J · Vectors

AQA A-level Mathematics 7357, section J (Vectors), version 1.3 (première évaluation 2018). Notes d'enseignement originales.

Prérequis : géométrie analytique de la section C et théorème de Pythagore.

Ce sont des exemples d'enseignement originaux, pas du matériel officiel AQA.

La question

• Un drone vole de A(1, 2) à B(5, 5), mais le logiciel de mission demande aussi le trajet retour. Quelle formule unique donne à la fois le déplacement aller et son inverse exact ?
• Avant de lire la suite, dites ce qu'un vecteur déplacement nécessite en plus d'une distance, et comment le trajet retour diffère.

La méthode

• Un vecteur porte grandeur et direction. Les vecteurs position localisent des points à partir d'une origine ; le déplacement de A vers B est AB = b − a, et BA = −AB l'inverse. Additionnez et soustrayez les composantes ; un multiple scalaire garde un vecteur parallèle.
• Le produit scalaire a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = |a||b| cos θ mesure l'angle : des vecteurs perpendiculaires ont a·b = 0, et a·a = |a|². La grandeur provient de Pythagore : |(4, 3)| = 5.
• Vecteur : Quantité ayant grandeur et direction ; Déplacement : Vecteur allant d'un point à un autre, b − a ; Produit scalaire : Somme des produits des composantes, égal à |a||b| cos θ.

Vérification de votre travail

• Gardez l'ordre de la soustraction : BA = −AB, donc inverser les extrémités inverse chaque composante. Une prétendue parallelisme exige une relation de multiple scalaire entre les vecteurs ; un simple croquis ne constitue pas une preuve.
• Pour la colinéarité de trois points, montrer que deux déplacements sont parallèles ET partagent un point commun ; des vecteurs parallèles situés à différents endroits ne prouvent rien sur une même droite.

Cas résolu

• Donné : a = (4, 1) et b = (1, 3). Le produit scalaire est a·b = 4 × 1 + 1 × 3 = 7. Les normes sont |a| = √17 et |b| = √10, donc cos θ = 7/(√17 × √10) ≈ 0.537, ce qui donne θ ≈ 57.5°. Puisque a·b ≠ 0, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires.

Exemple :

Avec A(1, 2) et B(5, 5), trouver le déplacement AB, sa norme et le déplacement retour BA, en suivant la même séquence. (Réponse : AB = (5, 5) − (1, 2) = (4, 3) ; |AB| = √(4² + 3²) = 5 ; BA = (−4, −3), de même norme mais dans la direction opposée.)

Limites et pièges

• Un vecteur répond à « combien loin ET dans quelle direction » ; une distance n'est qu'un scalaire. Le produit scalaire prend en compte la direction : il est maximal lorsque les vecteurs sont alignés, nul lorsqu'ils sont perpendiculaires, et négatif lorsqu'ils s'opposent.

Avertissement :

AB et BA ont les mêmes composantes. Cette affirmation est fausse : BA = −AB inverse chaque composante — aller de B à A donne (−4, −3), et non (4, 3). Seules les normes sont identiques.

Clé :

Vecteurs : déplacement = fin − début, inversé par le trajet retour ; les composantes s'additionnent ; les multiples scalaires restent parallèles ; le produit scalaire donne l'angle, avec la perpendicularité exacte lorsque a·b = 0.