AQA A-level Mathematics 7357, section O (Tests d'hypothèses statistiques), version 1.3 (première évaluation 2018). Notes pédagogiques originales.
Prérequis : les modèles binomial et normal de la section N.
Ce sont des exemples d'enseignement originaux, pas du matériel officiel AQA.
15.2
Tests d'hypothèses statistiques
La question
Une usine prétend un taux de défauts de 10%, et un échantillon de 10 contient 3 défauts. Un élève affirme : « 3 défauts prouvent que le taux dépasse 10%. » Quelle est la bonne méthode pour tester cette affirmation ?
Avant de poursuivre, identifiez l'hypothèse par défaut, l'hypothèse alternative et la probabilité contre laquelle l'évidence doit être jugée.
La méthode
Énoncez l'hypothèse nulle H₀ et l'hypothèse alternative H₁ en paramètres de population AVANT d'examiner les résultats. Calculez la probabilité, sous H₀, d'obtenir un résultat au moins aussi extrême que celui observé — il s'agit de la probabilité en queue de distribution.
Comparez-la au niveau de signification choisi (par exemple 5%). Si la probabilité en queue est inférieure ou égale au niveau, rejetez H₀ ; sinon, concluez que l'évidence est INSUFFISANTE, jamais que H₀ est vérifiée. La signification statistique ne renseigne rien sur la taille pratique d'un effet.
hypothèse nulle : L'affirmation par défaut concernant un paramètre de population, testée face aux données ; hypothèse alternative : L'affirmation acceptée si les preuves contre H₀ sont suffisamment fortes ; niveau de signification : Le seuil de probabilité choisi pour rejeter l'hypothèse nulle.
P(X ≥ 3) ≈ 0.0702 > 0.05, donc il n'y a pas assez de preuves pour rejeter H₀, ce qui ne prouve pas H₀
Vérification de votre travail
Choisissez la queue selon H₁, et non selon celle qui donne un petit nombre : H₁ : p > 0.1 nécessite P(X ≥ observé), une queue supérieure. Les tests bilatéraux doublent la queue lorsque l'affirmation est « différente », et non « supérieur ».
Les hypothèses concernent le PARAMÈTRE (le vrai taux de défauts), et non l'échantillon ; elles sont fixées avant l'observation des données, sinon le test est truqué.
Cas résolu
Connu : H₀ : p = 0.1, H₁ : p > 0.1, n = 10, et 3 défauts observés. Sous H₀, X ~ binomiale(10, 0.1) : P(X ≥ 3) = 1 − (0.9¹⁰ + 10 × 0.1 × 0.9⁹ + 45 × 0.01 × 0.9⁸) ≈ 1 − 0.9298 = 0.0702. Au niveau de 5%, 0.0702 > 0.05 : preuve insuffisante que le taux de défauts dépasse 10%.
Exemple :
Une valeur-p unilatérale correcte est 0.03 au niveau de 5%. Énoncez la conclusion en suivant cette séquence : comparer avec le niveau → conclure dans le contexte. (Réponse : 0.03 < 0.05, donc rejeter H₀ : les preuves soutiennent l'affirmation alternative au niveau de 5%.)
Limites et pièges
Ne pas rejeter H₀ n'est pas une preuve qu'elle est vraie — l'échantillon peut simplement être trop petit pour détecter une réelle différence. Un niveau de 5% signifie 1 sur 20 affirmations innocentes seront « rejetées » par hasard sur de nombreux tests ; la signification ne mesure pas l'importance.
Avertissement :
Ne pas rejeter une hypothèse nulle prouve qu'elle est vraie. Cette affirmation est fausse : le test mesure uniquement si les preuves contre H₀ dépassent le seuil. Des preuves faibles laissent H₀ non prouvée, ni prouvée — « preuve insuffisante » et « prouvé vrai » sont des conclusions entièrement différentes.
Clé :
Test d'hypothèse statistique : énoncer H₀ et H₁ en paramètres d'abord, calculer la probabilité de la queue sous H₀, comparer avec le niveau de signification prédéfini, et conclure dans le contexte — jamais affirmer que l'hypothèse nulle est prouvée lorsqu'elle subsiste.
