Applications of Integration · ⁨יישומי אינטגרציה⁩

AP Calculus AB · ⁨קלקולוס AB - AP⁩ · Topic 8 · ⁨נושא 8⁩

View Slides · ⁨הצגת שקפים⁩ Train · ⁨אימון⁩

Video lesson for this topic · ⁨שיעור וידאו לנושא זה⁩ Open the video page · ⁨פתח את עמוד הוידאו⁩

8.1

Average Value of a Function · ⁨ערך ממוצע של פונקציה⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.B: Determine the average value of a function using definite integrals.

CHA-4.B.1 The average value of a continuous function $f$ over an interval $[a, b]$ is $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-4): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות לצבירה של שינוי בתחום נתון.

מטרות למידה CHA-4.B: חישוב הערך הממוצע של פונקציה באמצעות אינטגרלים מוגדרים.

CHA-4.B.1 הערך הממוצע של פונקציה רציפה $f$ על קטע $[a, b]$ הוא $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

The average value 平均值 of a continuous function $f$ over $[a,b]$ is the integral divided by the interval length:

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

It is the constant height of a rectangle on $[a,b]$ with the same area as under $f$. Do not confuse it with the average rate of change (which divides change in $f$ by the interval), or with a Riemann-sum average of a few values – the exam distinguishes these carefully. Report units in context (e.g. the average rate "in vehicles per hour").

Worked example. The average value of $f(x)=x^2$ on $[0,3]$ is

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

עברית

הערך הממוצע של פונקציה רציפה $f$ על $[a,b]$ הוא האינטגרל מחולק באורך התחום:

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

זהו הגובה הקבוע של מלבן על $[a,b]$ בעל אותה שטח כמו מתחת ל-$f$. אל תבלבו בינו לבין קצב שינוי ממוצע (שמחלק שינוי ב-$f$ בתחום), או עם ממוצע סכומי רימן של מספר ערכים בלבד – הבחן מבדיל בין אלו בקפידה. דווחו על היחידות בהקשר (למשל, הקצב הממוצע "ברכבים לשעה").

דוגמה מופרזת. הערך הממוצע של $f(x)=x^2$ על $[0,3]$ הוא

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

Explore · ⁨חקור⁩

The average value of a function · ⁨הערך הממוצע של פונקציה⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The average value of $f$ on $[a,b]$ is its integral divided by the width — the constant height whose rectangle has the same area as under the curve. · ⁨הערך הממוצע של $f$ על $[a,b]$ הוא האינטגרל שלה חלקי הרוחב — הגובה הקבוע שעבורו למלבן יש אותו שטח כמו תחת העקומה.⁩

8.2

Position, Velocity, and Acceleration Using Integrals · ⁨מיקום, מהירות ותאוצה באמצעות אינטגרלים⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.C: Determine values for positions and rates of change using definite integrals in problems involving rectilinear motion.

CHA-4.C.1 For a particle in rectilinear motion over an interval of time, the definite integral of velocity represents the particle's displacement over the interval of time, and the definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-4): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות לצבירה של שינוי בתחום נתון.

מטרות למידה CHA-4.C: קביעת ערכים עבור מיקומים וקצבי שינוי באמצעות אינטגרלים מוגדרים בבעיות הקשורות לתנועה ישרקוויתית.

CHA-4.C.1 לגוף הנע בתנועה ישרקוויתית לאורך קטע זמן, האינטגרל המוגדר של המהירות מייצג את ההזזה של הגוף לאורך קטע הזמן, והאינטגרל המוגדר של השטח (speed) מייצג את המרחק הכולל שעבר הגוף לאורך קטע הזמן.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Integration reverses the motion links of Unit 4. For a particle in straight-line motion over $[t_1,t_2]$:

Displacement 位移 (net change in position) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
Total distance travelled 总路程 $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – integrate speed, so direction changes add up instead of cancelling.
Position at a later time $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$; velocity from acceleration $= v(t_1)+\int a$.

The displacement-versus-distance distinction (with the absolute value) is a classic graded point.

עברית

אינטגרציה הופכת הפוכה את קשרי התנועה של יחידה 4. עבור חלקיק בתנועה בקו ישר לאורך $[t_1,t_2]$:

הזזה (שינוי נקי במיקום) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
מרחק כולל שנעבר $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – יש לבצע אינטגרציה של מהירות, כך ששינויי כיוון יתכנסו במקום להתבטל.
מיקום בזמן מאוחר יותר $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$; מהירות מהתאוצה $= v(t_1)+\int a$.

ההבחנה בין הזזה למרחק (עם ערך מוחלט) היא נקודת דירוג קלאסית.

8.3

Accumulation Functions and Definite Integrals in Applied Contexts · ⁨פונקציות הצטברות ואינטגרלים מוגדרים בהקמים אפליקטיביים⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.D: Interpret the meaning of a definite integral in accumulation problems.

CHA-4.D.1 A function defined as an integral represents an accumulation of a rate of change.
CHA-4.D.2 The definite integral of the rate of change of a quantity over an interval gives the net change of that quantity over that interval.

Learning Objective CHA-4.E: Determine net change using definite integrals in applied contexts.

CHA-4.E.1 The definite integral can be used to express information about accumulation and net change in many applied contexts.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-4): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות לצבירה של שינוי בתחום נתון.

מטרות למידה CHA-4.D: פרשנות המשמעות של אינטגרל מוגדר בבעיות הצטברות.

CHA-4.D.1 פונקציה המוגדרת כאינטגרל מייצגת הצטברות של קצב שינוי.
CHA-4.D.2 האינטגרל המוגדר של קצב השינוי של כמות כלשהי לאורך קטע נותן את השינוי הנטו של כמות זו לאורך הקטע.

מטרות למידה CHA-4.E: קביעת השינוי הנטו באמצעות אינטגרלים מוגדרים בהקשרים יישומיים.

CHA-4.E.1 האינטגרל המובנה יכול לשמש לביטוי מידע על הצטברות ושינוי נקי בהקשרים אפליקטיביים רבים.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

A function defined as an integral accumulates a rate of change. The net change 净变化 theorem is the everyday tool: the definite integral of a rate over an interval gives the net change of the quantity:

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

So "how much water is in the tank at $t=5$" = starting amount + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. Watch signs (in minus out) and units. Many multi-part FRQs are built entirely on this idea – often paired with "write, but do not evaluate, an integral expression that gives the total...".

עברית

פונקציה המוגדרת כאינטגרל מצטברת קצב שינוי. משפט השינוי הנקי הוא הכלי היומיומי: האינטגרל המוגדר של קצב על מרווח נותן את השינוי הנקי של הכמות:

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

לכן "כמות המים במיכל בזמן $t=5$" = כמות התחלה + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. שמרו על סימנים (כניסה פחות יציאה) ועל יחידות. הרבה שאלות FRQ רב-שלבים בנויות לחלוטין על רעיון זה – לעיתים קרובות מלווה בפקודה "כתבו, אך אל תחשבו, ביטוי אינטגרלי הנותן את ה... הכולל".

8.4

Finding the Area Between Curves (Functions of x) · ⁨מציאת השטח בין עקומות (פונקציות של x)⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.1 Areas of regions in the plane can be calculated with definite integrals.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.A: לחשב שטחים במישור באמצעות אינטגרל מובנה.

CHA-5.A.1 שטחים של אזורים במישור ניתן לחשב באמצעות אינטגרלים מובנים.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

The area between two curves $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) on $[a,b]$ is:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

Find the intersection points first to set the limits, and always subtract bottom from top.

Worked example. Find the area between $y=x$ and $y=x^2$. They cross at $x=0$ and $x=1$, and on $(0,1)$ the line $y=x$ is on top, so

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

עברית

השטח בין שתי עקומות $y=f(x)$ (למעלה) ו$y=g(x)$ (למטה) על $[a,b]$ הוא:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

מצאו תחילה את נקודות החיתוך כדי לקבוע את הגבולות, וחסרו תמיד את העקומה התחתונה מהעליונה.

דוגמה מפורטת. מצאו את השטח בין $y=x$ ל$y=x^2$. הן נחתכות ב$x=0$ וב$x=1$, ועל $(0,1)$ הישר $y=x$ נמצא למעלה, ולכן

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

השטח בין שתי עקומות הוא האינטגרל של עליון פחות תחתון — האזור המוצלע נמתח מחיתוך אחד $a$ לחיתוך הבא $b$; שטחו הוא $\int_a^b(\text{top}-\text{bottom})\,dx$.

8.5

Finding the Area Between Curves (Functions of y) · ⁨מציאת השטח בין עקומות (פונקציות של y)⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.2 Areas of regions in the plane can be calculated using functions of either $x$ or $y$.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.A: לחשב שטחים במישור באמצעות אינטגרל מובנה.

CHA-5.A.2 שטחים של אזורים במישור ניתן לחשב באמצעות פונקציות של $x$ או $y$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Some regions are easier described with horizontal slices – integrate with respect to $y$:

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

Choose $x$- or $y$-slices to keep a single top/bottom (or right/left) pair over the whole region.

עברית

חלק מאזורים קל יותר לתאר עם פרוסות אופקיות – לבצע אינטגרציה לפי $y$:

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

בחרו פרוסות $x$ או $y$ כדי לשמור על זוג אחד עליון/תחתון (או ימני/שמאלי) בכל האזור.

8.6

Area Between Curves With More Than Two Intersections · ⁨שטח בין עקומות עם יותר משתי נקודות חיתוך⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.

CHA-5.A.3 Areas of certain regions in the plane may be calculated using a sum of two or more definite integrals or by evaluating a definite integral of the absolute value of the difference of two functions.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.A: לחשב שטחים במישור באמצעות אינטגרל מובנה.

CHA-5.A.3 שטחים של אזורים מסוימים במישור ייתכן שניתן לחשב באמצעות סכום של שני אינטגרלים מובנים או יותר, או על ידי חילוק אינטגרל מובן של הערך המוחלט של ההפר בין שתי פונקציות.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

If the curves cross more than twice, one function is on top for part of the region and the other on top elsewhere. Split into a sum of integrals at each crossing, or integrate the absolute value of the difference:

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

Determine which curve is higher on each subinterval before writing the integrals.

עברית

אם העקומות נחתכות יותר משתי פעמים, פונקציה אחת נמצאת למעלה בחלק מהאזור והשנייה למעלה באזור אחר. חלוקה לסכום אינטגרלים בנקודות החיתוך, או אינטגרציה של ערך המוחלט של ההפרש:

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

קבעו איזה עקומה גבוהה יותר בכל תת-מרווח לפני כתיבת האינטגרלים.

8.7

Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles · ⁨נפחים עם חתכים: ריבועים ומלבנים⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.1 Volumes of solids with square and rectangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.B: לחשב נפחי גוף בעל חתכים מוכרים באמצעות אינטגרלים מובנים.

CHA-5.B.1 נפחי גופים בעלי חתך ריבועי ומלבני ניתן למצוא באמצעות אינטגרלים מובנים ונוסחאות השטח לצורות אלו.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

If a solid has a known cross section 横截面 perpendicular to an axis, its volume is the integral of the cross-sectional area:

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

For square cross sections with side equal to the region's height $s(x)=f(x)-g(x)$, use $A(x)=[s(x)]^2$; for a rectangle of height $k\cdot s(x)$, use $A(x)=k\,[s(x)]^2$. The exam phrase "the base of a solid... cross sections are squares/rectangles" signals exactly this.

עברית

עשן יוצר כלי: מרחבי סיבוב הם נפחים הנוצרים על ידי סיבוב אזור מישורי

אם לגוף יש חתך ידוע מאונך לציר, הנפח שלו הוא אינטגרל של שטח החתך:

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

עבור חתכים ריבועיים עם צלע השווה לגובה האזור $s(x)=f(x)-g(x)$, השתמשו ב$A(x)=[s(x)]^2$; עבור מלבן בגובה $k\cdot s(x)$, השתמשו ב$A(x)=k\,[s(x)]^2$. הביטוי במבחן "הבסיס של גוף... החתכים הם ריבועים/מלבנים" מעיד בדיוק על כך.

8.8

Volumes with Cross Sections: Triangles and Semicircles · ⁨נפחים עם חתכים: משולשים וחצי-עיגולים⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.

CHA-5.B.2 Volumes of solids with triangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
CHA-5.B.3 Volumes of solids with semicircular and other geometrically defined cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
- Illustrative examples for CHA-5.B.3:
  - The volume of a funnel whose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - The volume of a solid whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.B: לחשב נפחי גוף בעל חתכים מוכרים באמצעות אינטגרלים מובנים.

CHA-5.B.2 נפחי גופים בעלי חתך משולשי ניתן למצוא באמצעות אינטגרלים מובנים ונוסחאות השטח לצורות אלו.
CHA-5.B.3 נפחי גופים בעלי חתך חצי-עיגולי והגדרות גיאומטריות אחרות ניתן למצוא באמצעות אינטגרלים מובנים ונוסחאות השטח לצורות אלו.
- דוגמאות מדגמיות עבור CHA-5.B3:
  - נפח משפך שעבורו החתכים הם עיגולים ניתן למצוא באמצעות נוסחת השטח לעיגול ואינטגרלים מובנים (ראו מבחן AB 2016 FRQ #5(b)).
  - נפח גוף שעבורו שטח החתך מוגדר באמצעות פונקציה ניתן למצוא באמצעות פונקציית השטח הידועה ואינטגרל מובן (ראו מבחן AB 2009 FRQ #4(c)).

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Same method, different area formula: for an equilateral triangle 三角形 of side $s$, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; for a semicircle 半圆 of diameter $s$, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. Set the shape's key length equal to the region's slice length $s(x)$, then integrate $A(x)$.

עברית

אותו שיטה, נוסחת שטח שונה: עבור משולש שווה-צלעות עם צלע $s$, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; עבור חצי-עיגול בקוטר $s$, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. הצבו את האורך המרכזי של הצורה לשווה לאורך הפס של האזור $s(x)$, ולאחר מכן אינטגרציה $A(x)$.

8.9

Volume with the Disc Method (About the x- or y-Axis) · ⁨נפח בעזרת שיטת הדיסק (סביב ציר ה-x או ציר ה-y)⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.1 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis may be found by using definite integrals with the disc method.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.C: חישוב נפחי גופי סיבוב באמצעות אינטגרלים מוגדרים.

CHA-5.C.1 נפחי גופי סיבוב סביב ציר $x$ או ציר $y$ ניתן למצוא באמצעות שימוש באינטגרלים מובנים בשיטת הדיסק.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Solids of revolution: the disc method

Revolving a region around an axis makes a solid of revolution 旋转体. If the region touches the axis, each slice is a disc 圆盘 of radius $r$ = the function value:

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

Around the $x$-axis, $r=f(x)$ and integrate in $x$; around the $y$-axis, express $x$ as a function of $y$ and integrate in $y$.

Worked example. Revolve the region under $y=\sqrt{x}$ from $x=0$ to $x=4$ about the $x$-axis. Each disc has radius $r=\sqrt{x}$, so

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

עברית

מרחבי סיבוב: שיטת הדיסק

סיבוב אזור סביב ציר יוצר מרחב סיבוב. אם האזור נוגע בציר, כל פס הוא דיסק ברדיוס $r$ = ערך הפונקציה:

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

סביב ציר ה-$x$, $r=f(x)$ ואינטגרלו ב$x$; סביב ציר ה-$y$, ביטאו את $x$ כפונקציה של $y$ ואינטגרלו ב$y$.

שיטת הדיסקים: סיבוב y=f(x) סביב ציר יוצר דיסקים ברדיוס f(x) — שיטת הדיסק: סיבוב y=f(x) סביב הציר יוצר דיסקים ברדיוס f(x)

דוגמה מפורטת. סובבים את האזור מתחת ל-$y=\sqrt{x}$ בין $x=0$ ל-$x=4$ סביב ציר ה-$x$. לכל דיסק יש רדיוס $r=\sqrt{x}$, ולכן

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

סיבוב אזור סביב ציר יוצר גוף סיבוב — סיבוב אזור סביב ציר יוצר מרחב סיבוב

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	ערך ממוצע
Displacement/dɪˈspleɪsmənt/	הזזה
Total distance travelled/ˈtəʊtl ˈdɪstəns ˈtrævld/	מרחק כולל שנסע
net change/net tʃeɪndʒ/	שינוי נטו
cross section/krɒs ˈsekʃn/	חתך רוחב
triangle/ˈtraɪæŋɡl/	משולש
semicircle/ˈsemɪsɜːkl/	חצי מעגל
solid of revolution/ˈsɒlɪd ɒv ˌrevəˈluːʃn/	גוף סיבוב
disc/dɪsk/	דיסק

8.10

Volume with the Disc Method (About Other Axes) · ⁨נפח בעזרת שיטת הדיסק (סביב צירים אחרים)⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.2 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line in the plane may be found by using definite integrals with the disc method.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.C: חישוב נפחי גופי סיבוב באמצעות אינטגרלים מוגדרים.

CHA-5.C.2 נפחי גופי סיבוב סביב כל קו אופקי אנכי במישור ניתן לחשב באמצעות אינטגרלים מוגדרים בשיטת הדיסק.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Around any horizontal or vertical line $y=k$ or $x=k$, the radius is the distance from the curve to that line, e.g. $r(x)=|f(x)-k|$. Set up the radius carefully, then use $V=\pi\int r^2$.

עברית

סביב כל קו אופקי או אנכי $y=k$ או $x=k$, הרדיוס הוא ה-מרחק מהעקומה לקו זה, לדוגמה $r(x)=|f(x)-k|$. הגדרו את הרדיוס בזהירות, ואז השתמשו ב-$V=\pi\int r^2$.

8.11 8.12

Volume with the Washer Method · ⁨נפח בשיטת הדאור (Washer Method)⁩

Syllabus · ⁨סיילבוס⁩

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.3 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.C: חישוב נפחי גופי סיבוב באמצעות אינטגרלים מוגדרים.

CHA-5.C.3 נפחי גופי סיבוב סביב ציר ה-$x$ או ציר ה-$y$ שחוציהם בצורת טבעת ניתן לחשב באמצעות אינטגרלים מוגדרים בשיטת החליפה.

English

Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.

Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.

CHA-5.C.4 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.

עברית

הבנה מתמשכת (CHA-5): אינטגרלים מוגדרים מאפשרים לפתור בעיות הקשורות להצטברות שינוי בשטח או בנפח לאורך קטע.

מטרות למידה CHA-5.C: חישוב נפחי גופי סיבוב באמצעות אינטגרלים מוגדרים.

CHA-5.C.4 נפחי גופי סיבוב סביב כל קו אופקי אנכי שחוציהם בצורת טבעת ניתן לחשב באמצעות אינטגרלים מוגדרים בשיטת החליפה.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP⁩

English

Volume by the washer method

When the region does not touch the axis, each slice is a washer 垫圈 (a ring) with an outer radius $R$ and inner radius $r$:

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$ is the distance from the axis to the farther boundary and $r$ to the nearer one. Around a line other than an axis, both radii are measured as distances to that line – a very common exam variation (e.g. revolving about $y=-2$).

עברית

נפח בשיטת הדאור

כאשר האזור אינו נוגע בציר, כל פרוסה היא דאור (טבעת) עם רדיוס חיצוני $R$ ורדיוס פנימי $r$:

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$ הוא המרחק מהציר לגבול ה-רחוק ביותר ו-$r$ לגבול ה-קרוב ביותר. סביב קו שאינו ציר, שני הרדיוסים נמדדים כמרחקים אליו – משתנה מבחן נפוץ מאוד (למשל, סיבוב סביב $y=-2$).

Vocabulary · ⁨מילון מונחים⁩ Train · ⁨אימון⁩

English	עברית
washer/ˈwɒʃə/	עוּגָה (חישוק)

8.11 8.12

Exam tips · ⁨טיפים לבחינות⁩

English

Area between curves is $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — find the intersection points for the limits and keep top minus bottom.
For a volume of revolution, add up disc/washer cross-sections of area $\pi r^2$ (or $\pi(R^2-r^2)$).
The average value of $f$ on $[a,b]$ is $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
Accumulated change is $\int$ of a rate: total = initial value $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integration means "adding up infinitely many tiny pieces" — set up the integrand as one thin slice.

עברית

שטח בין עקומות הוא $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — מצאו את נקודות החיתוך עבור הגבולות ושמרו על עליון פחות תחתון.
עבור נפח סיבוב, חברו את חצאי המבחן של דיסק/דאור בשטח $\pi r^2$ (או $\pi(R^2-r^2)$).
הערך הממוצע של $f$ על $[a,b]$ הוא $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
שינוי מצטבר הוא $\int$ של קצב: סך הכל = ערך התחלתי $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
אינטגרציה פירושה "חיבור אינסוף חלקים זעירים" – הגדירו את האינטגרנד כפרוסה דקה אחת.

Interactive lessons on this topic · ⁨שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.⁩

Past Papers · ⁨מבחני עבר⁩

More topics in AP Calculus AB · ⁨קלקולוס AB - AP⁩ · ⁨נושאים נוספים בAP Calculus AB · ⁨קלקולוס AB - AP⁩⁩