D · Sequences and series

AQA A-level Mathematics 7357, section D (Suites et séries), version 1.3 (première évaluation 2018). Notes d'enseignement originales.

Prérequis : suites arithmétiques GCSE et systèmes d'équations simultanées.

Ce sont des exemples d'enseignement originaux, pas du matériel officiel AQA.

La question

• Un épargnant dépose le même montant chaque année tandis qu'un investissement augmente du même pourcentage chaque année. Après huit ans, quel solde pouvez-vous totaliser exactement en une seule ligne ?
• Avant de continuer, dites laquelle des deux croît par addition et laquelle par multiplication, et ce que chaque formule de somme nécessite.

La méthode

• Une suite arithmétique ajoute une différence constante : uₙ = a + (n − 1)d. Sa série se somme par appariement des extrémités : Sₙ = n(a + uₙ)/2. Une suite géométrique multiplie par un rapport constant : uₙ = arⁿ⁻¹, avec Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) pour r ≠ 1.
• Une somme géométrique infinie n'existe que lorsque |r| < 1, car les termes diminuent vers zéro : S∞ = a/(1 − r). Une relation de récurrence définit chaque terme à partir du précédent et nécessite une valeur initiale ; une suite périodique se répète après un nombre fixe d'étapes.
• Suite arithmétique : Une suite ayant une différence constante entre les termes ; Suite géométrique : Une suite ayant un rapport constant entre les termes ; Relation de récurrence : Une règle donnant chaque terme à partir de la valeur précédente ; Suite périodique : Une suite dont les termes se répètent après un nombre fixe d'étapes.

Vérification de votre travail

• Récupérer a et d à partir de deux termes donnés par un système d'équations simultanées avant d'utiliser une formule : u₃ = 10 et u₇ = 22 donnent 4d = 12, donc d = 3 et a = 4. Le nombre de termes doit donner un entier positif ; une fraction ou une racine négative est rejetée, jamais arrondie en place.
• Vérifier une somme prétendue contre les premiers termes directement, et valider un objectif minimal contre les entiers des DEUX côtés du point de franchissement.

Cas résolu

• Connu : a = 5, d = 3, n = 8. Le huitième terme est u₈ = 5 + 7 × 3 = 26. La somme est S₈ = n(a + uₙ)/2 = 8(5 + 26)/2 = 124. Chacune des quatre paires aux extrémités totalise 31, et 4 × 31 = 124 ✓.

Exemple :

Pour a = 12, r = 0.5, trouvez la somme infinie et le premier n dont la somme partielle dépasse 23.9, en utilisant la même suite : connu → formule → substitution → vérification entière. (Réponse : S∞ = 12/(1 − 0.5) = 24. Les sommes partielles sont Sₙ = 24(1 − 0.5ⁿ) : S₇ = 24(1 − 1/128) = 23.8125 < 23.9 et S₈ = 24(1 − 1/256) = 23.90625 ≥ 23.9, donc n = 8.)

Limites et pièges

• La formule de la somme infinie est invalide pour r = 1 ou r = −1, où les termes ne décroissent pas ; un rapport négatif converge si sa VALEUR ABSOLUE est inférieure à 1. Une récurrence exige que l'ordre des opérations soit strictement respecté : B suivant = 1.1B + 50 diffère de 1.1(B + 50).

Avertissement :

Toute série géométrique admet une somme finie à l'infini. Cette affirmation est fausse : la somme n'existe que si |r| < 1. Pour r = 2, les termes croissent sans limite, et pour r = −1, les sommes partielles oscillent indéfiniment — aucune ne converge.

Clé :

Suites et séries : arithmétique additionne (paires aux extrémités), géométrique multiplie (Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r), et S∞ = a/(1−r) uniquement pour |r| < 1). Récupérer les paramètres depuis les termes donnés, et exiger des réponses entières pour les comptes.