WO.5 · Diffraction envelopes and missing interference orders

Deux fentes égales peuvent avoir le bon déphasage pour une interférence constructive et encore délivrer aucune intensité à cet angle.

Prérequis : 3, 17.

• Dériver et évaluer l'intensité en champ lointain d'une fente unique par superposition des amplitudes
• Séparer l'espacement de l'interférence à double fente de la largeur de l'enveloppe à ouverture finie
• Identifier les ordres manquants et exposer les limites des formules en champ lointain et aux petits angles

Pour une fente uniformément éclairée de largeur a, les contributions en champ lointain sur toute son ouverture arrivent avec un gradient de phase k sinθ. Additionner leurs amplitudes complexes avant de les élever au carré : l'intégrale normalisée sur x de −a/2 à a/2 est sinβ/β, où β=πa sinθ/λ. Le rapport d'intensité est (sinβ/β)². À θ=0, prendre la limite sinβ/β→1, plutôt que de considérer le centre comme indéfini ou sombre. Les zéros se situent à a sinθ=mλ avec m entier non nul. Le pic central s'étend entre les premiers zéros et est deux fois plus large qu'un intervalle zéro-à-zéro adjacent en sinθ. Les maxima des pics latéraux ne sont pas exactement à mi-chemin entre leurs zéros.

Aux petits angles sur un écran distant L, y≈Lθ et sinθ≈θ donnent les premiers zéros y≈±Lλ/a. La largeur centrale est donc 2Lλ/a. Utiliser cohéremment les mètres : une fente de millimètre et une longueur d'onde de nanomètre diffèrent de six puissances de dix. Pour un angle plus grand, utiliser θ=asin(mλ/a) et y=L tanθ ; l'expression des petits angles pour y devient alors inexacte. Les conditions de champ lointain nécessitent des rayons quasi parallèles provenant de différentes parties de l'ouverture, par exemple L beaucoup plus grand que a²/λ, ou l'arrangement équivalent focal-plan. Les motifs de Fresnel en champ proche ne peuvent pas avoir cette loi d'intensité appliquée aveuglément.

Pour deux fentes identiques, uniformément éclairées et de largeur a, séparées par d, le motif normalisé est (sinβ/β)² cos²α, avec α=πd sinθ/λ et l'intensité centrale comme normalisation. Le facteur cos² produit les ordres d'interférence d sinθ=nλ ; le facteur simple-fente donne les zéros de l'enveloppe plus large. Aux petits angles, l'espacement inter-franges voisin est λL/d. Augmenter d réduit l'espacement des franges ; augmenter a réduit l'enveloppe. Ce sont des changements distincts. La formule d'interférence de fentes étroites de hauteur égale seule ne prédit pas l'atténuation de luminosité ni les ordres manquants des ouvertures finies. Des sources incohérentes ne maintiennent pas le même terme croisé dépendant de la phase.

Un ordre manquant survient lorsque nλ/d=mλ/a simultanément, donnant n=m d/a. Si d/a est un entier r, les ordres ±r, ±2r, etc., sont annulés par les zéros d'ouverture. Ne pas compter un ordre à la frontière de l'enveloppe comme une bande brillante visible. Dans l'enveloppe centrale, les centres nominaux des ordres d'interférence satisfont |n|<d/a ; lorsque r est un entier, il y a 2r−1 tels centres. Pour une largeur de fente finie, les maxima locaux exacts sont légèrement décalés par l'évolution de l'enveloppe, donc les emplacements des ordres d'interférence constituent une approximation des centres de pics observés. Identifier quelle quantité est demandée avant de traiter chaque maximum de cos² comme un maximum exact du produit.

Pour deux fentes finies, séparer l'espacement de l'interférence de l'enveloppe simple-fente.

Si d = 5a, le premier zéro de l'enveloppe $a\sin\theta=\lambda$ coïncide avec l'ordre n = 5. Les ordres nominaux centrés dans l'enveloppe centrale sont n = -4 à +4 : neuf au total. Ce sont des centres d'interférence ; l'enveloppe peut déplacer légèrement les maxima exacts du produit.

Ajoutez les amplitudes de champ avant de les élever au carré, distinguez a de d, et excluez les ordres aux limites sombres. Un maximum d'interférence seul ne garantit pas un maximum du motif complet.

enveloppe de diffraction : Facteur d'intensité dépendant de l'ouverture qui module le motif d'interférence.

ordre manquant : Ordre d'interférence annulé parce qu'il coïncide avec un zéro d'intensité d'ouverture.