M · Probability

AQA A-level Mathématiques 7357, section M (Probabilités), version 1.3 (premier examen 2018). Notes d'enseignement originales.

Prérequis : arbres de probabilité et diagrammes de Venn du GCSE.

Ce sont des exemples d'enseignement originaux, pas du matériel officiel AQA.

La question

• Deux jetons sortent d'une poche contenant 3 rouge et 2 bleu, l'un après l'autre. Les probabilités du deuxième tirage diffèrent de celles du premier — est-ce une erreur ou le point clé ?
• Avant de continuer, expliquez ce que « sans remise » modifie et comment un arbre l'illustre.

La méthode

• Multipliez le long d'une branche d'arbre et additionnez les branches disjointes pour un résultat. La probabilité conditionnelle restreint l'espace échantillon : P(A sachant B) = P(A ∩ B)/P(B) pour P(B) > 0. Sans remise, la composition change pour le prochain tirage.
• Mutuellement exclusif signifie qu'il n'y a pas de chevauchement ; indépendant signifie qu'en connaître un événement ne change pas la probabilité de l'autre. Deux événements disjoints avec une probabilité positive ne sont jamais indépendants : si A se produit, P(B) chute à 0.
• probabilité conditionnelle : La probabilité d'un événement au sein du groupe sélectionné par des informations données ; mutuellement exclusif : Événements qui ne peuvent pas se produire ensemble ; indépendant : Événements où connaître l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre\u2019.

Vérification de votre travail

• Remplir un diagramme de Venn à partir de la SUPERPOSITION vers l'extérieur : avec 18 en cycle, 12 nageant et 7 pratiquant les deux, les seules régions restantes sont 11 et 5, donc au moins un est 23 et aucun n'est 7 de 30. L'addition de 18 + 12 compte doublement la zone 7.
• Une probabilité conditionnelle utilise le total du groupe conditionné comme dénominateur : P(nager sachant cycler) = 7/18, pas 7/30. Inverser la condition change généralement la valeur.

Cas résolu

• Connu : 3 rouge et 2 bleu, deux tirages sans remise. P(deux rouges) = 3/5 × 2/4 = 3/10. P(un de chaque) = 3/5 × 2/4 + 2/5 × 3/4 = 3/10 + 3/10 = 6/10. Les branches se multiplient et les chemins disjoints s'additionnent.

Exemple :

Étant donné P(A ∩ B) = 0.12 et P(B) = 0.3, trouvez P(A sachant B) en suivant la même séquence : identifiez le groupe conditionné → divisez → interprétez. (Réponse : P(A sachant B) = 0.12/0.3 = 0.4. Le dénominateur est la probabilité de B, pas l'espace entier.)

Limites et pièges

• Indépendance et exclusivité répondent à des questions différentes : les événements disjoints avec une probabilité positive sont toujours dépendants. Les effectifs attendus (np) sont des moyennes à long terme, pas des garanties pour un seul essai.

Avertissement :

Les événements mutuellement exclusifs avec des probabilités positives doivent être indépendants. Cette affirmation est fausse : si A et B ne peuvent pas se produire ensemble, alors P(B sachant A) = 0 ≠ P(B) — savoir que A s'est produit change complètement la probabilité de B, l'opposé de l'indépendance.

Clé :

Probabilité : multipliez le long des branches, additionnez les chemins disjoints ; probabilité conditionnelle : divisez par le groupe conditionné ; sans remise, les probabilités évoluent ; disjoints avec probabilité positive signifie dépendant, jamais indépendant.