Ce sont des exemples d'enseignement originaux, pas du matériel officiel AQA.
2.2
Algèbre et fonctions
La question
Deux élèves résolvent x² − 4x + 1 = 0. L'un complète le carré et obtient des réponses exactes ; l'autre substitue dans la formule et arrondit trop tôt, s'écartant ainsi de dixièmes. Qu'est-ce qui distingue une méthode exacte d'une méthode imprécise ?
Avant de lire la suite, indiquez quelles informations chaque méthode de résolution nécessite et comment vous vérifieriez une réponse finale.
La méthode
Une équation quadratique peut être résolue par factorisation, complétion du carré (a(x − h)² + k donnant le sommet (h, k)) ou par la formule. Le discriminant b² − 4ac compte les racines réelles avant toute résolution.
Une fonction associe à chaque entrée de son domaine exactement une sortie. Une réciproque n'existe que si la fonction est bijective sur son domaine — restreignez d'abord x² à x ≥ 0. La composition fg(x) = f(g(x)) applique g en premier, et fg et gf diffèrent généralement. Les transformations graphiques se lisent à partir de la forme factorisée a·f(b(x − h)) + k : mise à l'échelle par 1/b et a, puis translation par h et k.
complétion du carré : Réécriture d'une équation quadratique sous la forme a(x−h)²+k pour identifier le sommet et résoudre exactement ; discriminant : La quantité b²−4ac déterminant le nombre de racines réelles ; fonction : Une règle attribuant exactement une sortie pour chaque entrée autorisée ; domaine : L'ensemble des entrées autorisées d'une fonction.
La complétion du carré donne le sommet (2, −1) ; une réciproque est une réflexion dans y = x après restriction du domaine
Vérification de votre travail
Vérifiez chaque solution candidate dans l'équation originale, surtout après avoir élevé au carré (ce qui peut ajouter des racines fausses) ou divisé par une expression (ce qui peut perdre le cas zéro). Gardez les racines exactes jusqu'à l'arrondi demandé ; c'est en arrondissant en cours de calcul qu'on perd des dixièmes.
Pour une réciproque supposée, vérifiez f(f⁻¹(x)) = x sur le domaine de la réciproque, et énoncez explicitement ce domaine — la réciproque de x² n'existe que sur une branche restreinte.
Cas résolu
Donné : x² − 4x + 1 = 0. Complétion du carré : (x − 2)² − 4 + 1 = 0, donc (x − 2)² = 3. Réarrangé : x − 2 = ±√3. La substitution donne x = 2 + √3 ≈ 3.732 ou x = 2 − √3 ≈ 0.268. Vérification : (2 − √3)² − 4(2 − √3) + 1 = 7 − 4√3 − 8 + 4√3 + 1 = 0 ✓.
Exemple :
Pour f(x) = x² − 4 avec domaine x ≥ 0, trouvez la réciproque et son domaine en suivant la même séquence : relation donnée → réarrangement → sélection de la branche → énoncé du domaine et de l'image. (Réponse : à partir de y = x² − 4, x = √(y + 4) en utilisant la branche x ≥ 0, donc f⁻¹(x) = √(x + 4) avec domaine x ≥ −4 et image y ≥ 0.)
Limites et pièges
La formule fonctionne toujours, mais les formes exactes sont préférables lorsque les racines sont des racines carrées ; une décimale n'est qu'une approximation. La composition dépend de l'ordre, et un graphique transformé doit être vérifié en traçant un point connu, pas seulement par la formule.
Avertissement :
La fonction f(x) = x² possède une réciproque sur tous les nombres réels. Cette affirmation est fausse : deux entrées partagent chaque sortie (2 et −2 donnent toutes deux 4), donc la correspondance inverse n'est pas une fonction — le domaine doit d'abord être restreint, par exemple à x ≥ 0, donnant f⁻¹(x) = √x.
Clé :
Algèbre et fonctions : complétez le carré ou utilisez la formule avec le discriminant comme compteur de racines ; vérifiez les candidats dans l'équation originale. Les fonctions nécessitent des domaines explicites ; les réciproques exigent des branches bijectives, et les transformations graphiques se lisent à partir de la forme factorisée.
