Une machine remplit des bouteilles avec un léger écart autour de 500 ml, tandis qu'un compteur de défauts est toujours un nombre entier. Un modèle utilise des aires sous une courbe lisse ; l'autre compte des probabilités discrètes. Lequel correspond à quoi ?
Avant de poursuivre, expliquez ce qui rend un compteur binomial et ce qu'un modèle continu nécessite.
La méthode
Une distribution binomiale exige n fixe, des essais indépendants, deux issues possibles et une probabilité p constante : P(X = k) = C(n,k) pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, avec E(X) = np et Var(X) = np(1 − p). La valeur attendue est la moyenne pondérée par les probabilités.
Une quantité continue suit une courbe de densité : la probabilité correspond à une AIRE, et P(X = x) = 0 pour toute valeur exacte. La distribution normale se standardise via z = (x − μ)/σ avant de consulter une probabilité en queue de distribution. Un modèle de Poisson compte des événements à un taux constant, avec une moyenne égale à sa variance.
distribution binomiale : Le nombre de succès lors de n essais indépendants à deux issues avec une probabilité p constante ; valeur attendue : La moyenne pondérée par les probabilités d'une variable aléatoire ; distribution normale : Le modèle symétrique en forme de cloche pour les quantités continues, standardisé par z = (x − μ)/σ.
B(5, 0.2) : P(X = 0) = 0.8⁵ ≈ 0.328, moyenne 1 ; pour N(100, 15²), x = 130 se standardise en z = 2
Vérification de votre travail
Vérifiez les conditions binomiales avant d'utiliser la formule : l'échantillonnage sans remise rend les essais dépendants et modifie p, rendant le modèle invalide. Tous les compteurs ne sont pas binomiaux.
Pour une variable continue, ne demandez jamais P(X = exactement 130) : calculez plutôt une probabilité en queue ou dans un intervalle. Définissez l'événement avant le calcul et tracez d'abord la zone hachurée.
Cas résolu
Connues : X ~ binomial(5, 0.2). P(X = 0) = 0.8⁵ = 0.32768. E(X) = np = 1 et Var(X) = np(1 − p) = 0.8. Pour une variable normale avec μ = 100, σ = 15, la valeur 130 a pour z = (130 − 100)/15 = 2, elle se situe donc à deux écarts-types au-dessus de la moyenne.
Exemple :
Pour X ~ binomial(5, 0.2), trouvez P(X = 1) en suivant cette séquence : choisir le modèle → appliquer la formule → effectuer la substitution. (Réponse : P(X = 1) = C(5,1) × 0.2 × 0.8⁴ = 5 × 0.2 × 0.4096 = 0.4096.)
Limites et pièges
Les moments binomiaux ne s'appliquent que si les quatre conditions sont réunies. Un modèle normal exige des données approximativement symétriques ; une correction de continuité est nécessaire lors de l'approximation d'une distribution discrète par une normale.
Avertissement :
Tout compteur de succès suit une distribution binomiale, quelle que soit la dépendance. Cette affirmation est fausse : le modèle exige des essais indépendants avec une probabilité p constante — l'échantillonnage sans remise ou un taux de succès variable l'invalident, et la formule donnerait alors une précision trompeuse.
Clé :
Distributions statistiques : binomiale pour les compteurs fixes-n indépendants (E = np, Var = np(1 − p)) ; normale pour les quantités continues via z = (x − μ)/σ ; les probabilités sont des aires pour les modèles continus et des termes exacts pour les discrets.
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