יישומי אינטגרציה

קלקולוס BC - AP · נושא 8

הצגת שקפים אימון

שיעור וידאו לנושא זה פתח את עמוד הוידאו

8.1

מציאת הערך הממוצע של פונקציה בתחום

סיילבוס

הבנה מתמשכת (CHA-4): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות לצבירה של שינוי בתחום נתון.

מטרות למידה CHA-4.B: חישוב הערך הממוצע של פונקציה באמצעות אינטגרלים מוגדרים.

CHA-4.B.1 הערך הממוצע של פונקציה רציפה $f$ על קטע $[a, b]$ הוא $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

הערך הממוצע של $f$ על $[a,b]$ הוא האינטגרל מחולק בעובי:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

זהו הגובה הקבוע שהמלבן צריך להיות כדי שישמור אותו שטח כמו האזור מתחת ל$f$. אל תבלבו בין כך לבין קצב שינוי ממוצע (rate of change) (שהשתמש בו בנגזרת).

דוגמה פותרת. הערך הממוצע של $f(x)=x^2$ על $[0,3]$ הוא $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

חקור

הערך הממוצע של פונקציה

y = ax³ + bx² + cx + d

הערך הממוצע של $f$ על $[a,b]$ הוא האינטגרל שלה חלקי הרוחב — הגובה הקבוע שעבורו למלבן יש אותו שטח כמו תחת העקומה.

8.2

חיבור מיקום, מהירות ותאוצה באמצעות אינטגרלים

סיילבוס

הבנה מתמשכת (CHA-4): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות לצבירה של שינוי בתחום נתון.

מטרות למידה CHA-4.C: קביעת ערכים עבור מיקומים וקצבי שינוי באמצעות אינטגרלים מוגדרים בבעיות הקשורות לתנועה ישרקוויתית.

CHA-4.C.1 לגוף הנע בתנועה ישרקוויתית לאורך קטע זמן, האינטגרל המוגדר של המהירות מייצג את ההזזה של הגוף לאורך קטע הזמן, והאינטגרל המוגדר של השטח (speed) מייצג את המרחק הכולל שעבר הגוף לאורך קטע הזמן.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

בתנועה בקו ישר, אינטגרציה הופכת הפעולה ההפוכה לגזירה:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

שתי הבדלים מרכזיים: הזזה היא $\int_a^b v\,dt$ (שינוי נטו במיקום), בעוד ש-מרחק כולל הוא $\int_a^b |v|\,dt$ (חלוקה כאשר $v$ משנה סימן). מהירות היא $|v|$.

8.3

שימוש בפונקציות הצטברות ואינטגרלים מוגדרים בהקשרים אפליקטיביים

סיילבוס

הבנה מתמשכת (CHA-4): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות לצבירה של שינוי בתחום נתון.

מטרות למידה CHA-4.D: פרשנות המשמעות של אינטגרל מוגדר בבעיות הצטברות.

CHA-4.D.1 פונקציה המוגדרת כאינטגרל מייצגת הצטברות של קצב שינוי.
CHA-4.D.2 האינטגרל המוגדר של קצב השינוי של כמות כלשהי לאורך קטע נותן את השינוי הנטו של כמות זו לאורך הקטע.

מטרות למידה CHA-4.E: קביעת השינוי הנטו באמצעות אינטגרלים מוגדרים בהקשרים יישומיים.

CHA-4.E.1 האינטגרל המובנה יכול לשמש לביטוי מידע על הצטברות ושינוי נקי בהקשרים אפליקטיביים רבים.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

כאשר נתון קצב (קצב זרימה, מכירות ליום), האינטגרל המוגדר נותן את הסך הצובר, ו$\int_a^b R(t)\,dt$ נושא את היחידות של $R$ כפול זמן. הגדרה נפוצה: כמות התחלתית $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ נותנת את הכמות בזמן מאוחר יותר. תמיד פרש את התשובה בהקשר, עם יחידות.

8.4

מציאת השטח בין עקומות המבטאות כפונקציות של x

סיילבוס

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.A: לחשב שטחים במישור באמצעות אינטגרל מובנה.

CHA-5.A.1 שטחים של אזורים במישור ניתן לחשב באמצעות אינטגרלים מובנים.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

עיצוב כלי על ידי חרש: נפחי סיבוב מסובים אזור מישורי סביב ציר

השטח בין $y=f(x)$ (למעלה) ו$y=g(x)$ (למטה) מ$a$ ועד $b$ הוא

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

מצאו את נקודות החיתוך עבור הגבולות, ותמיד חסרו למעלה פחות למטה.

השטח בין שתי עקומות הוא האינטגרל של עליון פחות תחתון — השטח בין שתי עקומות הוא האינטגרל של למעלה פחות למטה

דוגמה פתורה. בין $y=x$ ל-$y=x^2$ (חוצה ב-$x=0,1$, כאשר $y=x$ למעלה), השטח הוא $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

8.5

מציאת השטח בין עקומות המבוטאות כפונקציות של y

סיילבוס

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.A: לחשב שטחים במישור באמצעות אינטגרל מובנה.

CHA-5.A.2 שטחים של אזורים במישור ניתן לחשב באמצעות פונקציות של $x$ או $y$.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

כאשר עקומות קל יותר לתאר כ$x=f(y)$, אינטגרו ביחס ל$y$ במקום זאת, באמצעות ימין פחות שמאל:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

בחירה לאינטגרציה ב$y$ יכולה למנוע את צורך בחלוקת האזור לחלקים מספר.

8.6

מציאת השטח בין עקומות הנחתכות יותר מש פעמיים

סיילבוס

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.A: לחשב שטחים במישור באמצעות אינטגרל מובנה.

CHA-5.A.3 שטחים של אזורים מסוימים במישור ייתכן שניתן לחשב באמצעות סכום של שני אינטגרלים מובנים או יותר, או על ידי חילוק אינטגרל מובן של הערך המוחלט של ההפר בין שתי פונקציות.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

אם שתי עקומות נחתכות מספר פעמים, למעלה ולמטה מתחלפים. חלקו את האזור בכל נקודת חיתוך ואינטגרו כל חלק עם למעלה פחות למטה הנכון (או השתמשו ב$\int|f-g|$), ולאחר מכן סכמו את החלקים.

8.7

נפחים עם חתכים: ריבועים ומלבנים

סיילבוס

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.B: לחשב נפחי גוף בעל חתכים מוכרים באמצעות אינטגרלים מובנים.

CHA-5.B.1 נפחי גופים בעלי חתך ריבועי ומלבני ניתן למצוא באמצעות אינטגרלים מובנים ונוסחאות השטח לצורות אלו.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

אם לחלק מוצק יש חצות מאונכות לציר ה$x$ והן ריבועים או מלבנים, אינטגרו את שטחן. עם אורך צלע השווה למרחק בין שתי עקומות, חצה ריבועית נותנת

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

השיטה תמיד היא "אינטגרציה של שטח החצה".

8.8

נפחים עם חתכים: משולשים וחצי-עיגולים

סיילבוס

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.B: לחשב נפחי גוף בעל חתכים מוכרים באמצעות אינטגרלים מובנים.

CHA-5.B.2 נפחי גופים בעלי חתך משולשי ניתן למצוא באמצעות אינטגרלים מובנים ונוסחאות השטח לצורות אלו.
CHA-5.B.3 נפחי גופים בעלי חתך חצי-עיגולי והגדרות גיאומטריות אחרות ניתן למצוא באמצעות אינטגרלים מובנים ונוסחאות השטח לצורות אלו.
- דוגמאות מדגמיות עבור CHA-5.B3:
  - נפח משפך שעבורו החתכים הם עיגולים ניתן למצוא באמצעות נוסחת השטח לעיגול ואינטגרלים מובנים (ראו מבחן AB 2016 FRQ #5(b)).
  - נפח גוף שעבורו שטח החתך מוגדר באמצעות פונקציה ניתן למצוא באמצעות פונקציית השטח הידועה ואינטגרל מובן (ראו מבחן AB 2009 FRQ #4(c)).

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

אותה רעיון, נוסחת שטח שונה: לחצות משולשים שווה-צלעות השתמשו ב$A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, ולחצות חצי-עיגולים ב$A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (כאשר $s$ הוא המרחק בין העקומות). הציעו את נוסחת השטח ואינטגרו.

8.9

נפח בשיטת הדיסקים: סיבוב סביב ציר ה-x או ציר ה-y

סיילבוס

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.C: חישוב נפחי גופי סיבוב באמצעות אינטגרלים מוגדרים.

CHA-5.C.1 נפחי גופי סיבוב סביב ציר $x$ או ציר $y$ ניתן למצוא באמצעות שימוש באינטגרלים מובנים בשיטת הדיסק.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

מרחבי סיבוב: שיטת הדיסק

סיבוב אזור סביב ציר יוצא מוצק שחצותיו הן דיסקים. שיטת הדיסקים אינטגרלת $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

כאשר הרדיוס $R$ הוא המרחק מהעקומה לציר. השתמש ב$dy$ כאשר מסובבים סביב ציר ה$y$.

שיטת הדיסקים: סיבוב y=f(x) סביב ציר יוצר דיסקים ברדיוס f(x) — שיטת הדיסק: סיבוב y=f(x) סביב הציר יוצר דיסקים ברדיוס f(x)

דוגמה מופרדת. סיבוב האזור מתחת ל$y=\sqrt{x}$ מ$0$ ועד $4$ סביב ציר ה$x$ נותן דיסקים ברדיוס $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

סיבוב אזור סביב ציר יוצר גוף סיבוב — סיבוב אזור סביב ציר יוצר מרחב סיבוב

8.10

נפח בשיטת הדיסקים: סיבוב סביב צירים אחרים

סיילבוס

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.C: חישוב נפחי גופי סיבוב באמצעות אינטגרלים מוגדרים.

CHA-5.C.2 נפחי גופי סיבוב סביב כל קו אופקי אנכי במישור ניתן לחשב באמצעות אינטגרלים מוגדרים בשיטת הדיסק.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

כאשר ציר הסיבוב הוא קו אופקי או אנכי כמו $y=k$ (לא ציר), ה-רדיוס מתכוונן: $R=|f(x)-k|$. הגדר את הרדיוס כמרחק מהעקומה לקו זה, ואז מבצע אינטגרציה של $\pi R^2$ כמקודם.

8.11

נפח בשיטת הגשרים: סיבוב סביב ציר ה-x או ציר ה-y

סיילבוס

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.C: חישוב נפחי גופי סיבוב באמצעות אינטגרלים מוגדרים.

CHA-5.C.3 נפחי גופי סיבוב סביב ציר ה-$x$ או ציר ה-$y$ שחוציהם בצורת טבעת ניתן לחשב באמצעות אינטגרלים מוגדרים בשיטת החליפה.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

נפח בשיטת הדאור

אם האזור לא נוגע בציר, הסיבוב משאיר חור, כך שהחצות הן גשרים (טבעות). שיטת הגשרים מחסרת את הדיסק הפנימי:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

זהו את הקירור החיצוני והפנימי כמרחקים מכל עקומה לציר.

מילון מונחים אימון

English	עברית
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	ערך ממוצע
displacement/dɪˈspleɪsmənt/	הזזה
total distance/ˈtəʊtl ˈdɪstəns/	מרחק כולל
cross sections/krɒs ˈsekʃnz/	צלעים רוחביים
disc method/dɪsk ˈmeθəd/	שיטת הדיסק
washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/	שיטת העוגה
arc length/ɑːk leŋθ/	אורך קשת

8.12

נפח בשיטת הדש: סיבוב סביב צירים אחרים

סיילבוס

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.C: חישוב נפחי גופי סיבוב באמצעות אינטגרלים מוגדרים.

CHA-5.C.4 נפחי גופי סיבוב סביב כל קו אופקי אנכי שחוציהם בצורת טבעת ניתן לחשב באמצעות אינטגרלים מוגדרים בשיטת החליפה.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

כמו במקרה של דיסקים, סיבוב סביב קו $y=k$ או $x=k$ מזיז את שני הקרניים – כל אחת הופכת למרחק מהעקומה שלה אליו. שרטטו את האזור ואת הציר, תוונו $R_{\text{outer}}$ ו$R_{\text{inner}}$, ואז אינטגרציה את ההפרש בין הריבועים.

8.13

אורך הקשת של עקומה חלקה ומרחק שעבר גוף

סיילבוס

הבנה מתמשכת (CHA-6): אינטגרלים מסוימים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות לאגריגציה של שינוי באורך על פני מרווח.

מטרות למידה CHA-6.A: לחשב את אורך העקומה במישור המוגדר על ידי פונקציה, באמצעות אינטגרל מסוים. רק BC

CHA-6.A.1 אורך של עקומה מישורית המוגדרת על ידי פונקציה ניתן לחישוב באמצעות אינטגרל מסוים. רק BC

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

אורך הקשת של $y=f(x)$ מ$a$ ל$b$ הוא

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

נוסחת BC זו נובעת מהוספת היפוטנוזות קטנות $\sqrt{dx^2+dy^2}$. אותה רעיון נותן גם את המרחק שחלקיק עובר לאורך מסלול מעוגל.

דוגמה פתורה. מצאו את אורך הקשת של $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ מ-$x=0$ ועד ל-$x=3$. כאן $f'(x)=x^{1/2}$, ולכן $1+(f')^2=1+x$ וכן

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

גשר הגולדן גייט וגשריו הראשיים הסולבים — גשר ראשי תלוי כעקומה חלקה; אינטגרל נותן את אורכו המדויק

8.13

טיפים לבחינות

שטח בין עקומות הוא $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — מצאו את נקודות החיתוך עבור הגבולות ושמרו על עליון פחות תחתון.
עבור נפח סיבוב, חברו את חצאי המבחן של דיסק/דאור בשטח $\pi r^2$ (או $\pi(R^2-r^2)$).
הערך הממוצע של $f$ על $[a,b]$ הוא $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
שינוי מצטבר הוא $\int$ של קצב: סך הכל = ערך התחלתי $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
אינטגרציה פירושה "חיבור אינסוף חלקים זעירים" – הגדירו את האינטגרנד כפרוסה דקה אחת.

שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה

לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.

מבחני עבר

נושאים נוספים בקלקולוס BC - AP