AQA A-level Mathematics 7357, section C (Géométrie analytique), version 1.3 (première évaluation 2018). Notes d'enseignement originales.
Prérequis : droites GCSE, théorème de Pythagore et équations quadratiques.
Ce sont des exemples d'enseignement originaux, pas du matériel officiel AQA.
3.2
Géométrie analytique
La question
La coupe transversale d'une antenne parabole et le jante d'une roue sont tous deux des cercles, mais seule la jante peut s'écrire (x − a)² + (y − b)² = r² avec un centre lisible d'un coup d'œil. Que vous apporte cette équation ?
Avant de continuer, indiquez ce que chaque paramètre a, b et r contrôle, et comment trouver une direction tangente sans utiliser la dérivation.
La méthode
Une droite passant par (x₁, y₁) avec pente m est donnée par y − y₁ = m(x − x₁). Les droites parallèles partagent m ; des pentes finies perpendiculaires satisfont m₁ × m₂ = −1.
Un cercle de centre (a, b) et de rayon r est défini par (x − a)² + (y − b)² = r². Le rayon menant à un point de contact est perpendiculaire à la tangente en ce point, donc la pente de la tangente est l'opposée inverse de celle du rayon. Un diamètre sous-tend un angle droit sur la circonférence.
Pente : La variation de y par unité de variation de x ; Cercle : L'ensemble des points situés à une distance fixe d'un centre ; Tangente : Une ligne touchant le cercle en un seul point, perpendiculaire au rayon en cet endroit.
Pente du rayon 4/3 et pente de la tangente −3/4 multipliées donnent −1 : droites perpendiculaires
Vérification de votre travail
Vérifiez qu'un point proposé appartient au cercle en substituant dans (x − a)² + (y − b)² = r² avant de construire la tangente. Complétez le carré pour extraire un centre de la forme développée x² + y² + px + qy + s = 0 — et ajustez également le membre de droite.
Intersectez une droite avec le cercle par substitution : une racine double signifie tangence, deux racines indiquent une corde, et un discriminant négatif signifie aucune intersection.
Cas résolu
Donné : le cercle x² + y² = 25 et le point (3, 4) dessus (3² + 4² = 25 ✓). Le rayon de (0, 0) à (3, 4) a pour pente 4/3, donc la pente de la tangente est −3/4 selon m₁ × m₂ = −1. La tangente est y − 4 = −(3/4)(x − 3), ce qui se réarrange en 3x + 4y = 25.
Exemple :
Trouvez le centre et le rayon de x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0 en suivant la même séquence : regroupez les termes → complétez chaque carré → lisez la forme. (Réponse : (x − 2)² + (y + 1)² = 25, donc le centre est (2, −1) et le rayon est 5 ; notez que les signes des parenthèses s'inversent pour le centre.)
Limites et pièges
La règle de l'opposée inverse nécessite des pentes finies et non nulles ; un rayon horizontal donne une tangente verticale, exprimée par x = constante. Une corde bisectée par une perpendiculaire au centre est un raccourci de triangle rectangle : demi-corde, rayon et distance au centre obéissent à Pythagore.
Avertissement :
La tangente au point d'un cercle a la même pente que le rayon menant à ce point. Cette affirmation est fausse : le rayon et la tangente sont perpendiculaires au point de contact, donc leurs pentes multipliées donnent −1 — en (3, 4), le rayon a pour pente 4/3 et la tangente a pour pente −3/4.
Clé :
Géométrie analytique : droites par point-pente, cercles par (x − a)² + (y − b)² = r². Les tangentes utilisent la relation de perpendicularité du rayon ; les intersections utilisent la substitution et le discriminant.
