E · Trigonometry

AQA A-level Mathematics 7357, section E (Trigonométrie), version 1.3 (première évaluation 2018). Notes pédagogiques originales.

Prérequis : trigonométrie du triangle rectangle au GCSE et valeurs exactes.

Ce sont des exemples d'enseignement originaux, pas du matériel officiel AQA.

La question

• Deux étudiants se voient donner A = 30°, a = 7 et b = 10. L'un rapporte un seul triangle ; l'autre soutient qu'il y en a deux, tous deux rectangles. Quelle information distingue les cas ?
• Avant de continuer, indiquer quelle règle associe les côtés aux angles opposés, et quel contrôle supplémentaire requiert une réponse en arcsinus.

La méthode

• Sur le cercle unité, le point à l'angle θ est (cos θ, sin θ), donc les signes suivent le quadrant et les valeurs exactes proviennent des triangles 30-60-90 et 45-45-90. Un radian est l'angle dont l'arc est égal au rayon : s = rθ et aire du secteur = r²θ/2 exigent des radians.
• La loi des sinus associe les côtés opposés et les angles : a/sin A = b/sin B. La loi des cosinus a² = b² + c² − 2bc cos A utilise l'angle opposé à a. Dans le cas ambigu, sin B = b sin A / a peut donner B ou son supplément 180° − B — les deux doivent être testés contre l'angle restant.
• Cercle unité : Le cercle de rayon 1 sur lequel (cos θ, sin θ) est le point à l'angle θ ; radian : L'angle sous-tendu par un arc de longueur égale au rayon ; loi des sinus : La règle a/sin A = b/sin B associant côtés opposés et angles ; loi des cosinus : La règle a² = b² + c² − 2bc cos A ; cas ambigu : La situation de la loi des sinus où deux triangles peuvent correspondre aux mêmes données.

Vérification de votre travail

• Choisir la règle selon les informations connues : une paire côté-angle correspondante appelle la loi des sinus ; deux côtés avec l'angle INCLUS, ou trois côtés, appellent la loi des cosinus. Pour l'aire, ab sin C / 2 nécessite l'angle ENTRE a et b.
• Tester chaque angle candidat : l'angle restant C = 180° − A − B doit être positif, et tout côté positif. L'arcsinus d'une calculatrice retourne uniquement la valeur principale aiguë — le supplément est un candidat séparé.

Cas résolu

• Connues : côtés 6 et 8 forment un angle de 60°. Utilisez la loi des cosinus : c² = ² + 6 × ² + 8 × ² − 2 × 6 × 8 × cos 60° = 36 + 64 − 96 × 0.5 = 52. Donc c = √52 = 2√13 ≈ 7.21. L'aire est (1/2) × 6 × 8 × sin 60° = 24 × (√3/2) = 12√3.

Exemple :

Pour A = 30°, a = 7, b = 10, trouver les valeurs possibles de B en utilisant la même séquence : connu → loi des sinus → les deux branches → vérification de validité. (Réponse : sin B = 10 × sin 30°/7 = 5/7, donc B ≈ 45.6° ou B ≈ 180° − 45.6° = 134.4°. Les deux laissent un troisième angle positif, donc DEUX triangles conviennent.)

Limites et pièges

• Le cas ambigu nécessite le dénombrement : avec h = b sin A et A aigu, a < h donne aucun, a = h donne un triangle rectangle, h < a < b donne deux, et a ≥ b donne un. Les équations trigonométriques sur un intervalle doivent lister chaque solution : sin x = 1/2 sur [0, 2π) a à la fois π/6 et 5π/6.

Avertissement :

La valeur arcsinus de la calculatrice est le seul angle possible dans un problème utilisant la loi des sinus. Cette affirmation est fausse : le sinus est positif dans deux quadrants, donc l'angle supplementaire 180° − B est une deuxième candidate et doit être vérifiée, ce qui correspond exactement au cas ambigu.

Clé :

Trigonométrie : cercle unité pour les valeurs et les signes, radians pour les arcs et les secteurs, loi des sinus avec son cas ambigu, loi des cosinus pour les angles compris, et ab sin C / 2 pour l'aire — toujours avec une vérification de validité sur l'angle restant.