H · Integration

AQA A-level Mathematics 7357, section H (Intégration), version 1.3 (premier examen 2018). Notes d'enseignement originales.

Prérequis : dérivation de la section G.

Ce sont des exemples d'enseignement originaux, pas du matériel officiel AQA.

La question

• Le graphique de vitesse d'un coureur descend sous l'axe du temps pendant un moment, puis remonte. L'« aire sous la courbe » est presque nulle — le coureur n'a-t-il pas bougé ?
• Avant de continuer, expliquez ce qu'est une aire signée et en quoi la distance totale diffère du déplacement.

La méthode

• L'intégration inverse la dérivation : une primitive de axⁿ est axⁿ⁺¹/(n+1) + C pour n ≠ −1, tandis que 1/x s'intègre en ln|x| + C. Une intégrale définie de a à b représente une accumulation signée : F(b) − F(a).
• L'aire signée s'annule lorsque la courbe traverse l'axe, donc l'aire positive totale nécessite de SÉPARER l'intégrale à chaque intersection. Le Théorème fondamental relie les deux sens : dériver une fonction d'accumulation redonne l'intégrande.
• Primitive : Une fonction dont la dérivée est l'intégrande donnée ; Intégrale définie : L'accumulation signée d'une fonction entre deux bornes ; Théorème fondamental : Le lien bidirectionnel selon lequel la dérivée de la fonction d'accumulation redonne l'intégrande.

Vérification de votre travail

• Vérifiez chaque primitive en la dérivant, et conservez la constante C pour les intégrales indéfinies — un point fourni la fixe. Le cas n = −1 est distinct : 1/x s'intègre en ln|x|, jamais par la règle de puissance avec division par zéro.
• Avant de calculer l'aire totale, trouvez les changements de signe de l'intégrande sur l'intervalle et séparez-y l'intégrale ; une vitesse changeant de signe rend le déplacement et la distance totale différents.

Cas résolu

• Donné : v(t) = 3t² − 3 pour 0 ≤ t ≤ 2. Une primitive est t³ − 3t. Déplacement = [t³ − 3t] de 0 à 2 = (8 − 6) − 0 = 2 m. Mais v = 0 à t = 1, donc distance totale = −[t³ − 3t] de 0 à 1 + [t³ − 3t] de 1 à 2 = 2 + 4 = 6 m.

Exemple :

Trouvez l'aire entre y = x² et l'axe des x de 0 à 1, puis l'estimation par rectangle à droite avec 4 bandes, en utilisant la même suite. (Réponse : exact ∫₀¹ x² dx = 1/3 ≈ 0.333 ; l'estimation est (1/4)(1/16 + 1/4 + 9/16 + 1) = 15/32 ≈ 0.469, une surestimation pour cette courbe convexe croissante.)

Limites et pièges

• L'intégration est la limite des sommes de rectangles ; un nombre fini de bandes ne fait que l'estimer, et l'erreur dépend de la courbure. N'intégrez pas à travers une discontinuité comme 1/x en x = 0, et rappelez-vous qu'une aire signée peut être nulle alors que l'aire totale est positive.

Avertissement :

Une intégrale définie est toujours égale à l'aire totale positive entre la courbe et l'axe. Cette affirmation est fausse : l'intégrale est SIGNÉE — les régions sous l'axe comptent négativement, donc le déplacement peut être faible ou nul alors que la distance parcourue est grande.

Clé :

Intégration : primitives vérifiées par dérivation inverse, avec C fixé par un point fourni ; intégrales définies comme accumulation signée F(b) − F(a) ; l'aire totale nécessite une découpe à chaque changement de signe, et le théorème fondamental relie l'accumulation à l'intégrande.