימן של $dx/dt$) והגדירו גבולות נכון ל-$\theta$ עבור שטח בקואורדינטות קוטביות.
לבטל את הפרמטר כדי לחזור לצורה הרגילה של $y$-מול-$x$ כאשר זה עוזר.

שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה

לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.

מבחני עבר

נושאים נוספים בקלקולוס BC - AP