K · Statistical sampling

AQA A-level Mathematics 7357, section K (Échantillonnage statistique), version 1.3 (première évaluation 2018). Notes d'enseignement originales.

Prérequis : pourcentages et raisonnement proportionnel au niveau GCSE.

Ce sont des exemples d'enseignement originaux, pas du matériel officiel AQA.

La question

• Une école compte 120 élèves en Year 12 et 80 élèves en Year 13, et souhaite obtenir 30 opinions. Un comité de 30 personnes provient tous de Year 12 « parce qu'ils étaient les plus faciles à trouver ». Que faut-il corriger concernant le calcul ET la méthode ?
• Avant de lire la suite, dire ce qu'exige un échantillon représentatif, et si un échantillon de commodité plus grand pourrait y remédier.

La méthode

• Une population est l'ensemble du groupe auquel se rapporte l'affirmation ; un échantillon est le sous-ensemble mesuré. Une liste d'échantillonnage est la liste à partir de laquelle l'échantillon est tiré. L'échantillonnage aléatoire, systématique, stratifié, quota et de convenance sont des méthodes différentes comportant divers risques de biais.
• Un échantillon stratifié alloue les effectifs proportionnellement à la taille de chaque groupe, puis sélectionne aléatoirement au sein de chaque groupe. Le biais provient de la méthode de sélection, pas de la taille : doubler un échantillon biaisé reproduit le même défaut à plus grande échelle. L'absence de données ne signifie pas zéro ; vérifier les unités, les dates et les définitions des variables avant toute comparaison.
• Population : l'ensemble complet auquel s'applique une affirmation statistique ; échantillon : le sous-ensemble effectivement mesuré ; cadre d'échantillonnage : la liste ou la définition de la population dont l'échantillon est tiré ; échantillon stratifié : un échantillon réparti proportionnellement à la taille de chaque groupe 2019 ; biais : une distorsion systématique due à une méthode de sélection injuste.

Vérification de votre travail

• Nommer la population, l'unité d'échantillonnage et la liste avant la collecte. La stratification ne consiste pas à « prendre qui est disponible dans chaque groupe » ; une sélection aléatoire reste nécessaire au sein de chaque strate.
• Un grand échantillon biaisé reste biaisé : un sondage en ligne volontaire surestime les opinions fortes quel que soit le nombre de répondants. La familiarité avec les grands jeux de données AQA nécessite les données réellement fournies et leurs métadonnées, et non des valeurs inventées.

Cas résolu

• Donné : 120 élèves dans le groupe A et 80 dans le groupe B ; un échantillon stratifié proportionnel de 30. Population totale = 200. Allocation groupe A = 30 × 120/200 = 18 ; allocation groupe B = 30 × 80/200 = 12. Chaque groupe est ensuite échantillonné aléatoirement à cette taille.

Exemple :

Un échantillon comprend 45 parmi 300 personnes. Trouver le pourcentage de l'échantillon, ainsi que l'allocation pour un échantillon stratifié de 40 provenant de groupes de 150 et 150, en suivant la même séquence. (Réponse : 45/300 × 100 = 15%. Groupes égaux divisés équitablement : 20 et 20.)

Limites et pièges

• Une proportion appliquée à une population donne une ESTIMATION avec variabilité d'échantillonnage, pas un décompte exact. Un recensement mesure tous les individus ; tout échantillon, aussi grand soit-il, hérite des effets de sélection de la méthode.

Avertissement :

Doublant un échantillon biaisé supprime automatiquement son biais de sélection. Cette affirmation est fausse : le biais réside dans la FAÇON dont les membres sont choisis, et non dans leur nombre ; interroger deux fois plus de volontaires surestime encore les personnes aux opinions fortes ; seul le changement de méthode permet de corriger cela.

Clé :

Échantillonnage statistique : définir la population et l'univers d'échantillonnage ; l'échantillonnage stratifié alloue proportionnellement avec sélection aléatoire au sein des groupes ; le biais provient de la méthode, et non de la taille, et les estimations comportent une variabilité d'échantillonnage.