G · Differentiation

AQA A-level Mathematics 7357, section G (Dérivation), version 1.3 (premier examen 2018). Notes d'enseignement originales.

Prérequis : manipulation algébrique et notation fonctionnelle de la section B.

Ce sont des exemples d'enseignement originaux, pas du matériel officiel AQA.

La question

• La courbe distance-temps d'une voiture continue de s'incurver, donc aucune « vitesse » unique ne convient à tout le trajet — pour autant, le compteur affiche un nombre maintenant. Que signifie géométriquement ce nombre ?
• Avant de poursuivre, expliquez comment la pente d'une tangente diffère de la vitesse moyenne entre deux instants.

La méthode

• La dérivée est la limite du quotient des différences [f(x+h) − f(x)]/h lorsque h → 0 : la pente de la tangente et le taux instantané. Pour y = axⁿ, dy/dx = anxⁿ⁻¹ ; les formes trigonométriques et exponentielles suivent : (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, en radians.
• Un point stationnaire a dy/dx = 0 ; classifiez-le par le changement de signe de la dérivée ou par le signe de la dérivée seconde (positive : minimum local ; négative : maximum local). Les règles de chaîne, de produit et de quotient gèrent les formes composées, en conservant chaque facteur de taux interne.
• Dérivée : Le taux de variation instantané, la pente de la tangente ; point stationnaire : Un point où la dérivée est nulle ; dérivée seconde : La dérivée de la dérivée, mesurant comment la pente change.

Vérification de votre travail

• Une dérivée nulle n'est qu'un candidat : y = x³ est stationnaire à 0 mais continue de monter, donc la classification nécessite le changement de signe ou f″. Sur un intervalle restreint, comparez aussi les valeurs aux bornes — l'extrême global peut se situer à une extrémité.
• Après avoir dérivé un produit tel que xeˣ, vérifiez à une entrée facile : la règle du produit donne eˣ + xeˣ, qui en x = 0 vaut 1, pas 0. Multiplier les dérivées séparées donnerait la mauvaise valeur là.

Cas résolu

• Connue : y = x³ − 3x, donc dy/dx = 3x² − 3. Stationnaire où 3x² − 3 = 0 : x = ±1. La dérivée seconde est 6x : en x = 1 elle vaut 6 > 0, donc (1, −2) est un minimum local ; en x = −1 elle vaut −6 < 0, donc (−1, 2) est un maximum local.

Exemple :

Pour y = x³ − 3x en x = 2, trouvez les équations de la tangente et de la normale en suivant la même séquence : point depuis f → pente depuis f′ → équations de droite. (Réponse : y = 2 en x = 2 et la pente est 9, donc la tangente est y − 2 = 9(x − 2) et la normale est y − 2 = −(1/9)(x − 2).)

Limites et pièges

• La dérivée fournit la pente, pas la coordonnée y — le point provient toujours de la courbe originale. Une tangente horizontale (pente 0) a une normale verticale, exprimée sous la forme x = constante, car l'opposé de l'inverse de zéro n'existe pas.

Avertissement :

Tout point avec une dérivée nulle est un maximum ou un minimum local. Cette affirmation est fausse : y = x³ a dy/dx = 0 en x = 0 mais la dérivée 3x² reste positive des deux côtés — un point stationnaire d'inflexion, sans aucun extremum.

Clé :

Dérivation : la dérivée est la limite de la pente de la sécante, donnant la pente de la tangente et le taux. Les candidats stationnaires viennent de f′ = 0 et sont classés par le changement de signe ou f″ ; les tangentes et normales utilisent le point venant de f et la pente venant de f′.