Un échantillon est divisé par deux toutes les 3.5 heures, mais le laboratoire a besoin du niveau à 5 heures — aucun tableau ne donne cette valeur. Comment une formule remplace-t-elle le tableau manquant ?
Avant de lire, indiquez quels paramètres le modèle y = Ae^(kt) nécessite comme entrée, et comment un graphique logarithmique pourrait récupérer k à partir de données.
La méthode
Dans y = Ae^(kt), A représente la quantité initiale et k le taux proportionnel : positif pour la croissance, négatif pour la décroissance. La demi-vie est ln 2/|k| ; le temps de doublement est ln 2/k.
Le logarithme est l'inverse de l'exponentielle : y = a^x signifie x = log_a y, défini uniquement pour y positif. Les règles logarithmiques découlent des règles des exposants : log(uv) = log u + log v, log(u/v) = log u − log v, log(uᵏ) = k log u. Résoudre a^x = b donne x = ln b / ln a. Tracer ln y en fonction de t transforme y = Ae^(kt) en la droite ln y = ln A + kt.
Demi-vie : le temps nécessaire pour qu'une quantité en décroissance atteigne la moitié de sa valeur initiale ; Logarithme : l'exposant auquel une base donnée doit être élevée pour produire un nombre positif spécifié.
Les exponentielles et logarithmes sont des fonctions réciproques ; ln y en fonction de t est une droite, et la demi-vie est ln 2 / 0.2 ≈ 3.47 heures
Vérification de votre travail
Un modèle exponentiel ajusté est un modèle : vérifiez son unité de temps déclarée et sa plage avant de prédire, et comparez une prédiction avec une mesure récente (résidu) avant de faire confiance. Un k négatif signifie une décroissance ; une quantité initiale négative contredit généralement le contexte.
Dans les équations logarithmiques, notez d'abord le domaine original : chaque argument de tout logarithme doit être positif, donc les candidats obtenus après combinaison des logarithmes doivent être vérifiés par rapport à celui-ci.
Cas résolu
Données : y = 80e^(−0.2t), y en grammes, t en heures. La moitié de la quantité implique 40 = 80e^(−0.2t), soit e^(−0.2t) = 1/2. En prenant le logarithme naturel : −0.2t = −ln 2, donc t = ln 2/0.2 ≈ 3.466 heures. Le même k permet de déterminer la demi-vie pour n'importe quelle quantité initiale.
Exemple :
Résoudre 3^x = 20 en suivant la même séquence : prendre les logarithmes → appliquer la loi des puissances → diviser → interpréter. (Réponse : x ln 3 = ln 20, donc x = ln 20/ln 3 ≈ 2.727. Vérification : 3^2.727 ≈ 20.)
Limites et pièges
Les lois logarithmiques s'appliquent uniquement aux arguments positifs ; ln(x + y) n'a PAS de loi de somme (ln 2 + ln 3 = ln 6 ≠ ln 5). Le modèle exponentiel nécessite que son unité de temps corresponde à k ; un taux annuel effectif de 10 % signifie k = ln 1.1, et non k = 0.1.
Avertissement :
Pour x et y positifs, ln(x + y) = ln x + ln y. Cette affirmation est fausse : la loi du produit est ln(xy) = ln x + ln y ; il n'existe aucune loi pour une somme à l'intérieur d'un logarithme, comme le montre x = y = 1 (ln 2 ≈ 0.69 mais ln 1 + ln 1 = 0).
Clé :
Fonctions exponentielles et logarithmes : y = Ae^(kt) avec demi-vie ln 2/|k| ; les logarithmes inversent les exponentielles, respectent les lois du produit/quotient/puissance et transforment un ajustement exponentiel en une droite. Vérifiez les domaines et les unités avant de résoudre.
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